《相似三角形的判定》3.ppt

27.2 27.2 三角形相似的判定三角形相似的判定（（3 3））复习复习1、相似三角形有哪些判定方法、相似三角形有哪些判定方法?AC/B/A/ CB（１）．定义法（不常用）（１）．定义法（不常用）（２）．（２）．“平行平行”定理：定理：平行于三角形一边平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似三角形相似３）．（３）．“三边三边”定理（定理（SSS）：三边对应的）：三边对应的比相等，两个三角形相似比相等，两个三角形相似.（４）．（４）．“两边夹角两边夹角”定理定理(SAS)：两组对应边：两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相的比相等，并且相应的夹角相等的两个三角形相似似.观察 观察两副三角尺，其中同样角度（观察两副三角尺，其中同样角度（30°与与60°，或，或45°与与45°）的两个三角尺）的两个三角尺,它们一定相它们一定相似吗？似吗？ 如果两个三角形有两组角对应相等，如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定相似吗？它们一定相似吗？ABCD F E M N ∵∵ AM=DE,∠∠A=∠∠D，，AN=DF∴∴ ΔAMN≌ ≌ΔDEF，，∴∴ ∠∠AMN=∠∠E，，又又∵∵ ∠∠B=∠∠E，，∴∴ ∠∠AMN=∠∠B，，∴∴ MN//BC，，∴∴ ΔAMN∽∽ΔABC。

∴∴ ΔDEF∽∽ΔABC证明：证明：在在AB,AC上分别截取上分别截取AM= DE,AN = DF已知已知: :在在△△ABCABC和和△△DEFDEF中中, ,∠∠A=∠∠D,∠∠B=∠∠E,求证求证: △△ABC与与△△ DEF.判定定理判定定理3(AA)：：如果一个三角形的两个角与如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似三角形相似 (两角两角对应对应相等相等，，两三角形两三角形相似相似)例例2. 如图，如图，△△ABC中，中， DE∥∥BC，，EF∥∥AB，， 试说明试说明△△ADE∽△∽△EFC. AEFBCD例题分析例题分析解解: ∵∵ DE∥∥BC，，EF∥∥AB（已知），（已知），∴∴ ∠∠ADE＝＝∠∠B＝＝∠∠EFC （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）∠∠AED＝＝∠∠C. （两直线平行，同位角相等）（两直线平行，同位角相等）∴∴ △△ADE∽△∽△EFC. （（两个角分别对应相等的两个角分别对应相等的两个三角形相似．）两个三角形相似．）3.下面这些三角形中，选出下面这些三角形中，选出一组你认为一组你认为相似的相似的三角形三角形.应用新知：应用新知：选一选选一选（（1）与（）与（4）与（）与（5））----“两角两角”定理定理（（2）与（）与（6））--“两边夹角两边夹角”定理定理4、判断题：、判断题：(1)所有的直角三角形都相似所有的直角三角形都相似 . ( ) (2)有一个锐角对应相等的两直角三角形相似有一个锐角对应相等的两直角三角形相似.( )(3)所有的等边三角形都相似所有的等边三角形都相似. ( )(4)所有的等腰直角三角形都相似所有的等腰直角三角形都相似. ( )(5)顶角相等的两个等腰三角形相似顶角相等的两个等腰三角形相似. ( )(6)有一个角相等的两个等腰三角形相似有一个角相等的两个等腰三角形相似. ( )×√√ √√×应用新知：应用新知：想一想想一想•P48 练习 1、22、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。

原三角形相似ADBC已知：在已知：在RtΔABC中，中，CD是斜边是斜边AB上的高证明证明: ∵∵ ∠∠A=∠∠A，，∠∠ADC=∠∠ACB=900，，此结论可以称为此结论可以称为“母子相似定理母子相似定理母子相似定理母子相似定理”,今今后可以直接使用后可以直接使用.∴∴ ΔACD∽∽ΔABC（两角对应相等，两（两角对应相等，两 三角形相似）三角形相似）同理同理 ΔCBD ∽∽ ΔABC ∴∴ ΔABC∽∽ΔCBD∽∽ΔACD求证：求证：ΔABCΔACD ∽∽ΔCBD ∽∽射影定理射影定理：(1) AC2＝AD·AB (2) BC2＝BD·AB (3) CD2＝BD·AD例例2 2：：如图，弦AB和CD相交于圆O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD证明：连接证明：连接ACAC、、BDBD∵∠∵∠A A和和∠∠D D都是弧都是弧CBCB所对的圆周角，所对的圆周角，∴∴∠∠ A=A=∠ ∠D D同理同理∠∠C=C=∠ ∠B B （或∠APC＝∠DPB） ∴△∴△PACPAC∽△∽△PDBPDB∴∴A AB BC CD DP PO·O·即PA·PB=PC·PD例例 2.2.弦弦 ABAB和和 CDCD相相 交交 于于 ⊙⊙o o内内 一一 点点 P,P,求求 证证:PA:PA·PB=PCPB=PC·PDPDABCDPO证明:连接AD、BC∵∠A、∠C都是BD所对的圆周角⌒∴ ∠A=∠C同理: ∠D=∠B（或∠APD＝∠CPB）∴△PAD∽△PCB即PA·PB=PC·PDPBPDPCPA=\•对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等。

那么，满足斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似吗？DEFBCADEDFEDFEDEDEFDEDEDFED如图：在直角ΔABC与直角与直角DEF中，若中，若AB:DF=AC:DE ,求证：求证：ΔABC∽ ∽ ΔDEF'相似三角形的识别方法有那些？相似三角形的识别方法有那些？方法方法1：通过定义：通过定义方法方法5：：“两角两角”定理定理(AA)：：两角对应相等，两两角对应相等，两三角形相似三角形相似课课 堂堂 小小 结结方法方法2：： “平行平行”定理：定理：平行于三角形一边的直线和平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似方法方法3：：“三边三边”定理定理(SSS)：：三组对应的比相等，三组对应的比相等，两个三角形相似两个三角形相似.方法方法4：：“两边夹角两边夹角”定理定理(SAS)：：两组对应边的比两组对应边的比相等，且夹角相等的两个三角形相似相等，且夹角相等的两个三角形相似.（不常用）（不常用）方法方法6：：“斜边、直角边斜边、直角边”定理定理(HL)：：两个直角三角形的斜两个直角三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，这两个直角三角形相似。

边和一条直角边的比对应相等，这两个直角三角形相似。