2023年北京市东城区高三数学一模理科试题.doc

北京市东城区2023-2023学年度第二学期综合练习〔一〕高三数学〔理科〕 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第一卷和第二卷两局部，第一卷1至2页，第二卷3至5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第一卷〔选择题 共40分〕一、本大题共8小题，每题5分，共40分在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项〔1〕全集，集合，那么集合为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔2〕为平行四边形，假设向量，，那么向量为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔3〕圆的方程为，那么该圆圆心到直线〔为参数〕的距离为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔4〕某游戏规那么如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，假设飞标到圆心的距离大于，那么成绩为及格；假设飞标到圆心的距离小于，那么成绩为优秀；假设飞标到圆心的距离大于且小于，那么成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔5〕数列中，，，，那么数列的前项和等于高☆考♂资♀源*网〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔6〕，分别是双曲线：的两个焦点，双曲线和圆：的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕〔7〕定义在上的函数的对称轴为，且当时，.假设函数在区间〔〕上有零点，那么的值为〔A〕或 〔B〕或 〔C〕或 〔D〕或〔8〕向量，，是坐标原点，假设，且方向是沿的方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，那么称经过一次变换得到.现有向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到.设，，，那么等于〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕第二卷〔共110分〕二、填空题：本大题共6小题，每题5分，共30分。

〔9〕复数的虚部是.〔10〕的展开式中的系数是．〔11〕如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，那么甲次测试成绩的平均数是，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是．〔12〕如图，与圆相切于，半径，交于，假设,，那么，．〔13〕有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，那么这样的排法共有种．〔14〕数列{an}的各项排成如下图的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，假设， 那么位于第10行的第8列的项等于，在图中位于．〔填第几行的第几列〕三、解答题：本大题共6小题，共80分解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程〔15〕〔本小题共13分〕在△中，三个内角，，的对边分别为，，，且．〔Ⅰ〕求角；〔Ⅱ〕假设，求的最大值．〔16〕〔本小题共14分〕如图，是直角梯形，且，平面平面，，，，是的中点．〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值．〔17〕〔本小题共13分〕某班联欢会举行抽奖活动，现有六张分别标有1，2，3，4，5，6六个数字的形状相同的卡片，其中标有偶数数字的卡片是有奖卡片，且奖品个数与卡片上所标数字相同，游戏规那么如下：每人每次不放回抽取一张，抽取两次.〔Ⅰ〕求所得奖品个数到达最大时的概率；〔Ⅱ〕记奖品个数为随机变量，求的分布列及数学期望.〔18〕〔本小题共14分〕函数，〔为常数，为自然对数的底〕．〔Ⅰ〕当时，求；〔Ⅱ〕假设在时取得极小值，试确定的取值范围；〔Ⅲ〕在〔Ⅱ〕的条件下，设由的极大值构成的函数为，将换元为，试判断曲线是否能与直线〔为确定的常数〕相切，并说明理由．〔19〕〔本小题共13分〕椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，过的直线与椭圆交于，两点，且△的周长为．〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕过原点的两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点，证明：点到直线的距离为定值，并求出这个定值．〔20〕〔本小题共13分〕设是由个有序实数构成的一个数组，记作：.其中称为数组的“元〞，称为的下标. 如果数组中的每个“元〞都是来自 数组中不同下标的“元〞，那么称为的子数组. 定义两个数组，的关系数为.〔Ⅰ〕假设，，设是的含有两个“元〞的子数组，求的最大值；〔Ⅱ〕假设，，且，为的含有三个“元〞的子数组，求的最大值；〔Ⅲ〕假设数组中的“元〞满足.设数组含有四个“元〞，且，求与的所有含有三个“元〞的子数组的关系数的最大值.北京市东城区2023-2023学年度第二学期高三综合练习〔一〕数学参考答案 〔理科〕一、选择题〔本大题共8小题，每题5分，共40分〕〔1〕B 〔2〕C 〔3〕C 〔4〕A〔5〕C 〔6〕D 〔7〕A 〔8〕B二、填空题〔本大题共6小题，每题5分，共30分〕〔9〕〔10〕 〔11〕〔12〕〔13〕 〔14〕 第行的第列注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题〔本大题共6小题，共80分〕〔15〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕因为，由正弦定理可得，因为在△中，，所以.又，所以.〔Ⅱ〕由余弦定理 ，因为，，所以.因为，所以.当且仅当时，取得最大值.〔16〕〔共14分〕证明〔Ⅰ〕取的中点，连结，． 因为是的中点，所以，．因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形．所以．因为平面，平面，所以平面．〔Ⅱ〕因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如下图的空间直角坐标系，那么轴在平面内．由可得，，，．所以，，设平面的法向量为．由所以取，所以．又因为平面的一个法向量为． 所以．即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为．〔17〕〔共13分〕〔Ⅰ〕由题意可知所得奖品个数最大为10，概率为：． 〔Ⅱ〕的可能取值是：．0246810所以． 〔18〕〔共14分〕解：〔Ⅰ〕当时，．．所以．〔Ⅱ〕．令，得或．当，即时，恒成立，此时在区间上单调递减，没有极小值；当，即时， 假设，那么．假设，那么．所以是函数的极小值点． 当，即时，假设，那么．假设，那么． 此时是函数的极大值点．综上所述，使函数在时取得极小值的的取值范围是．〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知当，且时，，因此是的极大值点，极大值为．所以．．令．那么恒成立，即在区间上是增函数．所以当时，，即恒有．又直线的斜率为，所以曲线不能与直线相切． 〔19〕〔共13分〕解：〔I〕由题意知，，所以．因为所以，所以． 所以椭圆的方程为． 〔II〕由题意,当直线的斜率不存在，此时可设，.又，两点在椭圆上，所以，．所以点到直线的距离． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为．由消去得． 由．设，．所以，．因为，所以．所以．即．所以．整理得，满足． 所以点到直线的距离为定值．〔20〕〔共13分〕解：〔Ⅰ〕依据题意，当时，取得最大值为2．〔Ⅱ〕①当是中的“元〞时，由于的三个“元〞都相等及中三个“元〞的对称性，可以只计算的最大值，其中．由，得 ．当且仅当，且时，到达最大值，于是．②当不是中的“元〞时，计算的最大值，由于，所以．，当且仅当时，等号成立．即当时，取得最大值，此时．综上所述，的最大值为1．〔Ⅲ〕因为满足．由关系的对称性，只需考虑与的关系数的情况．当时，有．．即，且，，时，的最大值为．当时，，得最大值小于．所以的最大值为．。