第三章傅里叶变换课件.ppt

第三章傅里叶变换,本章的主要内容：,1、周期信号的傅里叶级数分析 2、典型周期信号的傅里叶级数 3、傅里叶变换 4、典型非周期信号的傅里叶变换 5、冲激函数和阶跃函数的傅里叶变换 6、傅里叶变换的基本性质 7、卷积特性（卷积定理） 8、周期信号的傅里叶变换 9、抽样信号的傅里叶变换 10、抽样定理,第一节引言,傅里叶分析发展史,从本章开始由时域分析转入频域分析 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年 1822年法国数学家傅里叶（J.Fourier,1768-1830）在研究热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电学中去 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的应用直到19世纪末，制造出电容器20世纪初，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的在通信系统中的应用开辟了广阔的前景 从此，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域（频域）的分析方法比经典的时间域（时域）方法有许多突出的优点。

当今，傅里叶分析方法已成为信号分析与系统设计不可缺少的重要工具 20世纪70年代，出现的各种二值正交函数（沃尔什函数），它对通信、数字信号处理等技术领域的研究提供了多种途径和手段使人们认识到傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法但傅里叶分析始终有着极其广泛的应用，它是研究其他变换方法的基础而且出现了”快速傅里叶变换（FFT）”它给傅里叶分析这一数学工具增添了新的生命力 傅里叶分析方法不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中，而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关数学、物理和工程技术领域中得到广泛的应用 本章讨论的路线： 傅里叶级数正交函数傅里叶变换，建立信号频谱的概念； 通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用 对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式 最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础第二节周期信号的傅里叶级数分析,一、三角函数形式的傅里叶级数,1、一种三角函数形式的傅里叶级数,为了积分方便，通常取积分区间为：,三角函数集是一组完备函数集。

2、另一种三角函数形式的傅里叶级数,3、傅里叶级数展开的充分条件,通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此，以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件4、基波、谐波,可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的幅度、相位取决于周期信号的波形5、幅度谱、相位谱,周期信号的主要特点：,二、指数形式的傅里叶级数,1、指数形式的傅里叶级数的形式,2.指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系,幅频特性,相频特性,3.指数形式表示的信号频谱--复数频谱,Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数4.周期信号的功率特性 时域和频域能量守恒定理,周期信号的平均功率P：在一个周期内求平方再求积分帕塞瓦尔定理,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位， 幅度谱和相 位谱合一；,总结(1)周期信号f(t)的付里叶级数有两种形式,三角形式,指数形式,(2)三个性质,(3)两种频谱图的关系,(4)引入负频率,1.函数的对称性,三、函数的对称性与傅里叶系数的关系,要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t)是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的表示式也比较简单。

波形对称性有两类： （1）对整周期对称即偶函数和奇函数 （2）对半周期对称即奇谐函数、偶谐函数4种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 偶谐函数： 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项,,,,,2.傅里叶级数的系数求解,af(t) 为偶函数,,不一定为0，付氏级数只有余弦分量，,是虚函数周期偶函数只含直流和,例如:周期三角函数是偶函数,,,,,,,,,,,,E,f(t),T1/2,-T1/2,t,b. f(t)为奇函数,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,例如周期锯齿波是奇函数,,,,,,,,,,,,,,,E/2,-E/2,T1/2,-T1/2,f(t),t,0,半周期对称：,,奇谐函数 偶谐函数,cf(t)为奇谐函数,df(t)为偶谐函数,例如对称方波：偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项E/2,-E/2,T1/4,-T1/4,t,小节：傅里叶级数的系数求解 (1)偶函数信号,其傅里叶级数表达式为：,,其傅里叶级数表达式为：,（2）奇函数信号,（3）奇谐函数信号（半波对称函数 ）,奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变化，即满足：,例子,例如：奇谐函数,四、傅里叶有限级数与最小方均误差,实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。

显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小例子,以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差解：其傅里叶级数表达式为：,从上面例子看出： （1）n愈大，则愈逼近原信号f(t) (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富 (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去此现象称为吉布斯现象五、吉布斯（Gibbs）现象,举例3.1：,解：,举例3.2：,作业,P160 3-1，3-2，3-3，3-8,第三节典型周期信号的傅里叶级数,典型周期信号的傅里叶级数,典型周期信号的频谱分析可利用： 傅里叶级数 或傅里叶变换 介绍的典型周期信号有如下： 1、周期矩形脉冲信号 2、周期锯齿脉冲信号 3、周期三角脉冲信号 4、周期半波余弦信号 5、周期全波余弦信号,(1)周期矩形脉冲信号的频谱,,,,,,,,,,,,x(t),t,0,E,-T,T,1.三角形式的谱系数,周期矩形脉冲信号的频谱,一、频谱结构：,f(t)是个偶函数,2.指数形式的谱系数,3.频谱特点,(2) 频谱是离散的,(4)第一个零点坐标,有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x(t),Fn,t,0,0,,,E,T,-T,,,,,,二.频谱随参数的变化,设f(t)的脉冲高度E不变，脉冲宽度不变，当周期,取不同的值时，具体看频谱如何变化。

4.总结,可以看出：,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况,,,,,,,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比 各谱线的幅度按 包络线变化过 零点为 主要能量在第一过零点内带宽,三.频带宽度,1.问题提出,由周期矩形脉冲信号的频谱可以看出：,振幅相对减小能量主要集中在第一个零点以内信号一般主要集中在低频段功率,而总功率：,二者比值,第一个零点集中了信号绝大部分能量（平均功率）由频谱的收敛性可知，信号的功率集中在低频段2.定义：,在满足一定失真条件下，信号可以用某段频率范围的,信号来表示，此频率范围称为频带宽度为频带宽度3.系统的通频带信号的带宽，才能不失真,例：,语音信号 频率大约为 3003400Hz，,音乐信号5015,000Hz，,扩大器与扬声器 有效带宽约为 1520,000Hz2)周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解,周期锯齿脉冲信号，是奇函数解：,它是奇函数,可求出傅里叶级数的系数bn,留给同学们做其傅里叶级数表达式为：,此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。

3)周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解,周期三角脉冲信号，是偶函数解：,它是偶函数,可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛其傅里叶级数表达式为：,(4)周期半波余弦信号的傅里叶级数求解,周期半波余弦信号，是偶函数可求出傅里叶级数的系数a0,an,留给同学们做此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛其傅里叶级数表达式为：,(5)周期全波余弦信号的傅里叶级数求解,周期全波余弦信号，是偶函数解：令余弦信号为,此信号的频谱只包含直流及偶次谐波分量，谐波的幅度以1/n2的规律收敛其傅里叶级数表达式为：,则，全波余弦信号为：,作业,P160 3-4，3-6，3-7， 3-10，3-11(a)，3-12，,第四节傅里叶变换,频谱演变的定性观察,-T/2,一、傅里叶变换（非周期信号）,1.傅里叶变换引入,由于周期信号的周期T1，谱线的间隔w10，则离散谱变成连续谱 由于周期信号的周期T1，谱线的长度F(nw1)趋于零，则其频谱失去应有的意义 但从物理意义上讲，既然是一个信号，那么必然有能量，无论如何分解，必须存在频谱分布。

2.频谱密度的概念,对非周期信号不能采用周期信号的频谱定义方式而必须引入一个新的量频谱密度函数：在T1，谱线的间隔w10时 ,不趋于零，而趋近于有限值，且变成一个连续函数，简称为频谱函数3.傅里叶变换定义,由：,得：,,见上一页频谱密度 函数的定义,4.非周期信号的幅度频谱与相位频谱,频谱函数F(w)：一般是复函数是F(w)的模，它代表信号中各频率分量的相对大小是F(w)的相位函数，它代表信号中各频率分量的相位关系人们习惯上也把：,：为非周期信号的幅度频谱；,：为非周期信号的相位频谱5.傅里叶变换形式的三角形式,6.傅里叶变换的特点,非周期信号和周期信号一样，可以分解成许多不同频率的正、余弦分量 由于非周期信号的周期趋于无限大，基波趋于无限小，于是它包含了从零到无限高的所有频率分量 由于周期趋于无限大，因此，对任一能量有限（功率无限）的信号（如单脉冲信号），在各频率点的分量幅度趋于零 非周期信号的频谱用频谱密度来表示 看出： 周期信号其频谱为离散谱；（傅里叶级数） 非周期信号其频谱为连续谱；（傅里叶变换） 周期信号与非周期信号，傅里叶级数与傅里叶变换，离散谱与连续谱，在一定条件下可以互相转化并统一起来。

7.傅里叶变换的存在充分条件,傅里叶变换存在的充分条件是在无限内满足绝对可积条件：,借助奇异函数（如冲激函数）的概念，可使许多不满足绝对可积条件的信号，如周期信号、阶跃信号、符号函数等存在傅里叶变换第五节典型非周期信号的傅里叶变换,典型非周期信号的傅里叶变换,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱 1、单边指数信号 2、双边指数信号 3、奇双边指数信号 4、矩形脉冲信号 5、钟形脉冲信号 6、符号函数 7、升余弦脉冲信号,一、单边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,代入傅里叶变换定义公式中,,解：,单边指数信号的频谱如下：,二、双边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,F(w)为正实函数，所以相位为0,,代入傅里叶变换定义。