布鲁克斯金融计量经济学中文课件-8.ppt

1,Chapter 8,波动和相关建模,2,进入非线性领域,动机: 线性结构 (包括线性时间序列)模型无法解释金融数据中的一些重要特征： - 多峰与厚尾 - 波动聚集 - 杠杆效应 传统的线性模型: yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut, or y = X + u. 其中假设 ut  N(0,2).,3,A Sample Financial Asset Returns Time Series,Daily S&P 500 Returns for January 1990 – December 1999,4,非线性模型: 定义,Campbell, Lo and MacKinlay (1997) 定义了一个非线性数据产生过程 yt = f(ut, ut-1, ut-2, …)其中 ut 是一个iid 的误差项， f 是一个非线性函数.他们也给出了另一个定义 yt = g(ut-1, ut-2, …)+ ut2(ut-1, ut-2, …) 其中 g 是一个关于过去误差项的函数， 2 是方差项. g(•) 是are “关于均值的非线性”, 2(•) 是 “关于方差的非线性”.,5,非线性模型的分类,有时候非线性模型可以通过适当的转换变为线性模型，但是在更多的情况下，这种转换是不存在的. 非线性模型的分类： - ARCH / GARCH - 转换模型 - 双线性模型,6,检验非线性,当我们用 “传统”的时间序列分析工具 (相关图法, 谱分析)找不到数据之间存性关系时，并不意味着数据之间是独立的.对于非线性关系的一种简单检验方法， Ramsey’s RESET 检验:  还有许多其他的检验方法, 例如 “BDS 检验”.一个特别有用的非线性模型是Engle (1982)的 ARCH模型.,7,条件异方差（Heteroscedasticity）,一个线性模型具有以下形式 其中 ut  N(0, ). 其中假设误差项的方差为常数，称之为同方差（homoscedasticity）, i.e. Var (ut) = . 如果误差项的方差不为常数呢? - 异方差（heteroscedasticity） - 用传统的方法估计标准误差将是错误的.,8,波动聚集,许多金融时间序列具有波动聚集的特征.波动聚集意味着回报的平方之间具有强烈的自相关.股票, 商品和外汇市场的日数据经常显示波动聚集的特征，对于频率的更高的数据,波动聚集的现象更加常见.,9,,10,自回归条件异方差（Autoregressive Conditionally Heteroscedastic， ARCH）模型,在以下的模型中假设误差项的方差不是常数.ut方差的定义 = Var(ut ut-1, ut-2,...) = E[(ut-E(ut))2 ut-1, ut-2,...] 我们通常假设 E(ut) = 0 所以 = Var(ut  ut-1, ut-2,...) = E[ut2 ut-1, ut-2,...]. 当前值的的误差项的方差可能和什么有关?过去误差项的平方. 因此，引入自回归异方差模型: = 0 + 1这也被称为ARCH(1) 模型.,11,自回归条件异方差（Autoregressive Conditionally Heteroscedastic， ARCH）模型(续),整个模型可以写为 yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut , ut  N(0, ) 其中 = 0 + 1可以把上面的模型作进一步的扩展: = 0 + 1 +2 +...+q这是 ARCH(q) 模型. 为了和同方差区别，我们不用 , 而用ht, 所以可以写为 yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut , ut  N(0,ht) 其中 ht = 0 + 1 +2 +...+q,12,ARCH 模型的另一种表示方式,以 ARCH(1)为例.   yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut , ut = vtt , vt  N(0,1) 这2种表示方式是等价的，第1种比较好理解，第2种比较好模拟.,13,检验 “ARCH 效应”,首先, 做回归 yt = 1 + 2x2t + ... + kxkt + ut 保留残差项, .2. 平方残差项，做以下回归 其中 vt 是. 得到该回归的拟合优度R23. 定义统计量为TR2, 在零假设成立的情况下该统计量服从2(q)分布.,14,检验 “ARCH 效应”(续),4. 零假设和备择假设为 H0 : 1 = 0 and 2 = 0 and 3 = 0 and ... and q = 0 H1 : 1  0 or 2  0 or 3  0 or ... or q  0. 如果统计量大于2 分布的临界值,则拒绝零假设.注：有时候我们直接 ARCH效应来研究回报，而不是残差.,15,ARCH(q) 模型的问题,如何决定 q? q 有可能非常大方差有可能是负的. 当我们估计ARCH, 我们要求 i >0  i=1,2,...,q (因为方差不可能是负的) 解决上面问题的一个方法是把ARCH(q)扩展到 GARCH模型.,16,广义ARCH (GARCH) 模型,Bollerslev (1986)提出GARCH模型 (1)这是GARCH(1,1) 模型, 和ARMA(1,1)模型比较相似.也可以写为 代入 (1) 得:,17,广义ARCH (GARCH) 模型(续),继续代入，有  最后，有  GARCH(1,1) 模型可以写为阶数为无穷大的ARCH模型. 我们可以把GARCH(1,1)模型扩展到 GARCH(p,q):,18,广义ARCH (GARCH) 模型(续), 和  决定了时间序列波动的短期动态行为.大的  意味着冲击所产生的条件方差要经过很长的时间才会消失, 所以波动具有 ‘一致性’.大的  意味着波动对市场的运动反应强烈.所以, 如果  较高而  较低, 则波动呈尖峰态.,19,广义ARCH (GARCH) 模型(续),在一般情况下用GARCH(1,1)来研究金融数据已经足够了.  为什么GARCH 比ARCH好? - 更加一般化 - 不容易违反非负的约束,20,估计 ARCH / GARCH 模型,因为是非线性模型, 所以我们不能使用OLS. 我们将使用另一种估计技术：极大似然. 在实际数据给定的情况下，该方法寻找最可能的参数.  我们一般先构造一个对数似然函数，然后寻找参数使得该似然函数最大.,21,极大似然估计:一个假设检验的例子,我们希望检验一个理论, 我们可以选择该理论是正确的作为零假设H0. 假设检验一般包括以下步骤:(i) 建立零假设 H0 (将要被检验的假设),(ii) 收集数据, 或使用观测数据计算条件概率:P=prob(我们观测到这些数据| H0 成立)(iii) 做决策, 通常我们拒绝 H0 如果 P 太小 ( P<0.05), 否则我们不拒绝H0.,22,极大似然估计:一个假设检验的例子（续）,我有一枚硬币，我说它是向上和向下的概率各为1/2. 我和你抛这个硬币进行一场赌博.规则如下：如果头向上 (H)你得￥2，否则我得 ￥1.假设抛了10 次只有一次H (9 T’s). 所以你最后得到 (1)(2)+9(-1)=-￥7这时你可能会怀疑的说法：P(H)=0.5. 因此，你去法庭告我，你认为 P(H)=0.2, 而我对你说P(H)=0.5，犯了诈赌罪.,23,极大似然估计:一个假设检验的例子（续）,法官计算下面的概率 (一个2项分布):法官认为你的控告成立。

因为，在我的说法是正确的条件下(P(H)=0.5)该事件（抛了10 次只有一次H ）出现的概率远远小于在你的说法是正确的条件下 (P(H)=0.2)该事件出现的概率24,极大似然估计:一个假设检验的例子（续）,总结检验的方法:(i) 建立零假设 H0 :P(H)=0.5 and H1 : P(H=0.2);(ii) 使用观测的数据 (抛了10 次只有一次H ) 计算条件概率P0=prob(我们观测到这些数据| H0 成立)P1=prob(我们观测到这些数据| H1 成立)(iii) 做决策, 拒绝H0 因为P0=0.0098<0.05. 不拒绝H1 因为 P1=0.2684>0.05,25,极大似然估计:一个假设检验的例子（续）,我们还可以得到极大似然估计式.在上例中，法官也可以计算下面的最大化问题:由一阶条件，得 P*=0.1.注意， P*=0.1最大化“抛了10 次只有一次H “这个事件出现的概率. 这也是P(H)最可能的值(既不是 0.5 也不是 0.2)因此，我们称 p* 为 p的极大似然估计式.p=0.2 虽然不是p的极大似然估计式, 但是在5% 的水平下，我们不能拒绝p=0.2的假设.,26,估计 ARCH / GARCH 模型(续),估计步骤如下： 选择恰当的方程- 例如 一个 AR(1)- GARCH(1,1) model:确定要估计的对数似然函数:3. 寻找使得该似然函数最大的参数,27,极大似然参数估计,考虑下面同方差的2元回归: 假设 ut  N(0,2), 则 yt  N( , 2) ，概率密度为 (1) 假设 ut 是iid的, 则 yt 也是iid的.,28,极大似然参数估计(续),所以y 的联合概率密度是单个概率密度的乘积 (2)  代入 (1)得, (3),29,极大似然参数估计(续),我们知道xt 和 yt ，想要估计 1, 2, 2. 记 f()为似然函数 LF(1, 2, 2)  (4) 极大似然估计就是选择参数值 (1, 2,2)最大化该函数.,30,因为 , 所以我们可以对 (4)取对数. 所以有对数似然函数, LLF:  等于  (5) 把(5) 对 1, 2,2 求偏导，得  (6),极大似然参数估计(续),31,(7) (8) 令 (6)-(8)等于零, 由(6),得 (9),极大似然参数估计(续),32,由 (7), (10) 由 (8),,极大似然参数估计(续),33,整理, 得 (11)它们和 OLS估计式有差别么? (9) & (10) 和 OLS估计是一样的 (11)有点不同. OLS估计式为  因此，极大似然估计式的方差是有偏的. 回到异方差模型。