
2020届广东省中山市高三上学期期末数学(文)试题(解析版)..doc
21页2020届广东省中山市高三上学期期末数学(文)试题一、单选题1.集合,,则( )A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意得,∴.选D.2.已知是虚数单位,复数满足,则( )A. B. C. D.5【答案】A【解析】利用复数乘法和除法运算求得,进而求得的模.【详解】依题意,所以.故选:A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算,考查复数的模的计算,属于基础题.3.计算的结果为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据诱导公式,化简三角函数值;再根据正弦的差角公式合并即可得到解详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用,属于基础题4.“”是直线与圆相切的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由圆的方程得到圆心坐标和半径,使得圆心到直线的距离等于圆的半径,得到的值,即可得到结论.【详解】由圆,可得圆心为,半径.∵直线与圆相切,∴,∴,∴“”是直线与圆相切的充要条件,故选C.【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用,其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用,以及充要条件的判定,其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力.5.下列四个正方体图形中,,为正方体的两个顶点,,,分别为其所在棱的中点,能得出平面的图形的序号是( )A.①③ B.②③ C.①④ D.②④【答案】C【解析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性,利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①,连接如图所示,由于,根据面面平行的性质定理可知平面平面,所以平面.对于②,连接交于,由于是的中点,不是的中点,所以在平面内与相交,所以直线与平面相交.对于③,连接,则,而与相交,即与平面相交,所以与平面相交.对于④,连接,则,由线面平行的判定定理可知平面.综上所述,能得出平面的图形的序号是①④.故选:C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题.6.若,则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析:三个对数的底数和真数的比值都是,因此三者可化为的形式,该函数为上的单调增函数,从而得到三个对数的大小关系.详解:,,,令,则在上是单调增函数.又,所以即.故选D.点睛:对数的大小比较,要观察不同对数的底数和真数的关系,还要关注对数本身的底数与真数的关系,从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.7.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图,气泡的大小表示完成率的高低,如10月份销售任务是400台,完成率为90%,则下列叙述不正确的是( )A.2018年3月的销售任务是400台B.2018年月销售任务的平均值不超过600台C.2018年第一季度总销售量为830台D.2018年月销售量最大的是6月份【答案】D【解析】根据图形中给出的数据,对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论.【详解】对于选项A,由图可得3月份的销售任务是400台,所以A正确.对于选项B,由图形得2018年月销售任务的平均值为,所以B正确.对于选项C,由图形得第一季度的总销售量为台,所以C正确.对于选项D,由图形得销售量最大的月份是5月份,为800台,所以D不正确.故选D.【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算,解题的关键是从图中得到相关数据,然后再根据要求进行求解,属于基础题.8.已知满足不等式组则的最小值为( )A.2 B. C. D.1【答案】D【解析】不等式组对应的可行域如图所示,因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍,由可行域可知点A(2,0)到直线x+y-1=0的距离最短,故故选D.点睛:本题的关键是找到的几何意义,要找到的几何意义,必须变形,所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍.突破了这一点,后面的解答就迎刃而解了.9.已知函数的最小正周期是,若,则( )A. B. C.1 D.-1【答案】D【解析】根据的最小正周期求得,由列方程,利用诱导公式求得.【详解】由于的最小正周期为,所以,所以.所以.由得.所以.故选:D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数,考查诱导公式,属于基础题.10.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语,“堑堵”意指底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱,而“阳马”指底面为矩形,且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵,,若,当阳马体积最大时,则堑堵的外接球体积为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】根据体积的最大值求得此时的长,判断出球心的位置,求得的外接球的半径,进而求得球的体积.【详解】依题意可知平面.设,则.,当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为,故半径.所以外接球的体积为.特别说明:由于平面,是以为斜边的直角三角形,所以堑堵外接球的直径为为定值,即无论阳马体积是否取得最大值,堑堵外接球保持不变,所以可以直接由直径的长,计算出外接球的半径,进而求得外接球的体积.故选:B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法,考查四棱锥体积最大值的计算,考查空间想象能力和逻辑推理能力,考查中国古代数学文化,属于基础题.11.已知数列是各项均为正数的等比数列,为数列的前项和,若,则的最小值为( )A.9 B.12 C.16 D.18【答案】D【解析】将已知条件转化为的形式,结合基本不等式求得的最小值.【详解】由得,所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选:D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算,考查利用基本不等式求最值,考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12.已知函数(其中无理数),关于的方程有四个不等的实根,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】利用导数研究的单调性和极值,由此画出的图像.令,将方程有四个不等的实根转化为在上各有一实根来求解,结合二次函数的根的分布列不等式,解不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知函数的定义域为.且.所以在上递增,在上递减,且,由此画出的图像如下图所示.令,则的单调性与相同,且.关于的方程有四个不等的实根,所以,即在上各有一实根.令,所以,即,所以.所以实数的取值范围是.故选:C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,考查根据方程零点的个数求参数的取值范围,考查数形结合的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.二、填空题13.等差数列的前项和为,若,是方程的两根,则:__________.【答案】52【解析】利用根与系数关系,等差数列前项和公式,求得的值.【详解】由于,是方程的两根,所以,所以.故答案为:【点睛】本小题主要考查根与系数关系,考查等差数列前项和公式,考查等差数列的性质,属于基础题.14.如图所示,已知正方形,以对角线为一边作正,现向四边形区域内投一点,则点落在阴影部分的概率为__________.【答案】【解析】分析:设正方形的边长为2,则,根据为正三角形,分别求出和阴影部分面积,利用面积比即可求得概率.详解:设正方形的边长为2,则.∵为正三角形∴∴阴影部分面积为∴向四边形区域内投一点,则点落在阴影部分的概率为故答案为.点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,要考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性,基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的的区域是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.15.已知向量与的夹角是,且,则向量与的夹角是_____.【答案】【解析】首先根据,求得,由此利用夹角公式计算出向量与的夹角的余弦值,由此求得向量与的夹角.【详解】由两边平方并化简得,即,即.所以,由于,所以.故答案为:【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算,考查向量夹角公式,考查运算求解能力,属于中档题.16.已知函数,若有,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】∵,∴函数在R上为增函数,由题意得,∴,∵,∴。
∴,解得∴实数的取值范围是答案:点睛:本题考查了用函数单调性解不等式的问题,同时也考查了学生观察问题分析问题的能力,由题意得到是解题的关键,在此基础上将不等式化为的形式,下一步需要由函数的单调性求解,在分析可得函数为增函数,所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解三、解答题17.设为数列的前项和,已知,.(1)证明为等比数列;(2)判断,,是否成等差数列?并说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)成等差数列,理由见解析【解析】(1)由递推关系求得,通过计算,证得数列为等比数列.(2)由(1)求得数列的通项公式,由分组求和法求得,证得,所以,,成等差数列.【详解】(1)证明:∵,,∴,由题意得,,∴是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1),∴.∴,∴,∴,即,,成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列,考查分组求和法,考查等差数列的证明,属于基础题.18.为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量,抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位:小时) 如下:248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283分组频数频率频率/组距总计0.05(1)完成频率分布表,并作出频率分布直方图;(2)估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时;(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限.【答案】(1)见解析 (2)3.6万台 (3)269小时【解析】(1)根据题目所给数据求得频数、频率以及频率/组距,填写好表格并画出频率分布直方图.(2)计算出无故障连续使用时限不低于280小时的频率,再乘以万,求得估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.(3)利用每组中点值成立对应的频率,然后相加,求得样本的平均无故障连续使用时限的估计值.【详解】(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示:分组频数频率频率/组距10.050.002510.050.002520.100.005030.150.007540.200.010060.300.015020.100.0050。
