第五章线性系统状态反馈.docx

第五章线性定常系统的状态反馈和状态观测器设计闭环系统性能与闭环极点 (特征值)密切相关，经典控制理论用输出反馈或引入校正装 置的方法来配置极点，以改善系统性能而现代控制理论由于采用了状态空间来描述系统， 除了利用输出反馈以外， 主要利用状态反馈来配置极点采用状态反馈不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律然而系统的状态变量在工程实际中并不都是可测量的，于是提出了根据已知的输入和输出来估计系统状态的问题， 即状态观测器的设计§ 5-1 状态反馈与闭环系统极点的配置一、状态反馈1、状态反馈的概念状态反馈就是将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数反馈到输入端与参考输入 相加，其和作为受控系统的输入设SISO系统的状态空间表达式为：x Ax buy cx状态反馈矩阵为k,则状态反馈系统动态方程为：x Ax b(v kx) (A bk)x bvy cx式中：k为1 n矩阵，即k k kikn i ,称为状态反馈增益矩阵A bk)称为闭环系统矩阵闭环特征多项式为 I (A bk)可见，引入状态反馈后，只改变了系统矩阵及其特征值，b、c阵均无变化例5.1.1 ］已知系统如下，试画出状态反馈系统结构图。

0100X 011 X 0u,y 4 0 0 x0021解：uv kx v k0 k1 k2 xX1其中kk0 k1k2称为状态反馈系数矩阵或状态反馈增益矩阵X2X2X2X3X32x334X1说明：如果系统为r维输入、 维矩阵即m维输出的MIMO 系统，则反馈增益矩阵k是一个r mkiik12kimk21k22k2mkr1kr2krm r m2、状态反馈增益矩阵 k的计算控制系统的品质很大程度上取决于该系统的极点在s平面上的位置因此，对系统进行综合设计时，往往是给出一组期望的极点，或者根据时域指标提出一组期望的极点所谓极点配置问题就是通过对反馈增益矩阵k的设计，使闭环系统的极点恰好处于s平面上所期望的位置，以便获得期望的动态特性本节只讨论SISO系统的极点配置问题，因为SISO系统根据指定极点所设计的状态反馈增益矩阵是唯一的定理5.1:用状态反馈任意配置极点的充要条件是：受控系统可控证明：(1 )充分性：PX),将A、b化为可控标准型A P 1 APC CP0100000100b P 1b00010aa1a2an 1111n设受控系统可控，则一定可通过线性变换在变换后引入状态反馈增益矩阵k k0 k1kn 1u v kx故变换后的状态反馈系统的动态方程为其中:A bk(A bk)xbvcx010000100001aia2k1k2an 1a。

kkn闭环特征多项式为f()(Abk)(an1kn1)(a1ki)(a)设闭环系统的期望极点为则系统的期望特征多项式为*f ( )(1)(2)( n)n * n 1an 1*ai*a欲使闭环系统的极点取期望值，只需令f( ) f*()an 1kn*an 1ai*a1ako*a只要适当选择k0 k1kn 1 ,就可以任意配置闭环极点2)必要性若受控系统不可控,必有状态变量与u无关，则kko k1kn 1 , u v kX 中定有元素不存在，所以不可控子系统的特征值不可能重新配置O按指定极点配置设计状态反馈增益矩阵 k的一般步骤如下:(1)对给定可控系统(A,b,c),进行P变换，即X PX ,化成可控标准型x AX buy CX其中：A P 1AP, b P 1b, C cP(2)导出在可控标准型下的闭环系统的特征多项式f ( ) n (an 1 kn 1) n 1(a1 k1) (a)(3)根据闭环系统极点的期望值，导出闭环系统的期望特征多项式*n * n 1**f ( )an 1a〔a4)确定对于可控标准型下的状态变量X的反馈增益矩阵k*f( ) f ()，*(a) (a1 a1)，*(a n 1an 1)(5)把k化成对于给定状态变量 x对应的kk kP【例5.1.2 ］已知SISO系统的传递函数为G(s)s(s 1)(s 2)10试设计状态反馈增益矩阵k使闭环极点配置在-2,1 j o解：由于SISO系统的G(s)无零极点对消，故系统可控。

可直接写出可控标准型10 0设状态反馈增益矩阵k为:k0k1k2状态反馈系统的特征方程为f()I (Abk)(3k2 )(2 kJ k0 0期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:2)(j)(j)令f()k0kk1k1k2k2分析说明：从而可以比较简单地在例5.1.2中，由于传递函数的实现一开始就采用了可控标准型, 计算出反馈增益矩阵k,对闭环系统进行极点配置如果但是从工程实际上看，可控标准型实现的状态变量的信息在物理上是很难采集的,要使设计出来的k能在实际系统中方便地建立起来，应该尽可能地选择那些其状态变量在物理上容易采集的实现作为系统的实现比如例5.1.2中，选择串联分解所得到的动态方程作为系统实现就较为合理即G(s)10s(s 1)(s2) 10 ；受控系统结构图原受控系统的动态方程为:10 0设状态反馈增益矩阵k为:k0k2状态反馈系统的特征方程为f()I (A(3k2) 2(2 K k2) k0 0期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:*f ( ) ( 2)( 1 j)( 1j)令f( ) f (),可得k04k042 k1k26 k133k24k21状态反馈系统结构图结论：求解实际问题的状态反馈增益矩阵 k时，没有必要象定理 5.1证明那样 去进行可控标准型的变换，只要先验证受控系统可控，并计算 f( ) | I (A bk)|及期望特征多项式 f (),由f( ) f (),便可确定状态反馈增益矩阵 kko k1kn1。

例5.1.3 ］已知siso系统的传递函数为10(s 1)s(s 1)(s 2)试研究采用状态反馈使闭环极点配置在-2 , 1 j的可能性解：该SISO系统的传递函数 G(s)存在零极点对消1)若选择可控标准型实现(便不可观测)，仍可以配置极点，方法步骤同【例5.1.2(2)若选择可观测标准型实现(便不可控)0 00102 X 10 U y30设状态反馈增益矩阵 k为：kk0 k1k2状态反馈系统的闭环状态矩阵为A bk0 001010k010k110k21 0210 k0 k1 k21 10k010k12 10k20 130013状态反馈系统的特征方程为f()I (A bk)3 (10k0 10kl 3) 2(30k040 kl10k22)(20%30 kl10k2)期望闭环极点对应的闭环系统期望特征方程为:2)(j)(1 j)_ *令 f( ) f (),可得10k°30k010K40k110k220k30ki10k2方程组无解，即这种情况下用状态反馈不能配置极点二、闭环系统期望极点的选取总的来说，系统的性能主要取决于闭环主导极点, 把系统看作是一个其极点就是主导极点对的二阶系统而远极点只有微小的影响。

也就是说,可根据动态指标 ％和t s来确定期望主导极点的位置:100% (01)ts4.5wn2%)1,2WnjWn(1,2为期望的主导极点)【例5.1.4】试设计如图所示系统的状态反馈增益矩阵k,使闭环系统满足下列动态指标:(1)输出超调量% 4.32%(2)调节时间ts0.5秒解：确定闭环系统的期望主导极点1, 2,由1 , 2100%4.32%4.5ts0.5 (s)Wn解出 0.707, wn 9.0,则1782 14580k01,2WnjWn令第三个极点310Re[ 1故_ *f ( ) (90)(9f( ) | I (A bk)0000000003(18k2)129 j9903j9)(9 j9)108100 0 01210 0 006k0 k1 k22 (72 k1 12k2)» *由 f( ) f (),有k014580k01458072k1 12k21782k143018k2 108k290§ 5-2状态反馈对可控性与可观测性的影响定理5.2:若线性定常系统 (A,b,c)是可控的，则状态反馈所构成的闭环系统k(A bk,b,c)也一定是可控的定理5.3:状态反馈可能影响系统的可观测性。

说明：当任意配置的极点与零点存在对消时，状态反馈系统的可观测性将会改变，从 而不能保持原受控系统的可观测性如果原受控系统不含闭环零点，则状态反馈系统能保持 原有的可观测性定理5.4:引入状态反馈前后，系统零点不发生改变例5.2.1］若原系统的传递函数为:L (s 1)(s 2)Go(S) (s 1)(s 2)(s 3)试求使状态反馈闭环系统的传递函数为G(s)s 1(s 2)(s 3)的状态反馈增益矩阵k解：比较G0(s)和G(s)可知，G(s)中应含有s 2的零点，故G(s)应为G(s)(s 1)(s 2)(s 2)2(s 3)Go(s)s2 3s 2s3 7s 6设kk0kl k2 ，期望闭环极点为：-2,-2,-3原系统无零极点对消，系统完全可控，写出其可控标准型00 1 x 0u,y 2 3 1 x6 7 0132f( ) | I (A bk)k2( 7 ki)(6 ko)*f ( ) (2)(2)(3)3 7 2 1612k06由 f ( ) f *。