第5章 相似矩阵及二次型.ppt

第五章 相似矩阵及二次型,方阵的特征值与特征向量 相似对角化 二次型化简,向量的内积、长度及正交性 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 对称矩阵的对角化 二次型及标准形 配方法 正定二次型,1、内积,一、向量的内积、长度及正交性,（数值）,外积,（矩阵）,性质,2、向量的长度,模,性质,向量的长度（范数）,3、施瓦茨（Schwarz）不等式,4、正交,证明,若n维向量 是一组两两正交的,定理1,非零向量，则 线性无关,解：,例1-1,已知 正交，求 ，使得 为正交向量组,由,即求方程组 的一个解,５、规范正交基,已知V为n维向量空间 若V中的一组基 ，满足,则称 为V的一个规范正交基,例如,若已知V中的一组规范正交基 ，则 ，有,也即a在 下的坐标,6、规范正交化,给定n维向量空间,若已知V的一组基 ，如何从它出发求一组规范正交基,Q:,如,为V的一组基,1) 施密特(Schimidt)正交化,取,即,以此类推，得,2) 单位化,例1-2,解：,7、正交矩阵,单位向量正交,结论：A正交 A的列向量都是单位向量， 且两两正交,A正交 A的行向量也是两两正交的 单位向量,性质,1、A正交，则 也正交，且,2、正交矩阵的乘积仍为正交矩阵,性质 正交变换保持向量的长度不变．,8、正交变换,A正交，称 为正交变换,如：旋转变换,,二、方阵的特征值与特征向量,1、定义,A为n阶方阵，若,则称 为A的一个特征值，x为 对应的特征向量,求A的特征值问题归结为行列式的求解,有n个根（实根、复根）可以有重根,例2-1 求矩阵 的特征值和特征向量,,定理 设 为A的n个特征值，则,求证：若n阶矩阵A满足R(A)

属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，对应一个特征值的特征向量不唯一；而一个特征向量不能属于不同的特征值例2-4 都是A的特征值， 为对应的特 征向量，则 不是A的特征向量证明：,求证：,习题 若4阶方阵A满足：,求 的一个特征值,,三、相似矩阵,定义,则称B与A相似A、B为n阶方阵，若 可逆，使得,若A与L相似，,利用对角矩阵计算矩阵多项式,,,,对角化,若A可对角化（ 相似于对角矩阵）,？,,≥,，则对应于 有 个无关的特征向量，可对角化例2-2,例2-3,当 重根对应 个线性无关特征向量时可对角化,例3-1 判断如下实矩阵能否化为对角阵？,故 不能化为对角矩阵.,解,解,其对应的特征向量为：,可对角化.,注意,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．,练习3-2,,性质,四、对称矩阵的对角化,对称矩阵A,定理6,即,,给定一个对称阵A，将A,Q:,将A（对称）对角化的步骤：,注：,,,例 对如下实对称矩阵，试求一个正交矩阵 ，使 为对角阵.,第二步 求特征向量,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,得 P =,思考题,思考题解答,,五、二次型及标准形,1、二次型,对二次曲线,椭圆,若,双曲线,圆,如何讨论,的几何性质？,只含平方项无交叉项,标准形,规范形,2、定义(二次型),例如,都是二次型；,为标准形.,3、二次型的矩阵表示,,例,由此，二次型 f 与对称矩阵A之间存在一一对应的关系．A 称为 f 的矩阵， f 称为A的二次型， A 的秩称为 f 的秩,,4、,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．,合 同,解,① 写出对应的二次型矩阵，并求其特征值,例2,得特征值：,② 求特征向量,③ 将特征向量正交化,④ 将正交向量组单位化，得正交矩阵,得所求正交变换：,思考题：,,六、配方法,用正交变换化二次型为标准形，其特点是保持几何形状不变．,例15,令,即,,,例16,令,2）不含平方项。

由交叉项转换成平方项，再配方,1）含平方项配方去掉含该未知数的交叉项,取一正一负,得,得,,七、正定二次型,标准形不唯一，但正系数的个数保持不变且 f 的规范形,1、惯性定理,2、定义(正定二次型),正惯性指数＝n的二次型→正定矩阵,定理：f 正定 A 的特征值全为正,A 的各阶主子式 > 0,f 负定 A 的奇数阶主子式 < 0,偶数阶主子式 > 0,对称阵,解,它的顺序主子式,故上述二次型是正定的.,二次型的矩阵为,故此二次型为正定二次型.,即知 是正定矩阵，,解,A 正定,,（当且仅当 y = 0 时取等号）,已知：A2 = B2 =E，|A|+|B|=0,求证：|A+B|=0,求证：二次型 | f |≤ CxTx (=max{| |}),,。