高数课件19定积分的性质.ppt

对定积分的对定积分的补充规定补充规定: 在下面的性质中，假定定积分都存在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．在，且不考虑积分上下限的大小．说明说明定积分的性质定积分的性质一、基本内容一、基本内容证证（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质性质1 1性质性质2 2证证性质性质1+性质性质2 得得：推广：推广：即线性组合的定积分等于定积分的线性组合即线性组合的定积分等于定积分的线性组合——说明定积分也具有说明定积分也具有线性运算性质线性运算性质补充补充：不论：不论 的相对位置如何的相对位置如何, 上式总成立上式总成立.例例 若若则则（定积分对于积分区间具有可加性）（定积分对于积分区间具有可加性） 性质性质3 3性质性质5 5（非负性）（非负性）证证 性质性质4 4令令于是于是性质性质5 5的推论：（比较定理）的推论：（比较定理）（（1））（（2））说明：说明： 可积性是显然的可积性是显然的. 解解证证（此性质可用于估计积分值的大致范围）（此性质可用于估计积分值的大致范围）解解性质性质6 6（估值定理）（估值定理）积分中值公式积分中值公式证证由闭区间上连续函数的介值定理知由闭区间上连续函数的介值定理知性质性质7 7（定积分中值定理）（定积分中值定理）使使即即积分中值公式的几何解释：积分中值公式的几何解释：解解 由积分中值定理知有由积分中值定理知有使使例例4 设设 f(x) , g(x) 在在 [ a , b ] 上连续，证明上连续，证明①①若在若在 [ a , b ] 上上则在则在 [ a , b ] 上上②②若在若在 [ a , b ] 上上③③若在若在 [ a , b ] 上上则在则在 [ a , b ] 上上证明证明 ①①反证法反证法必有一点必有一点 不妨设不妨设 a < x0 < b （（端点处的情况类似）端点处的情况类似）由由 f ( x ) 的连续性的连续性由非负性由非负性由积分中值定理由积分中值定理与题设矛盾与题设矛盾②② 已知已知由比较定理由比较定理则由则由①①得得而假设而假设③③ 已知已知由比较定理由比较定理由由①①得得１．定积分的性质１．定积分的性质（注意估值性质、积分中值定理的应用）（注意估值性质、积分中值定理的应用）２．典型问题２．典型问题（１）估计积分值；（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．（２）不计算定积分比较积分大小．思考题思考题二、小结二、小结。