解析几何七种常规题型及方法.doc

解析几何七种常规题型及措施常规题型及解题的技巧措施A:常规题型方面一、一般弦长计算问题：例1、已知椭圆，直线被椭圆C截得的弦长为，且，过椭圆C的右焦点且斜率为的直线被椭圆C截的弦长AB，⑴求椭圆的方程；⑵弦AB的长度.思路分析：把直线的方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式求解.解析：⑴由被椭圆C截得的弦长为，得，………① 又，即，因此………………………….② 联立①②得，因此所求的椭圆的方程为. ⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为：， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，从而，由弦长公式，得，即弦AB的长度为点评：本题抓住的特点简便地得出方程①，再根据得方程②，从而求得待定系数，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式二、 中点弦长问题：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数 典型例题 给定双曲线过A（2，1）的直线与双曲线交于两点 及，求线段的中点P的轨迹方程 分析：设，代入方程得， 两式相减得 又设中点P（x,y），将，代入，当时得 。

又， 代入得当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是阐明：本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的状况例2、过点作抛物线的弦AB，恰被点P平分，求AB的所在直线方程及弦AB的长度思路分析：由于所求弦通过定点P，因此弦AB所在直线方程核心是求出斜率，有P是弦的中点，因此可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长.解法1：设以P为中点的弦AB端点坐标为，则有，两式相减，得又则，因此所求直线AB的方程为，即.解法2：设AB所在的直线方程为 由，整顿得. 设，由韦达定理得， 又∵P是AB的中点，∴，∴因此所求直线AB的方程为.由 整顿得，，则有弦长公式得，.点评：解决弦的中点有两种常用措施，一是运用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是运用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长.三、焦点弦长问题：例3、（同例1、⑵）另解：⑵∴椭圆的右焦点，∴的方程为： ， 代入椭圆C的方程，化简得，由韦达定理知，由过右焦点，有焦半径公式的弦长为. 即弦AB的长度为点评：在解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，一般应用韦达定理与弦长公式，若波及到焦点弦长问题，则可运用焦半径公式求解，可大大简化运算过程.弦长问题在高考题及模拟题中常常浮现，从理论上讲，运用弦长公式就能解决问题。

但实际中，除个别简朴题（本文从略）外，直接运用弦长公式会使问题变得非常繁琐本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决方略一、两线段相等类型I 有相似端点的不共线线段例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点，过点A做倾斜角为的直线L，交抛物线于A、B两点，且成等比数列（1）求抛物线方程；（2）问（1）中抛物线上与否存在D，使得成立？若存在，求出D的坐标方略分析：由于D、B、C三点不共线，要使得成立，只需取BC中点P，满足 由于这种类型题目的常用性与基本性，我们再举一种例子作为练习：例2、（，孝感二模） 已知（1）求点P(x,y)的轨迹方程C；（2）若直线L：（）与曲线C交与AB两点，D(0,－1)，且有，试求b的取值范畴类型II 共线线段例3、直线L与x轴不垂直，与抛物线交于AB两点，与椭圆交于CD两点，与x轴交于点M，且，求的取值范畴方略分析：不妨设A在B下方，C在D下方，由于ABCD共线，要使,只需，即，结合韦达定理可得成果二、三线段相等类型I 正三角形例 4、（，北京春招） 已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L：x=－1相切，点C在L上（1）求动圆圆心的轨迹M的方程；（2）设过点P且斜率为的直线与曲线M相交于AB两点①问三角形ABC能否为正三角形？若能，求点C坐标；若不能，阐明理由；②问三角形ABC能否为钝角三角形？若能，求点C纵坐标的取值范畴；若不能，阐明理由。

方略分析：对于本题波及的正三角形问题，其突出特点是，落在直线上的两个顶点实际是已知的因此，只需设C（－1，y），根据和分别列方程求y值，判断两个y值与否相等例5、（，学海大联考六） 如图，在直角坐标系中，点A(-1,0)、B(1,0)、P(x,y)，设，与x轴正方向的夹角分别为，且(1)求点P的轨迹G的方程；(2)设过点C的直线L与轨迹G交于不同的两点MN，问在x轴上与否存在一点E使为正三角形？方略分析：设直线L：y=kx-1，由韦达定理求出MN中点F的坐标，再根据，求出；运用弦长公式求出｜MN｜，再根据解得注意代入验证类型II 共线线段例6、（，广东高考卷）设直线与椭圆相交于AB两点，又与双曲线相交于CD两点，CD三等分线段AB，求的方程方略分析：实质是当与x轴垂直时，方程为；当与x轴不垂直时，先由，运用例3的措施，求得或，然后分类讨论求出ABCD的横坐标，运用，得出和三、线段成比例类型I 两个已知点一种未知点例7、（，黄冈调研） 已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆的右焦点F做直线L，使，又L与交于点P设L与椭圆的两个交点由上到下依次为AB，（1）当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程；（2）当时，求的最大值。

方略分析：F点和P点的坐标皆可求，根据定比分点公式，求出A点坐标，代入椭圆方程即可类型II 一种已知点两个未知点例8、(，全国卷) 设双曲线C：（a>0）与直线L：相交于两个不同的点AB（1）求双曲线的离心率e的取值范畴；（2）设直线L与y轴的交点为P，且，求a值方略分析：设A、B、，由知，于是，，，前式平方除后来式消掉，结合韦达定理即可求出a注：更一般的，若某直线与圆锥曲线交点AB，且，其中，，则，可以算出和，运用例8思想求解；或者，使用如下技巧，结合韦达定理2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 典型例题 设P(x,y)为椭圆上任一点，，为焦点，， （1）求证离心率； （2）求的最值 分析：（1）设，，由正弦定理得 得 ， （2） 当时，最小值是； 当时，最大值是3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本措施是解方程组，进而转化为一元二次方程后运用鉴别式，应特别注意数形结合的措施【高考会这样考】1．考察圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考察重要是在解答题中进行，考察函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用．基本梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，一般将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同步为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一种有关变量x(或变量y)的一元方程．即消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的鉴别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C无公共点．(2)当a＝0，b≠0时，即得到一种一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一种交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行．2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一种交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重叠时，直线与抛物线也只有一种交点。

⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重叠；当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重叠②.若，设时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)．A．相交 B．相切C．相离 D．不拟定解析　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案　A2．(·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一种公共点”的(　　)．A．充足而不必要条件B．必要而不充足条件C．充要条件D．既不充足也不必要条件解析　与渐近线平行的直线也与双曲线有一种公共点．答案　A3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一种交点，则椭圆的长轴长为(　　)．A．3 B．2 C．2 D．4解析　根据题意设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，则将x＝－y－4代入椭圆方程，得4(b2＋1)y2＋8b2y－b4＋12b2＝0，∵椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一种交点，∴Δ＝(8b2)2－4×4(b2＋1)·(－b4＋12b2)＝0，即(b2＋4)(b2－3)＝0，∴b2＝3，长轴长为2＝2.答案　C4．(·成都月考)已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(　　)．A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1解析　设双曲线的原则方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由题意知c＝3，a2＋b2＝9，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：两式作差得：＝＝＝，又AB的斜率是＝1，因此将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5，因此双曲线的原则方程是－＝1.答案　B5．(·泉州模拟)y＝kx＋2与y2＝8x有且仅有一种公共点，则k的取值为________．解析　由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k＝0或k＝1.答案　0或1　　考向一　直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(·合肥模拟)设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范畴是(　　)．A. B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4][审题视点] 设直线l的方程，将其与抛物线方程联立，运用Δ≥0解得．解析　由题意得Q(－2,0)．设l的方程为y＝k(x＋2)，代入y2＝8x得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，∴当k＝0时，直线l与抛物线恒有一种交点；当k≠0时，Δ＝16(k2－2)2－16k4≥0，即k2≤1，∴－1≤k≤1，且k≠0，综上－1≤k≤1.答案　C 研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程构成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，。