最大化利润模型.doc
13页
广告效应与利润最大化模型摘要如何使商品的利润最大化关系着一个企业的生死存亡而在此过程中，广告 宣传和销售价格测定也是非常重要的环节科学的分析和预测广告费和售价至关 重要广告费本文依次建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型、广告费与 销售增长因子的二阶回归模型和利润最大化模型首先，本文建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型对售价和预期销 售量的数据分析，发现两个具有一定的线性相关关系运用matlab软件的画 图工具画出两者之间的散点图，发现两者的相关性极其强烈再运用 MATLAB 软件对两者数据进行一元线性回归分析，结果显示模型中的两个重要参数的估计 值比较理想，模型的拟合效果良好最后利用matlab软件中的曲线拟合工具 建立了售价与预期销售量的一元线性回归模型但是本模型涉及到的参数只有售 价和预期销售量，并不能满足题目的要求，准确的预期到利润最大的结果因此 模型也不做预测其次，本文建立了广告费和销售增长因子的二阶回归模型模型以广告费和 销售增长因子作为参数在拥有的数据基础上建立了两者间散点图，并模型就行 预测为二阶回归模型对模型进行多项式拟合分析建立了二阶回归模型，但是为 了验证该模型的正确性，本文还建立了三阶回归模型。
经过比较发现二阶回归模 型最优然而，本模型与第一模型存在同样的问题模型涉及的参数只有广告费 和销售增长因子，并不能准确的估计出最大的利润再次，本文还建立了利润最大化模型在综合了模型一和模型二的基础上，提出两个模型中的重要因素， 最后以售价和广告费为参数建立模型w二(x-2)*(—0.0004*z人2 + 0.0409*z +1.0188)*(—5.1333*x + 50.4 2 2)2-z本模 型利用MATLAB中最优化工具进行分析但是为了得到最优化问题的最优初始 解，本文对模型进行了二维差值运算接着 ，运用 MATLAB 中的三维画图工 具进行分析最后得出结论：当售价在 5.9113 元和广告费在 35.2075千元时， 商家可以得到最大利润 118.9437 千元该模型模型优点是将比较实用，缺点是 模型忽略了很多市场上的复杂因素，比如销售地点，销售时间接着，本文对模型提出了改进成本优化问题和抵御风险优化问题其中将一 系列可能影响到利润最大化的因素和各种因素产生影响考虑进去使本模型的预 测更加准确最后，本文就得到的结论对商家提出建议商家在增加售价的时候要适当的 增加广告费，但要注意增加的幅度。
因为广告费增加到一定程度后继续增加会使 利润降低此外价格较低的商品不宜设立广告关键词：一元线性回归 曲线拟合 二阶回归模型 利润最大化模型 MATLAB 软件一、问题重述广告宣传和销售价格测定是商家在市场竞争中非常重要的环节，关系到企业 的生存问题因此科学的分析和预测广告费和售价至关重要在此过程中本文以 下面所诉的问题进行分析，最终到一般结论：某公司有一批以每桶 2 元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的 价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出于是打算 增加广告投入来促销而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述例如， 投入 3 万元的广告费，销售因子为 1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广 告销售量的 1.85 倍根据经验，广告费与销售因子的关系如表 2，现请你作出 决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得的利润最大?表1售价2. 002. 503. 003. 504. 004. 505. 005. 506. 00预期销 售量（千 桶）413834322928252220表2广告费（千元）010203040506070销售增长因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 80二、模型假设1．售价以元为单位、销售量以千桶为单位和广告费以千元为单位；2．成本问题只考虑与进货价一参数相关；3．市场对彩漆的需求量是无限且连续的，大于彩漆的供给量；4．消费者对彩漆的需求只受到价格的影响；5．彩漆在短期内不会被代替；6．忽视在生产销售的过程中的自然灾害和遇到后造成的损失；改变7．市场需求量相对稳定，产品质量突然不会突然出现问题。
三、参数和符号说明ai ，bi ， ci 为模型中的系数x 为售价y 为预期销售量g 为销售增长因子z 为广告费w 为利润[x , z] 为 x 与 z 的分别取值y（x） 为售价与预期销售量的函数关系g(z) w(x,z) Q(a) C(s)为广告费和销售增长因子函数关系 为利润与售价和广告费的函数关系 为抵御风险函数关系 为改进成本函数关系四、模型的分析、建立与求解(一) 模型一(售价与预期销售量的一次线性回归模型)的分析、建立 1．模型一的分析该模型以售价和预期销售量为参数对拥有售价和预期销售量的数据分析， 发现两个具有一定的线性相关关系运用MATLAB软件的画图工具画出两者之 间的散点图，发现两者的相关性极其强烈然后可以考虑运用一元线性回归的 方法进行线性拟合，从而得出拟合方程2．模型一建立图 1 价格与预期销售量的散点图A售价与预期销售量数据如下表：表 1 售价与预期销售量的数据售价2. 002. 503. 003. 504. 004. 505. 005. 506. 00预期销 售量(千 桶)413834322928252220接着，MATLAB软件对数据进行分析，散点图如下:从图中可以看出，，随着售价的增加预期销售量也会不断的减少。
两者显然,存在相关的关系故建立一次线性模型 y=a(0)*x+a(1)为了确定一次线性模型中的参数a(0)和a(l),对数据进行曲线拟合最终得到模型中的两个参数值a(0) = -5.1333，a⑴二50.4222即价格与销售量的一次线性模型为 y = -5.1333* x + 50.4222函数图像为:(二)模型二(广告费与销售增长因子的一元二次回归模型)广告费和销售增长因子的数据如下表：21.91.81.71.6广告费(千兀)010203040506070销售增长因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 80对数据进行分彳析，得到散点图如下图表2 广告费与增长因子的数据图 3 广告费与增长因子间的散点图〔y)间的散点图)1 1 1-^+告费 5 与销售增輝子I I I~+6 1.51.41.31.2A.由散点图猜测模型为g二B(0)*x人2 + B(l)*x + B(2)为了确定多项式中1 I I I I I I 一元二次函数模型中b(0)、b⑴和b(2)的值，对模型函数进行多项式拟合分析 利用 MATLAB 中的 polyfit()函数工具，得到结果b(0)二-0.0004、B(1)二 0.0409 和b(2) = 1.0188。
故，该猜测模型为 g = -0.0004 * zA2 + 0.0409 * z +1.0188且该模型的函数图像通过MATLAB工具显示如下：模型曲线与数据建立起的散点图的拟合程度图形如下：图5 模型曲线与数据建立的散点图拟合程度B .为确定二阶模型的是比较适合的，特建立三阶回归模型进行比较g二c(0)*xA3 + c(l)*xA2 + c(2)x + c⑶结果多项曲线拟合得到结果如下:c(0)二 0.0000、c(1)二—0.0004、c(2)二 0.0409 和 c(3)二 1.0188即 模型为g二0*x人3 — 0.0004*x人2 + 0.0409x +1.0188发现模型与上模型一致证明了二 阶回归模型的优越性三)模型三(利润最大化模型)综合模型一和模型二中的重要因素， 得到利润最大化模型:w 二(x — 2)* (—0.0004 * z人2 + 0.0409 * z +1.0188) * (—5.1333 * x + 50.4222) — z该模型以x (售价)和z (广告费)为参数运用MATLAB软件的最优化工具对模型进行分析求解但在求最优化解之前需要求出最优的初始解于是该模 型数据进行了二维差值分析。
二维差值运算过程中的相关数据间附录四)( 1) 二维差值运算A. 当售价取一个范围x[2 , 6]的范围时，用不同的z (广告费)的值代入二维差值运算过程中，得到数据和图像如下:表3x （售价/元）223.16013.51733.65553.7362z （广告费/千元）01025355060w （利润）019.078949.970872.280798.1579109.7661120图6利润在售价范围固定时不同广告费的函数图形 第II润在售价范围固定的H作取不同的广告费的图形:3.782365113.274910080604020 0-20-40结论：售价的范围固定下来后，以广告费为变量进行测试随着广告费的 像变化可以看出，无论广告费取何值，当利润的最大的时取不同值而引起的图候，售价总是趋近于一个值（这里约取为3.力即售价在3.7元的时候是比较 合理的，所以在利润最大化的时候约定x （售价）的初始值为3.7表4x （售价/元）22.5z （广告费/千元）69.596870.0806w （利润）78.947478.7719的过程中，得到的结果，如下数据和图像：图73.544.5569.758169.919469.919469.274278.1287116.4912116.578997.1057B. 当取广告费z[0 , 70]范围时，不同的x售价的值代入二维差值运算100806040200而引起的图像变化结论：广告费的范围来后，以售价为变量进行测试。
随着售价的取不同值以看出，无论售价取何值，当利润的最大的时候，广告费总是趋近于一个值（这里约取为70）即广告费在70千元的时候是比较合理的，所以在利润最大化的时候约定z （广告费）的初始值为702） 模型三求解运用MATLAB软件中的最优化工具进行求解首先，自变量进行替在求解最优化的过程中需要变量X故，如令x(l)=x,x(2)=z.即如下式： f(x)=(x(l)-2)*(-0.0004*x(2).人2+0.0409*x(2)+1.0188)*(-5.1333*x(l)+50.4222)-x(2) 其次,最优化过程的初始值点设为[x , z]=[3.7 , 70]，即[x(l),x(2)] =[3.7,70] 最后，将求解变量中的Display属性设置为‘it er'最优化处理后得到的最优值为［x , z］二［5.9113 , 35.2075］即是当售价在 5.9113元和广告费在35.2075千元时，商家可以得到最大利润118.9437千元该模型的三维图形（过程如附录五）如下：。
