二圆内接四边形的性质与判定定理.ppt

二二　　圆内接四边形的性质与判定定理圆内接四边形的性质与判定定理1.圆内接四边形(1)如果多边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个多边形叫做 圆内接多边形,这个圆叫做多边形的外接圆.(2)如果四边形的所有顶点都在一个圆上,那么这个四边形叫做 圆内接四边形,这个圆叫做四边形的外接圆.名师点拨任意三角形都有外接圆,任意正方形、矩形都有外接圆,但并不是所有四边形都有外接圆.2.圆内接四边形的性质定理(1)性质定理1:圆的内接四边形的对角互补.如图,若四边形ABCD内接于圆O,则∠A+∠C=180°, ∠B+∠D=180°. 该定理的作用是证明两个角互补.(2)性质定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角.如图,若四边形ABCD内接于圆O,E为AB延长线上一点,则∠CBE=∠ADC. 该定理的作用是证明两个角相等.名师点拨1.圆内接四边形的性质定理为证明角的相等或互补提供了理论依据,因而也为论证角边关系提供了一种新方法.2.注意几个常用结论:(1)内接于圆的平行四边形是矩形;(2)内接于圆的菱形是正方形;(3)内接于圆的梯形是等腰梯形.【做一做1】￿如图,四边形ABCD内接于圆O.若∠A=2∠C,则∠C=　　　　　;若∠ADC=85°,则∠ABE=　　　　　.  解析:因为四边形ABCD是圆内接四边形,所以∠A+∠C=180°.又∠A=2∠C,所以∠C=60°.又因为∠ADC=∠ABE,∠ADC=85°,所以∠ABE=85°.答案:60°　85°3.圆内接四边形的判定定理(1)判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,若∠A+∠C=180°(或∠B+∠D=180°),则A,B,C,D四点共圆. 该定理的作用是证明四点共圆.(2)推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.如图,在四边形ABCD中,延长AB到E,若∠CBE=∠ADC,则A,B,C,D四点共圆. 该推论的作用是证明四点共圆.名师点拨判断或证明四点共圆的常用方法:(1)如果四个点与一定点的距离相等,那么这四个点共圆;(2)如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内对角,那么这个四边形的四个顶点共圆;(4)如果两个三角形有公共边,公共边所对的角相等,且在公共边的同侧,那么这两个三角形的四个顶点共圆.【做一做2】￿如图,四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC=BE,∠D=80°,∠E=50°.求证:A,B,C,D四点共圆. 证明:∵BC=BE,∴∠E=∠BCE.∴∠EBC=180°-2∠E=80°,∴∠EBC=∠D.∴A,B,C,D四点共圆.思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.(1)任意矩形都有唯一的外接圆. (　　)(2)菱形一定有外接圆. (　　)(3)任意正多边形都有外接圆. (　　)(4)圆内接梯形一定是等腰梯形. (　　)答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√探究一探究二规范解答当堂检测圆内接四边形性质定理的应用圆内接四边形性质定理的应用【例1】￿(1)如图,已知☉O的内接四边形ABCD,AB和DC的延长线交于点P,AD和BC的延长线交于点Q.若∠A=50°,∠P=30°,求∠Q的度数.(2)如图,在☉O中,AC=AB,E是弦BC延长线上的一点,AE交☉O于点D.求证:AC2=AD·AE.探究一探究二规范解答当堂检测分析:(1)先利用圆内接四边形的性质求得∠CDQ和∠DCQ的度数,再利用三角形的内角和定理求得∠Q的度数;(2)可先考虑证明△ADC∽△ACE,得到比例式后,再转化为欲证等积式.(1)解:∵四边形ABCD是☉O的内接四边形,∴∠QCD=∠A=50°.又∠P=30°,∴∠CDQ=∠P+∠A=80°,故∠Q=180°-80°-50°=50°. (2)证明:如图,连接DC,∵AC=AB,∴∠ACB=∠B.又四边形ABCD内接于☉O,∴∠EDC=∠B,∴∠ACB=∠EDC,∴∠ADC=∠ACE.∵∠EAC=∠CAD,∴△ADC∽△ACE,探究一探究二规范解答当堂检测反思感悟1.因为圆内接四边形的性质主要涉及有关角的关系,所以在圆内求角的大小以及证明角之间的相等关系时,要发现和构造圆内接四边形,利用两个性质定理进行求解和证明.2.在圆内证明等积式时,由于比例式是等积式的一种特殊形式,因此可转化为比例式,只需找到包含所证线段的两个三角形来证明.而要证三角形相似,可借助圆内接四边形的性质定理,得出对应的角相等.探究一探究二规范解答当堂检测变式训练变式训练1如图,☉O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P,E为☉O上一点,AE=AC.求证:∠PDE=∠POC.证明:连接BE,BC.∵AE=AC,AB为直径,∴在Rt△ABE和Rt△ABC中,∠ABE=∠ABC,∠AEB=∠ACB,AE=AC.∴Rt△ABE≌Rt△ABC,∴∠OAE=∠OAC.又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠OAE,∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAE=∠EAC.又四边形ACDE内接于☉O,∴∠EAC=∠PDE,∴∠PDE=∠POC.探究一探究二规范解答当堂检测圆内接四边形判定定理的应用圆内接四边形判定定理的应用【例2】如图,在△ABC中,AD=DB,DF⊥AB交AC于点F,AE=EC,EG⊥AC交AB于点G.求证: (1)D,E,F,G四点共圆;(2)G,B,C,F四点共圆.分析:(1)连接GF,则易证△GDF与△GEF均为直角三角形,由直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等可得出结论.(2)连接DE,由条件易证DE∥BC,从而∠ADE=∠B,由(1)知∠ADE=∠GFE,从而∠GFE=∠B,从而得到结论.探究一探究二规范解答当堂检测证明:(1)连接GF.由DF⊥AB,EG⊥AC,知∠GDF=∠GEF=90°,∴GF的中点到D,E,F,G四点的距离相等,∴D,E,F,G四点共圆.(2)连接DE.由AD=DB,AE=EC,知DE∥BC,∴∠ADE=∠B.又由(1)中D,E,F,G四点共圆,∴∠ADE=∠GFE,∴∠GFE=∠B,∴G,B,C,F四点共圆.探究一探究二规范解答当堂检测反思感悟判定四点共圆的方法1.如果四个点与一定点距离相等,那么这四个点共圆;2.如果一个四边形的一组对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆;3.如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆;4.与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆.探究一探究二规范解答当堂检测变式训练变式训练2如图,已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和点B的圆与AD,BC分别交于E,F.求证:C,D,E,F四点共圆.证明:连接EF.因为四边形ABCD为平行四边形,所以∠B+∠C=180°.因为四边形ABFE内接于圆,所以∠B+∠AEF=180°.所以∠AEF=∠C,故C,D,E,F四点共圆.探究一探究二规范解答当堂检测圆内接四边形性质定理和判定定理的综合应用【典例】￿如图,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED. (1)求证:CD∥AB;(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明A,B,G,F四点共圆.【审题策略】利用圆内接四边形的性质与判定定理证明.探究一探究二规范解答当堂检测【规范展示】证明:(1)因为EC=ED,所以∠EDC=∠ECD.因为A,B,C,D四点在同一圆上,所以∠EDC=∠EBA,故∠ECD=∠EBA.所以CD∥AB.(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,所以∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE.由(1)得CD∥AB,所以∠FAB=∠GBA,所以∠AFG+∠GBA=180°,故A,B,G,F四点共圆.探究一探究二规范解答当堂检测【答题模板】(1)第1步:证△EDC两底角相等;第2步:利用圆内接四边形的性质定理得两角相等;第3步:利用同位角相等证得结论.(2)第1步:证明两角相等;第2步:证明两三角形全等;第3步:由圆内接四边形的判定定理证得结论.失误警示通过阅卷统计分析,造成失分的原因是:(1)不能利用等腰三角形的性质得出两底角相等;(2)不能正确利用圆内接四边形的性质得出角的相等关系;(3)无法正确利用圆内接四边形的判定定理证明四点共圆.探究一探究二规范解答当堂检测变式训练变式训练已知CF是△ABC的AB边上的高,FP⊥BC于点P,FQ⊥AC于点Q.求证:A,B,P,Q四点共圆.  证明:连接PQ,在四边形QFPC中,因为PF⊥BC,FQ⊥AC,所以∠FQA=∠FPC=90°.所以Q,F,P,C四点共圆.所以∠QFC=∠QPC.又因为CF⊥AB,所以∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余,所以∠A=∠QFC.所以∠A=∠QPC.故A,B,P,Q四点共圆.探究一探究二规范解答当堂检测1.已知四边形ABCD是圆内接四边形,则下列结论正确的有(　　)①若∠A=∠C,则∠A=90°;②若∠A=∠B,则四边形ABCD是等腰梯形;③∠A的补角与∠C的补角互补;④∠A∶∠B∶∠C∶∠D的比可以是1∶2∶3∶4.A.1个B.2个 C.3个D.4个答案:B2.圆内接平行四边形一定是(　　)A.正方形B.菱形C.等腰梯形D.矩形解析:因为圆内接四边形的对角互补,平行四边形的对角相等,所以圆内接平行四边形的各角均为直角,故为矩形.答案:D探究一探究二规范解答当堂检测3.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,E为AB延长线上一点,∠CBE=40°,则∠AOC等于(　　) A.20°B.40°C.80°D.100°解析:因为∠CBE=40°,所以∠ADC=40°,于是∠AOC=2∠ADC=80°.答案:C4.若BE和CF分别是△ABC的边AC和AB边上的高,则　　　　　四点共圆. 解析:由∠BEC=∠BFC=90°,可得△BCE和△BCF共圆,从而B,C,E,F四点共圆.答案:B,C,E,F探究一探究二规范解答当堂检测5.如图,AD是△ABC外角∠EAC的平分线,AD与△ABC的外接圆☉O交于点D.求证:DB=DC. 证明:∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,又∠EAD=∠BCD,∠CAD=∠CBD,∴∠DBC=∠DCB.∴DC=BD.。