曲线的离心率求法.docx

圆锥曲线的离心率问题离心率是圆锥曲线的一个重要几何性质，一方面刻画了椭圆，双曲线的形状，另一方面也体现了参数a, c 之间的联系一、基础知识：c1、 离心率公式：e二 （其中c为圆锥曲线的半焦距）a（1）椭圆：e g （0,1） （2）双曲线：e G（l,+a）2、 圆锥曲线中a,b,c的几何性质及联系（1） 椭圆：a2 = b2 + c2，（2） 双曲线：c2 = b2 + a23、 求离心率的方法：求椭圆和双曲线的离心率主要围绕寻找参数a,b,c的比例关系（只需找出其中两个参数 的关系即可），方法通常有两个方向：（1） 利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形（曲线上的点与两焦点连线组成的三角形），那么可考虑寻 求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距从而可求解（2） 利用坐标运算：如果题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标曲,b,c进行表示，再利 用条件列出等式求解，或者带入曲线求解（3） 利用三角形的相似关系（4） 利用点线距离关系4、 离心率的范围问题：在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：（1） 题目中某点的坐标是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求。

如果问题围绕在“曲 线上存在一点”则可考虑该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口（2） 若题目中有一个核心变量，则可以考虑离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可（3） 通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率注：在求解离心率范围时要注意圆锥曲线中对离心率范围的初始要求:椭圆：e g（0,1），双曲线：e G（l,+a）二、考点一：求离心率 方法一：焦点三角形问题例1（1）：设F,F分别是椭圆C: + = l（a > b > 0）的左、右焦点，点P1 2 a 2 b2在椭圆C上，线段PF的中点在y轴上，若ZPFF = 30，则椭圆的离心率1 12为( )A．B．C．D．答案：A小炼有话说：在圆锥曲线中，要注意O为FF中点是一个隐含条件，如果图中存在其它中点,1 2则有可能与O搭配形成三角形的中位线⑵:椭圆12 + bi = 1(0 < b < 2打)与渐近线为x土 2y二0的双曲线有相同的焦点FF2, P为它们的一个公共点，且ZFPF = 90 ,则椭圆的离心率为 1 2 答案：<30~6~小炼有话说：在处理同一坐标系下的多个圆锥曲线时，它们共同的要素是联接这些圆锥曲线的桥梁，通常以这些共同要素作为解题的关键点。

x2 y 2⑶：设F1，F2分别为双曲线石-冷=1(a >°’b >0)的左、右焦点’双曲线上存在一点P使得I PF I + I PF I二3b,I PF I -1 PF I二—ab,则该双曲线的离心率为12^-"4A.—31 2 45B. 一39C. 4D.3答案：B4)．过椭圆2+莹=1@>〃>0)的左焦点作x轴的垂线交椭圆于点P, F2为椭圆的右焦点，若ZF1PF2=60°，则椭圆的离心率为( )A晋 B•号小1C1D-3方法二：利用坐标运算 例2 (1).已知椭圆方程为02+b2=1(a>b>O), A, B分别是椭圆长轴的两个端点，M, N是椭圆上关于x轴1对称的两点，直线AM, BN的斜率分别为k, k2,若1钉k2l=4,贝卩椭圆的离心率为x2 y 2⑵：如图，在平面直角坐标系x°y中，A1,A2,BB2为椭圆a2 +说=1(a >b > 0)的四个顶点，F为其右焦点，直线AB与直线BF相交于点T,线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离1 2 1心率为 .答案：e 二 2^1 - 5方法三：三角形的相似关系例3・从椭圆2+j2=1（a>b>0）上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点FfA是椭圆与x轴正半轴的交点， B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB^OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）a.晋 c进 D2方法四：利用点线距离关系例4・（2017・全国卷I）已知双曲线C 02—^|=1@>0, b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆A, 圆A与双曲线C的一条渐近线交于M, N两点•若ZMAN=60°，则C的离心率为 ・例3:如图所示，已知双曲线—-y二l（a > b > 0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A,Ba 2 b 2两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF = 2FB，则该双曲线的离心率为（ ）A.3、辽~T~B. ^'"3D.答案: B考点二:求离心率的取值范围方法一：通过一些不等关系得到关于a,b, c的不等式例1 （1） •椭圆的中心在坐标原点O,顶点分别是Af A2, B，B2,焦点分别为F，F2,延长B1F2与A2B2交于P点，若ZB]PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为 ・（2）.已知椭圆E： X2+b2=1（a>b>0）的右焦点为F,短轴的一个端点为M 直线1：女一知=0交椭圆E4于A，B两点•若AFI+IBFI=4,点M到直线l的距离不小于5,则椭圆E的离心率的取值范围是（）A.（0,亨 B.（0, 3_ C.岁,1） 曇 1）（3）：已知F是双曲线—-二=1 （a > 0,b > 0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴 a 2 b2的直线与双曲线交于A,B两点，若口ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为 （ ）A. （1，+3）B・ （1,2）C・D・（2,1 + 迈）答案：B小炼有话说：（1）在处理有关角的范围时，可考虑利用该角的一个三角函数值，从而将角的问题转变为边 的比值问题方法二：题目中某点的坐标是否有范围要求 例2(1)：已知椭圆5 +養=1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F Qo)，F- Go)，若椭圆上存在点P使sin ZPFF12sinZPFF，则该椭圆的离心率的取值范围为21B.C.D.答案：D⑵：已知仆F-是椭圆E :莹+勒=1(a > b > 0)的左右焦点，若椭圆上存在点P，使得PFi丄/，则椭圆离心率的取值范围是( )A.B.C.D.0,思路一：考虑在椭圆上的点P与焦点连线所成的角中，当P位于椭圆短轴顶点位置时，ZFPF达到最大值。

12所以若椭圆上存在PF丄PF的点P ,则短轴顶点与焦点连线所成的角0 >90 ,考虑该角与a,b,c的关系,1 2 o0由椭圆对称性可知，ZOPF — — > 45 -2所以 t aZOPF =2OF2c— > OP b -，1 即c > b n2 c > 2 b n 2 c > 2,进而笃 > —即 e2 >—，解得 e >^~，再由 e u（0,1）可得 e g - ,1a 2 2 2 2 2另一方面：SDF1PF2 -2ZF PF思路二：由PF丄PF可得ZFPF — 90，进而想到焦点三角形FPF的面积：S — b2 tan i - — b2，1 2 1 2 ° 1 2 "严2 21 b 2—--|FF卜|y — c - |y ，从而c -卜」—b2 n卜」—一，因为P在椭圆上，所以1 2 P P P P cy e[-b,b]，即 |y I — — < b n b < c，再同思路一可解得：e g p P c思路三：PF丄PF可想到PF1 - PF — 0，进而通过向量坐标化，将数量积转为方程设1 2 1 2P (x,y ), F (―c,0 ), F (c,0 )，则有 PF - (-c — x, - y ), PF — (c — x, - y )，则 P 1P — f — — 0，1 2 1 2 1 2即P点一定在以O为圆心，c为半径的圆上，所以只需要该圆与椭圆有交点即可，通过作图可发现只有半径r >b时才可有交点，所以c >b，同思路一可解得e g ——,12注：本题对P在圆上也可由PF丄PF判定出P在以FF为直径的圆上，进而写出圆方程1 2 1 2思路四：开始同思路三一样，得到P所在圆方程为x 2 + y 2二c 2 ,因为P在椭圆上，所以联立圆和椭圆方程:b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 ( A b 4代入消去x可得：b2 \c2 - y2丿+ a2y2 = a2b2，整理后 可得：c2y2 = b4 n y2 =一 c2由y g [-b,b]可得：y2 = — < b2 n c > b，同思路一即可解得：e g c2小炼有话说：本题的众多思路重点区别在：一是从条件中想到椭圆的哪些性质与结论，不同的结论得到不 同的突破口；二是在解决离心率时是选择用几何特点数形结合去解还是通过坐标方程用代数方式计算求解（3）.已知F], F2分别是椭圆C：赛+^=1（a®>0）的左、右焦点，若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的 中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是（）D・(0, 3_C,_3，1b〔3用⑷：设点A2分别为椭圆a+备=i（a >b > °）的左右焦点’若在椭圆上存在异于点％ A2的点p，使得PO丄PA2 '其中0为坐标原点’则椭圆的离心率e的取值范围是（）A.:。

丄1B.C.11，11D.£1]1 2 J1 2丿12 J1 2丿答案：D小炼有话说：本题运用到了一个求交点的模型：即已知一个交点，可利用韦达定理求出另一交点，熟练使用这种方法可以快速解决某些点的坐标三、好题精选1、（2016，新余一中模拟）已知点A是抛物线x2 = 4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在 抛物线上且满足|PA| = m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A,B为焦点的双曲线上，贝Q双曲线的离心 率为（ ）A.迈 +1 B. 旦1 C. ① D. <5 -12 22、已知Fi，f2分别是双曲线02- b=1（a >b > °）的左、右焦点，过点Fi且垂直于x轴的直线与双曲线交于A, B两点'若口 aBF2是钝角三角形'则该双曲线离心率的取值范围是（A．-1, +x)B．D．o)x2.■a 2 b 2FM -(9M + OF )= 0,11A.<3 +13 +1B.2C.<6 +4i6 + \；2D. 24、（2016四川高三第一次联考）椭圆a2+*=血 > 匕>3、设F1' F2分别是双曲线三-M > 0,b > 0）的左右焦点'若双曲线左支上存在一点M '使得13O为坐标原点'且I MF | = — |MF | '贝y该双曲线的离心率为（ ）x2 + y2 =二+ 2c ' （ c为椭圆的半焦距）对任意虫11,2］恒有四个交点'则椭圆的离心率e的取值范围为（ ）A.0，4B.5、（2015,新课标II）已知A,B为双曲线E的左右顶点'点M在E上. ABM为等腰三角形，且顶角为120 ,U °则 E 的离心率为（ ）A. B・ 2 C. v'3 D・込 6、（2016,宜昌第一。