高斯投影正反算公式83.doc

§8.3高斯投影坐标正反算公式任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件高斯投影坐标正算公式： B, x,y高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为的偶函数，y为的奇函数；，即，如展开为的级数，收敛 （8-33） 式中是待定系数，它们都是纬度B的函数由第三个条件知：(8-33)式分别对和q求偏导数并代入上式 (8-34)上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即 (8-35) (8-35)是一种递推公式，只要确定了就可依次确定其余各系数 由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(8-33)式第一式中，当时有： (8-36)顾及(对于中央子午线)得： (8-37,38) (8-39)依次求得并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式 (8-42)高斯投影坐标反算公式 x,y B,投影方程： (8-43)满足以下三个条件：①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。

高斯投影坐标反算公式推导要复杂些①由x求底点纬度(垂足纬度),对应的有底点处的等量纬度，求x,y与的关系式，仿照(8-10)式有， 由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数 (8-45)是待定系数，它们都是x的函数.由第三条件知：， ， (8-21)(8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式 上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等， 第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度，设所对应的等量纬度为也就是在底点展开为y的幂级数 由(8-45)1式 依次求得其它各系数(8-51) (8-51)1 ………… 将代入(8-45)1式得 (8-55)1 (8-55) 将代入(8-45)2式得(8-56)2式。

最后表达式)②求与的关系由(8-7)式知： (8-47) (8-48) 按台劳级数在展开 (8-49) (8-50)由(8-7)式可求出各阶导数： (8-53) (8-54)1(8-54)2 …………………将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投影坐标反算公式(8-56)1, (8-56)归纳由求的基本思想：由点得到底点，将底点f作为过渡，也就是说将坐标原点o移到f点，先求关系式，再将关系式代入关系式得关系式，最后将坐标原点移回到o点,从而求得点高斯投影坐标正反算公式的几何解释①当B=0时x=X=0，y则随l的变化而变化，这就是说，赤道投影为一直线且为y轴当l=0时,则y=0,x=X,这就是说，中央子午线投影亦为直线，且为x轴，其长度与中央子午线长度相等两轴的交点为坐标原点②当l=常数时(经线),随着B值增加，x值增大，y值减小，这就告诉我们，经线是凹向中央子午线的曲线，且收敛于两极。

又因，即当用-B代替B时，y值不变，而x值数值相等符号相反，这就说明赤道是投影的对称轴③当B=常数时(纬线)，随着的l增加，x值和y值都增大，这就是说，纬线是凸向赤道的曲线又当用-l代替l时，x值不变，而y值数值相等符号相反，这就说明，中央子午线是投影对称轴由于满足正形投影条件，所以经线和纬线的投影是互相垂直的④距中央子午线愈远的子午线，投影后弯曲愈厉害，表明长度变形愈大。