断裂力学讲义第五章8-12应变能释放率.doc

5.8 应力强度因子与断裂韧性5.8.1 应力强度因子的基本概念在上节中，我们将各类裂纹端部各个应力分量归纳为一个统一的表达式: (5.61)它说明对每一种类型的裂纹端部应力场的分布规律（即随r及θ的变化规律）是相同的其大小则完全取决于参数KJ所以KJ是表征裂纹端部应力场的唯一物理量，因而称为应力场强度因子或应力强度因子如式(5.61)所示，应力在裂纹端部具有奇异性而KJ也正是用以描述这种奇异性的参数由式(5.25)可知： (5.62)即此公式仅在r/a << 1时才适用，因而 (5.63)上式即应力强度因子KJ的定义应该指出应力强度因子的量纲[应力][长度]1/2或[力] [长度]-3/2在SI单位制中其单位为，在公制中的单位为kg/mm3/2在英制中为lb/in3/2(磅/英寸3/2)，它们之间的换算关系为： 1kg=2.2046lb 1in=2.54000cm 1kg/mm3/2=0.3101 1lb/in3/2=1.09910-35.8.2断裂韧性由上面的分析可知，应力强度因子KJ是表征裂纹端应力场的唯一参量。

不同样品中的裂纹，几何参数及受载情况可以完全不同但只要其KJ相同，则裂纹端部的应力场是完全相同的进一步由式(5.57)可知，其位移场，进而其应变能场也是相同的因此KJ完全表征了裂纹端部的物理状态（即端部各种物理场的情况）因此它必然是度量裂纹稳定程度可靠参数用实验的方法可以测出某些材料中裂纹开始失稳扩展时临界的KJ值，称为材料的断裂韧性，用符号KJ表示它是表示材料抗脆断能力的一个全新的材料参量断裂韧性KJc（主要是KIc）的测试技术可参见褚武杨(1979), 陈篪等(1977)5.8.3应力强度因子的计算至此，我们得到断裂力学中关于材料的新判据： (5.64)这样KJc成为标志材料抗断裂能力的重要材料参数而KJ则是衡量裂纹端部物理状态（应力场，位移场）的重要参数，也是进行工程设计的重要依据因而在理论上还是实用上都有重大意义近廿年来断裂力学中的大量工作就是求应力强度因子现在已经有不少专门的手册如薛昌明(Sih, 1974), Tada et al(1973), 北京航空研究院(1981)求应力强度因子的方法是各式各样的可分为计算与实验两大类。

计算方法中又分为解析法及数值法解析方法中又有许多方法这里我们仅介绍复变函数的方法如果某一裂纹问题已求得其、或Z(z)，则可求其裂纹尖端的应力场根据式(5.63)即可求得其KJ下面我们来研究一下KJ与应力函数的直接关系对于平面裂纹体，（含有裂纹的物体以下简称裂纹体）在一般的情况下KI、KII常同时存在对于I型裂纹， 对于II型裂纹， 对于I、II型裂纹相结合的情况，=注意到，上式可表为 (5.65)根据柯洛索夫公式综合上述两式可得：= (5.66)如定义复应力强度因子，则得 = (5.67)上式中之所以要加上极限符号是因为公式(5.62)只适用于<< 1的情况依(5.67)可直接由求得KI、KII而不必再求裂纹端部的应力分量同理，如果已知Westergaard应力函数，由(5.20), ,由(5.35), ,对于I、II型裂纹相结合的情况，代入(5.65)得到,则 对于III型裂纹，由(5.50), , 又由(5.53), ,得到总之， (J=I, II, III)或 (J=I, II, III) (5.68)后面几节介绍了常见的典型情况的一些例子。

5.9 无限大裂纹体中集中力及集中力偶作用时的K如图5.12，无限大板中有一长为2a的穿透裂纹在体内某点受集中力P、Q及力偶M作用取裂纹中点为坐标原点，力的作用点为P、Q、M均为施于单位厚度上的力（下同）设总的力为P*、Q*、M*则 P=P*/h, Q=Q*/h, M=M*/h其中h为板厚图5.12 根据Erdogan(1962)的结果，记, 复应力函数为 (5.69)其中 (平面应力)或(平面应变)代入柯洛索夫公式，有 (5.70)(5.69)式中 (5.71) (5.72)上式对于除裂纹面外的所有都适用将(5.72)代入(5.67), 得到复应力强度因子为 (5.73) 在求裂纹左端的应力强度因子时，只要将上式的力的作用点取为即可5.73)即为所求得的点力作用下裂纹端部的应力强度因子，也叫做零频Green函数5.10其它一些情况下求应力强度因子5.10.1 集中力作用于裂纹上表面如图5.13。

此时，，图5.13由解析延拓，令当沿实轴时，. 则当沿实轴时， (5.74)当沿实轴时， (5.75)由(5.73)此得到 (5.76)特别，当时，裂纹右端点的复应力强度因子为 (5.77) 求裂纹左端点的应力强度因子时，相当于图形水平翻转，此时可以看出，只要将上式中的，就得到裂纹左端点的复应力强度因子为 (5.78)取得左端, 右端 (5.79)取得左端， 右端 (5.80)5.10.2 相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上如图5.14图5.14 首先求集中力作用于裂纹下表面的解此时，作用力分别为和, ，，,代入(5.73)得到裂纹右端 (5.81)将(5.77)和(5.81)的结果相加，就得到相等的集中力作用于裂纹上下表面的对应点上的解 (5.82)将换成, 得到裂纹左端的复应力强度因子为 (5.83)由于问题的对称性或反对称性，也可以直接用Westergaard函数。

(5.84)Westergaard函数可以用复应力函数与之间的关系求出，也可以用其它较简便的方法求出(褚武杨, 1979)(注5.5)注5.5 集中力的Westergaard函数如图5.14，无限宽板中心，有长为2a的贯穿裂纹，在距裂纹中心b点处，裂纹面上下有一对集中力P作用，求裂纹端部的Westegaard函数该问题的边界条件为：① 无限远处没有力即y=0 ，|x|→∞时，② 裂纹内部不受力即y=0 时，③ 裂纹前端有应力集中即y=0 时，且越小，越大.参照注5.2.1的方法，很显然，为了满足上述三个要求，复应力函数必然和(时变为)成比例，即 ④ 如果这对力不是作用在裂纹面上，而是作用在体内任一点，即，这时作用在同一点上的一对力互相抵消，试样不受力，，，这就要求 ⑤ 在集中力作用点，应力趋于无限大，故根据上面的分析，可取 (A.6.8.1)和可以用类似的方法求出以I型裂纹为例，将代入(5.68)式，得裂纹右端部 求裂纹左端点的应力强度因子与(5.78)的求法相类似，只要将上式中的即可得到。

三种类型的裂纹的结果总结如下：裂纹左端， 右端 (5.85)5.10.3 裂纹面上作用对称于x、y轴的集中力如图5.15所示, 裂纹面上作用对称于x、y轴的集中力P、Q、S利用叠加原理，由(5.84)图5.15 (5.86)由(5.85) (5.87)5.10.4 裂纹面上作用对称于x、y分布载荷如图5.16，裂纹面上作用对称于x、y分布载荷p(x)、q(x)、s(x)由6.8.22, 通过积分求得图中只画出p(x) (5.88) (5.89)5.10.5裂纹面上受称于x轴的任意分布载荷的作用裂纹面上受称于x轴的任意分布载荷p(x)、q(x)、s(x)的作用如图5.17所示，图中仅画了p(x) 图5.16 图5.17 (5.90)裂纹左端 ， 右端 (5.91)利用图5.2.8所示的叠加原理及上述公式可以解决内含单一格里菲斯裂纹的无限大板边缘作用任意载荷时的求KJ的问题。

下面介绍几个例子5.10.6有限宽板中心裂纹受无限远分布载荷的作用研究有限尺寸平板中的裂纹问题具有很大的实际意义，但是由于寻找严格满足边界条件的解十分困难，至少目前还没有得到闭合形式的解，而只得到其近似解如图5.18其中称为几何修正因子 (5.92)如a/W << 1，则Y = 15.10.7 有限宽板中边缘裂纹受无限远分布载荷的作用如图5.19， (5.93)5.10.8 有限宽板中心裂纹受有限远对称于x轴点载荷的作用如图5.20，P为单位厚度上所受的力 图5.18 图5.19 图5.20其 ； 其中 (5.94)5.10.9 应用叠加原理求K的例子如图5.21所示的问题，应用叠加原理可求得其KKA 、KB、KC、KD分别表示上图中A、B、C、D四种情况下的KI而KD = KA 而KB、KC的结果是已知的。

图5.215.10.10 无限大弹性体中有一圆盘形裂纹, 无限远处在垂直于裂纹面的方向上作用均匀拉应力如图5.22，在无限大弹性体中有一圆盘。