南京市2016届上学期高三学情调研考试数学试卷及答案.doc

高三数学试卷第 1 页（共 4 页）开始k←1S←0S＜20k←k＋1S←S＋2 kYN输出 k结束（第 6 题图）南京市 2016 届高三学情调研考试数 学 2015.09注意事项：1．本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题~第 14 题） 、解答题（第 15 题~第 20 题）两部分．本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．参考公式样本数据 x1，x 2，…，x n 的方差 s2＝ (xi－ )2，其中 ＝ xi．1n － x － x 1n锥体的体积公式：V＝ Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．13一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合 A＝{－1，0，1 ，2} ，B＝{x|x 2－1＞0} ，则 A∩B＝ ．▲________2．已知复数 z 满足：z(1－i)＝2＋4i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ．▲________3. 某射击选手连续射击 5 枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．▲________4．从 2 个红球，2 个黄球，1 个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是 ．▲________5．已知向量 a＝(1，2)，b＝(m，4)，且 a∥(2a＋b) ，则实数 m 的值为 ．▲________6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的 k 值为 ．▲________－1 33－3xOy（第 7 题图）高三数学试卷第 2 页（共 4 页）7．如图，它是函数 f(x)＝Asin( x＋ )(A＞0， ＞0， [0，2) )图象的一部分，则 f (0)的值为．▲________8．已知双曲线 － ＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线的方程为 2x－y＝0，则该双曲线的离心率为x2a2 y2b2．▲________9．直三棱柱 ABC－A 1B1C1 的各条棱长均为 2，E 为棱 CC1 的中点，则三棱锥 A1－B 1C1E 的体积为 ▲________10．对于直线 l，m，平面 α，mα，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的 条件． （在“充分不必要”▲________、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不充分又不必要”中选填一个） ．11．已知函数 f(x)＝ x3＋x 2－ 2ax＋1，若函数 f(x)在(1 ，2)上有极值，则实数 的取值范围为13 a．▲________12．已知平行四边形 ABCD 中，AD＝2，∠BAD＝60°．若 E 为 DC 中点，且 · ＝1，则 · 的AE→ BD→ BD→ BE→ 值为 ．▲________13．已知等比数列{a n}的公比 q＞1，其前 n 项和为 Sn．若 S4＝2S 2＋1，则 S6 的最小值为 ．▲________14．在平面直角坐标系 xOy 中，A，B 为 x 轴正半轴上的两个动点，P（异于原点 O）为 y 轴上的一个定点．若以 AB 为直径的圆与圆 x2＋(y－2) 2＝1 相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为 ．▲________二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15． （本小题满分 14 分）在△ABC 中，角 A，B ，C 所对的边分别为 a，b，c，且 acosB＝bcosA．（1）求 的值；ba高三数学试卷第 3 页（共 4 页）（2）若 sinA＝ ，求 sin(C－ )的值．13 π416． （本小题满分 14 分）如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为侧棱 PA 的中点．（1）求证：PC // 平面 BDE；（2）若 PC⊥PA，PD ＝AD，求证：平面 BDE⊥平面 PAB．17． （本小题满分 14 分）某市对城市路网进行改造，拟在原有 a 个标段（注：一个标段是指一定长度的机动车道）的基础上，新建 x 个标段和 n 个道路交叉口，其中 n 与 x 满足 n＝ax＋5．已知新建一个标段的造价为 m 万元，新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的 k 倍．（1）写出新建道路交叉口的总造价 y（万元）与 x 的函数关系式；（2）设 P 是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比．若新建的标段数是原有标段数的 20%，且 k≥3．问：P 能否大于 ，说明理由．12018． （本小题满分 16 分）已知椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的离心率 e＝ ，一条准线方程为 x = 2．过椭圆的上顶点 A 作一x2a2 y2b2条与 x 轴、y 轴都不垂直的直线交椭圆于另一点 P，P 关于 x 轴的对称点为 Q．PABCDE（第 16 题图）高三数学试卷第 4 页（共 4 页）（1）求椭圆的方程；（2）若直线 AP，AQ 与 x 轴交点的横坐标分别为 m，n，求证：mn 为常数，并求出此常数．19． （本小题满分 16 分）已知函数 f(x)＝e x，g(x )＝x － b，b∈R ． （1）若函数 f(x)的图象与函数 g(x)的图象相切，求 b 的值；（2）设 T(x)＝f( x)＋ag( x)，a∈ R，求函数 T(x)的单调增区间；（3）设 h(x)＝|g(x )|·f(x)，b ＜1．若存在 x1，x 2 [0，1]，使|h(x 1)－h( x2)|＞1 成立，求 b 的取 ∈值范围．20． （本小题满分 16 分）已知等差数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 2a5－a 3＝13，S 4＝ 16．（1）求数列{a n}的前 n 项和 Sn；（2）设 Tn＝ (－1) iai，若对一切正整数 n，不等式 λTn＜[a n＋1 ＋( －1) n＋1 an]·2n－1 恒成立，求实数 λ 的取值范围；（3）是否存在正整数 m， n(n＞m＞2) ，使得 S2，S m－S 2，S n－S m 成等比数列？若存在，求出所有的 m，n；若不存在，说明理由．xyOPQA（第 18 题图）高三数学试卷第 5 页（共 4 页）南京市 2016 届高三学情调研考试数学附加题 2015.09注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共 40 分，考试时间 30 分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．21． 【选做题】在 A、B、C、 D 四小题中只要选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修 4—1：几何证明选讲在圆 O 中，AB，CD 是互相平行的两条弦，直线 AE 与圆 O 相切于点 A，且与 CD 的延长线交于点 E，求证：AD 2＝AB ·ED．B．选修 4－2：矩阵与变换已知点 P(3，1)在矩阵 A＝ 变换下得到点 P′(5，－1)．试求矩阵 A 和它的逆矩阵 A ． [a2b－ 1] － 1A BCDEO·（第 21 题（A）图）高三数学试卷第 6 页（共 4 页）C．选修 4－4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的参数方程为 （α 为参数，m 为常数） ．以{x=m+2cosα，y=2sinα )原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ－ )π4= ．若直线 l 与圆 C 有两个公共点，求实数 m 的取值范围．2D．选修 4－5：不等式选讲设实数 x，y，z 满足 x＋5y＋z＝9，求 x ＋y ＋z 的最小值．2 2 2 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分．请在答题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22． （本小题满分 10 分）假定某射手射击一次命中目标的概率为 ．现有 4 发子弹，该射手一旦射中目标，就停止射击，23否则就一直独立地射击到子弹用完．设耗用子弹数为 X，求：（1）X 的概率分布；（2）数学期望 E(X)．23． （本小题满分 10 分）如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 中，AB＝ ，CE＝1，CE⊥平面 ABCD．2（1）求异面直线 DF 与 BE 所成角的余弦值； 高三数学试卷第 7 页（共 4 页）（2）求二面角 A－DF－B 的大小．南京市 2016 届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准 2015.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．{2} 2． 3．0.032 4． 5．210456．5 7． 8． 9． 10．必要不充分 511．( ，4) 12．3 13．2 ＋3 14．32 3 3二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分．15．解：（1）由 acosB＝bcosA，得 sinAcosB＝sinBcosA， …………………………………3 分即 sin(A－B) ＝0．因为 A，B∈( 0，π)，所以 A－B∈(－π，π)，所以 A－B＝0，所以 a＝b，即 ＝1． ………………………………………………………………………6 分baABCDEF（第 23 题图）高三数学试卷第 8 页（共 4 页）（2）因为 sinA＝ ，且 A 为锐角，所以 cosA＝ ． ………………………………………8 分13所以 sinC＝sin(π－2A)＝sin2 A＝2sinAcosA＝ ， ………………………………………10 分cosC＝cos(π－2A)＝－cos2A＝－1＋2sin 2A＝－ ．………………………………………… 12 分79所以 sin(C－ )＝sinCcos －cos Csin ＝ ．……………………………………………14 分π4 π4 π416．证明：（1）连结 AC，交 BD 于 O，连结 OE．因为 ABCD 是平行四边形，所以 OA＝OC．…………………………………………………2 分因为 E 为侧棱 PA 的中点，所以 OE∥PC．…………………………………………………4 分因为 PC 平面 BDE，OE 平面 BDE，所以 PC // 平面 BDE．……………………………6 分（2）因为 E 为 PA 中点，PD＝AD，所以 PA⊥DE ．………………………………………8 分因为 PC⊥PA，OE ∥PC，所以 PA⊥OE．因为 OE平面 BDE，DE 平面 BDE，OE ∩DE＝E，所以 PA⊥平面 BDE．………………………………12 分因为 PA平面 PAB，所以平面 BDE⊥平面 PAB．………………………………14 分17．解：（1）依题意得 y＝mkn＝mk( ax＋5) ，x∈N *． …………………………。