大一微积分复习资料.doc

大学的考试比较简朴，重要以课本为主，下面的复习指引可作提引作用10—第一学期“微积分”期末复习指引 第一章 函数一．本章重点复合函数及分解，初等函数的概念二．复习规定１、　能纯熟地求函数定义域;会求函数的值域2、理解函数的简朴性质,懂得它们的几何特点3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的体现式,懂得它们的定义域、值域、性质及图形特点其中⑴． 对于对数函数不仅要熟记它的运算性质，还能纯熟应用它与指数函数 　互为反函数的关系,能纯熟将幂指函数作如下代数运算： 　　 ⑵.对于常用的四个反三角函数,不仅要熟习它们的定义域、值域及简朴性质，还要熟记它们在特殊点的函数值.　4、 掌握复合函数,初等函数的概念，能纯熟地分解复合函数为简朴函数的组合5、 懂得分段函数,隐函数的概念　三.例题选解例1. 试分析下列函数为哪几种简朴函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数)复合而成的？⑴．⑵.分析:分解一种复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数(即简朴函数)解：⑴．⑵.例2． 的定义域、值域各是什么？=？答： 是的反函数,根据反函数的定义域是本来函数的值域，反函数的值域是本来函数的定义域,可知的定义域是，值域为． 四.练习题及参照答案1．　则f(x)定义域为 　 　 ,值域为 f(1) = 　 　　 　 ; 　 　 .2.则f（ｘ)定义域为 　 　 　，值域为 f(１） = 　 　 　 ; 　 .3.分解下列函数为简朴函数的复合:⑴.⑵．答案:1．(-∞ +∞）,　,2． .3.　⑴.⑵．自我复习：习题一．(Ａ）55.⑴、⑵、⑶; 习题一．（Ｂ)．11.第二章 极限与持续一．本章重点极限的计算；函数的持续及间断的鉴定;初等函数的持续性。

二.复习规定1．理解变量极限的概念，掌握函数f(ｘ)在x０点有极限的充要条件是:函数在x０点的左右极限都存在且相等2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系,掌握无穷小量的运算性质,特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小例如:３.会比较无穷小的阶在求无穷小之比的极限时，运用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有:当à0时,有：～; ~～;~；~～.…….(参见教材P79)4.掌握两个重要极限：(Ⅰ).(Ⅱ）．记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式（变形式).并能纯熟应用其求极限,特别是应用重要极限(Ⅱ)的如下扩展形式求型未定式极限:5.掌握函数持续的概念， 懂得结论：初等函数在其定义区间内都是持续的，分段函数在定义区间内的不持续点只也许是分段点函数f(x)在分段点x0处持续的充要条是:函数在x0点极限存在且等于,即:当分段函数在分段点的左右两边体现式不相似时，函数f（x)在分段点ｘ0处持续的充要条件则是：.6. 掌握函数间断点及类型的鉴定函数的不持续点称为间断点,函数在点间断,必至少有下列三种状况之一发生: ⑴、在点无定义;　⑵、不存在;　⑶、存在,但.若为的间断点,当及都存在时,称为的第一类间断点,特别＝时(即存在时），称为的可去间断点；时称为的跳跃间断点。

不是第一类间断点的都称为第二类间断点７.理解持续函数的运算性质及闭区间上持续函数的性质,特别要懂得闭区间上的持续函数必有最大值与最小值8.可以纯熟地运用极限的四则运算性质;无穷小量、无穷大量的关系与性质;等价无穷小代换;教材P69公式(２.６）；两个重要极限;初等函数的持续性及洛必达法则(第四章)求函数的极限三.例题选解 例1．单选题⑴下列极限中对的的是( )A. B. Ｃ. 　　 Ｄ. ⑵　当时,是的（　 　）A．低阶无穷小; 　 B.高阶无穷小；C.同阶无穷小,但不是等价无穷小；D.　等价无穷小；分析与解:⑴． A与 C显然都不对，对于D，　记，则∴即D也不对，剩余的Ｂ就是对的答案⑵． 由于∴　应选择D.例3.求极限：⑴⑵解:　⑴ 此极限为型 ∵当时，有　 　~, ~∴　 ⑵ 此极限为型,可用重要极限 　 = 　 　 . 　 例２．判断函数 的间断点,并判断其类型解：由于∴是函数y 无定义的点,因而是函数ｙ 的间断点∵∴ 为函数 y 的可去间断点;∵ ∴　为函数　ｙ 的第二类(无穷型)间断 　例3．函数在点处持续,求常数k　．分析与解:由于分段函数在分段点的左右两边体现式相似,因此在持续的充要条件是∵　 ∴四.练习题及参照答案1.填空⑴．当时,与相比,是_＿____＿_＿_＿＿_____＿无穷小; ⑵． _＿_＿______＿＿__＿___；⑶.__＿__＿＿__＿＿___.2.单选题⑴.设，下面说法对的的是___＿____；A. 点都是可去间断点；B. 点是跳跃间断点,点是无穷间断点;C. 点是可去间断点,点是无穷间断点；D. 点是可去间断点，点是跳跃间断点；⑵.下面对的的是_____＿________.A． ； B. ；C. 不存在；　D. .答案:１. ⑴.同阶而不等价的　 ;⑵． ；⑶..2. ⑴.C; 　 ⑵．B ．自我复习.习题二(A)11. (4).２４. ⑴，(4）,⑺.2７.⑴.　(４).28.⑴,⑵.30.⑵.37．⑴，⑶.习题二(B).14.第三章 导数与微分一．本章重点. 　导数的概念，导数及微分的计算．二.复习规定1.掌握函数在处可导的定义，并能纯熟应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。

导数是一种逐点概念，在处的导数的定义式常用的有如下三种形式：　 　　 　.2.懂得导数的几何意义，会求在处的切线方程3.熟记基本求导公式及求导的运算法则,纯熟掌握下列求导措施,并能纯熟应用它们求函数的导数：⑴运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导; 　⑵复合函数求导法; ⑶隐函数求导法； ⑷取对数求导法4.理解高阶导数的概念,能纯熟求函数的二阶导数5.理解微分的概念,能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分6．掌握函数可微,可导及持续的关系三．例题选解例1.求下列函数的导数:⑴. ,求⑵．＝, 　求.⑶.设＝,求⑷． ，求解：⑴、本题为抽象函数求导,由复合函数求导法,得:　.　　 ⑵ 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法原方程两边取对数: 上式两边对求导，视为中间变量:= 　 注：本题除此措施外,也可以:⑶． ∵ . 　 ∴⑷． 例2.　设在处可导,且．求分析:将在处的导数的定义式理解为构造式:＝其中为或的函数．且当时，即可.解： 例3．求曲线 在点 处的切线方程解：显然，点在曲线上,现求切线的斜率,即曲线方程两边对x求导：解得 ∴=1切线方程为：即　 例4、设试讨论在处的持续性及可导性。

分析与解:由已知,；(1）讨论在处的持续性∵　∴在处持续2)讨论在处的可导性分段函数在分段点的导数必须用定义求：　即存在 四.练习题及参照答案1.单选题.设下面说法对的的是（ 　 ）.Ａ.在不持续；B. .在持续,但不可导；C. 在可导,且;D. 在可导，且．2．填空题在处可导,且,则（１)３.求函数的导数或微分:⑴, 　 求 ⑵,求⑶.，求.4.设拟定是的函数，求，并求出函数在点的切线方程5、证明：（１)若是偶函数且可导，那么是奇函数,（2)若是奇函数且可导,那么是偶函数,答案：1.Ｄ．　 2. ３.⑴. (2). ; 　 ⑶．．４.；切线方程:.自我复习:习题三(A） １3； ２1,⑹,⑼; 2４．⑴，⑵;　 2５;２６.⑴,⑺; 2７．⑸；29.⑵，⑹，⑺；4７.⑴，⑵．5４.习题三（Ｂ)　 1 ;3；11.第四章 中值定理与导数的应用一.本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数鉴定函数的单调性,求函数的极值和最值;应用导数拟定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析； 二．复习规定1懂得罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论,会求定理中的,掌握拉格朗日定理推论的意义。

2．纯熟掌握用洛必达法则求未定式极限的措施注意:⑴洛必达法则只能直接用于求“”型或“”型未定式的极限，对于其她类型的未定式极限,必须将其转化为“”型或“”型未定式才干使用法则　 　　 ⑵洛必达法则可以持续使用，当再次使用法则时,一定要检查法则的条件与否成立,当条件不满足时必须停止使用,改用其她求极限的措施计算.⑶.在求未定式极限时,将洛必达法则和等价无穷小代换等其他措施结合使用，可使运算更简便3.掌握用一阶导数鉴定函数单调性的措施,并能运用函数的单调性证明不等式4.掌握函数极值的概念及求函数极值措施．5.掌握最值的概念及其与极值的关系，能纯熟求闭区间上持续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值．如求最大总收入,最大总利润等. 6.掌握函数的凹向，拐点的概念及求曲线凹向，拐点的措施.三.例题选解例1. 求下列极限(１). (2). （3)．　解:(１) 　 . (2） 原式为幂指型不定式（型）,运用代数变换:，得: 　　 　　其中 　 　 　 （代换）　　 　 　　　（） 　 　　 . ∴原式＝(3）　　 ＝ 　=　 (代换）　 （洛必达）＝.例2.求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。

解:函数的定义域为， 　 　　令，得驻点,；无不可导点两驻点分定义域为三个子区间,列表讨论如下:　 x0极小极大令得 ，无不存在的点曲线的凹向及拐点列表讨论如下：x 　 　 　０-0＋0-0+拐点拐点拐点由上面的讨论看出：函数的单减区间为　;单增区间为极小值是，极大值是曲线的凸区间是凹区间是曲线的拐点有三个：，,例3．证明不等式分析与证：证明不等式的措施诸多，运用函数的单调性或最值证明不等式是常用的措施之一这里用单调性来证明即令则问题转化为证即证在时,单减∵ 　 ∴时，单减，有∴也单减，有, 证毕例4.证明:对任意,有 分析： 本题为恒等式的证明我们设由拉格朗日定。