傅里叶级数课程和习题讲解.doc

第15章傅里叶级数§15.1 傅里叶级数一　基本内容一、傅里叶级数在幂级数讨论中.可视为经函数系线性表出而得．不妨称为基.则不同的基就有不同的级数．今用三角函数系作为基.就得到傅里叶级数．1 三角函数系函数列称为三角函数系．其有下面两个重要性质．<1> 周期性每一个函数都是以为周期的周期函数；<2> 正交性任意两个不同函数的积在上的积分等于零.任意一个函数的平方在上的积分不等于零．对于一个在可积的函数系.定义两个函数的内积为.如果.则称函数系为正交系．由于；；；；.所以三角函数系在上具有正交性.故称为正交系．利用三角函数系构成的级数称为三角级数.其中为常数2 以为周期的傅里叶级数定义1设函数在上可积.；.称为函数的傅里叶系数.而三角级数称为的傅里叶级数.记作～．这里之所以不用等号.是因为函数按定义1所得系数而获得的傅里叶级数并不知其是否收敛于．二、傅里叶级数收敛定理定理1若以为周期的函数在上按段光滑.则.其中为的傅里叶系数．定义2如果.则称在上光滑．若存在；.存在.且至多存在有限个点的左、右极限不相等.则称在上按段光滑．几何解释如图．按段光滑函数图象是由有限条光滑曲线段组成.它至多有有限个第一类间断点与角点．推论如果是以为周期的连续函数.且在上按段光滑.则.有．定义3设在上有定义.函数称为的周期延拓．二　习题解答1 在指定区间内把下列函数展开为傅里叶级数<1> ；解：、.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时...所以　.为所求．、.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时...所以　.为所求．<2> ；解：、.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时...所以　.为所求．解：、.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时...所以.为所求．<3> ．解：函数.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时.所以.为所求．2 设是以为周期的可积函数.证明对任何实数.有.．证：因为..都是以为周期的可积函数.所以令有．从而．同理可得．3 把函数展开成傅里叶级数.并由它推出<1> ；<2> ；<3> ．解：函数.作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时.．.故为所求．<1> 取.则；<2> 由得.于是；<3> 取.则.所以．4 设函数满足条件.问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为满足条件.所以.即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时.．.故当时.函数在内的傅里叶级数的特性是.．5 设函数满足条件：.问此函数在内的傅里叶级数具有什么特性．解：因为满足条件.所以.即是以为周期的函数．于是由系数公式得．当时.．.故当时.函数在内的傅里叶级数的特性是.．6 试证函数系和都是上的正交函数系.但他们合起来的却不是上的正交函数系．证：就函数系.因为...又；.时.．所以在上是正交系．就函数系.因为..又.时.．所以在上是正交系．但不是上的正交系．实因：．7 求下列函数的傅里叶级数展开式 <1> ；解：作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．由系数公式得　．当时...所以.为所求．<2> ；解：作周期延拓的图象如下．其按段光滑.故可展开为傅里叶级数．因为.所以由系数公式得　．当时.．．所以.．而时..故.为所求．<3> ；解：由系数公式得　．当时...故为所求．由系数公式得　．当时...故为所求．<4> ；解：由系数公式得　．当时..所以．.所以.故.为所求．<5> ．解：由系数公式得　．当时.．.所以.故.为所求．8 求函数的傅里叶级数展开式并应用它推出．解：由得.．而.故由收敛定理得．9 设为上光滑函数.．且为的傅里叶系数.为的导函数的傅里叶系数．证明．证：因为为上光滑函数.所以为上的连续函数.故可积．由系数公式得．当时.．故结论成立．10 证明：若三角级数中的系数满足关系.为常数.则上述三角级数收敛.且其和函数具有连续的导函数．证：设..．则.在上连续.且.亦在上连续．又.．而　收敛.所以在上一致收敛．故设.则且在上连续．§15. 2 以为周期的函数的展开一　基本内容一、以为周期的函数的傅里叶级数设是以为周期的函数.作替换.则是以为周期的函数.且在上可积在上可积．于是.其中．令得..从而．其中．上式就是以为周期的函数的傅里叶系数．在按段光滑的条件下.亦有．其只含余弦项.故称为余弦级数．同理.设是以为周期的奇函数.则奇.偶．于是.．从而．其只含正弦项.故称为正弦级数．由此可知.函数要展开为余弦级数必须作偶延拓．偶延拓.函数要展开为正弦级数必须作奇延拓．奇延拓．二　习题解答1 求下列周期函数的傅里叶级数展开式<1> <周期>；解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因.所以由系数公式得．当时.．．故.为所求．<2> <周期1>；解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数．因.所以由系数公式得．当时.．．故.为所求．<3> <周期>；解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因.所以由系数公式得．当时.．．故.为所求．<4> <周期>．解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因.所以由系数公式得．当时.．．故.．2 求函数的傅里叶级数并讨论其收敛性．解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因.所以由系数公式得．当时.．．故.为所求．3 将函数在上展开成余弦级数．解：函数.作偶延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．由系数公式得．当时.．．故．4 将函数在上展开成正弦级数．解：函数.作偶延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是奇函数.故其展开式为正弦级数．由系数公式得．．故在上为所求．5 把函数在上展开成余弦级数．解：函数.延拓后的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因.所以由系数公式得．当时.所以为所求．6 把函数在上展开成余弦级数.并推出．解：函数.延拓为以为周期的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．因l=0.5.所以由系数公式得．当时.．．所以．令得.即．7 求下列函数的傅里叶级数展开式<1> ；解：函数是以为周期的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是奇函数.故其展开式为正弦级数．由系数公式得．所以.．<2> ．解：函数是以为周期的函数如下图．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．由系数公式得.当时.．．所以.．8 试问如何把定义在上的可积函数延拓到区间内.使他们的傅里叶级数为如下的形式<1> ； <2> ．解：<1>先把延拓到上.方法如下：；再把延拓到上.方法如下：．其图象如下．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．由系数公式得.当时.．．所以．<2> 先把延拓到上.方法如下．；再把延拓到上.方法如下．．其图象如下．由于按段光滑.所以可展开为傅里叶级数.又是偶函数.故其展开式为余弦级数．由系数公式得.当时.．所以．§15. 3 收敛定理的证明一　基本内容一、贝塞尔不等式定理1　设在上可积.则,其中为的傅里叶系数．推论1设在上可积.则,．推论2设在上可积.则.．定理2设以为周期的函数在上可积.则.此称为的傅里叶级数的部分和的积分表达式．二、收敛性定理的证明定理3 <收敛性定理>设以为周期的函数在上按段光滑.则.定理4如果在上有有限导数.或有有限的两个单侧导数.则．定理5如果在按段单调.则．二　习题解答1 设以为周期且具有二阶连续的导函数.证明的傅里叶级数在上一致收敛于．证：由题目设知与是以为周期的函数.且光滑.故　..且　．当时.．于是．由贝塞尔不等式得收敛.又收敛.从而收敛.故在上一致收敛．2 设为上可积函数.证明：若的傅里叶级数在上一致收敛于.则成立贝塞尔等式.这里为的傅里叶系数．证：设.因为的傅里叶级数在上一致收敛于.所以.．于是．而．所以时..故．3 由于贝塞尔等式对于在上满足收敛定理条件的函数也成立．请应用这个结果证明下列各式．<1> ；<2> ； <3> ．解：<1>　取.由§1习题3得．由贝塞尔等式得.即．<2>　取.由§1习题1 <1>得．由贝塞尔等式得.故．<3>取.由§1习题1 <2>得．由贝塞尔等式得.故．4 证明：若均为上可积函数.且他们的傅里叶级数在上分别一致收敛于和.则．其中为的傅里叶系数.为的傅里叶系数．证：由题设知.．于是而..所以．5 证明若及其导函数均在上可积,,.且成立贝塞尔等式.则．证：因为、在上可积...设..由系数公式得．当时.．于是由贝塞尔等式得．总练习题151 试求三角多项式的傅里叶级数展开式．解：因为是以为周期的光滑函数.所以可展为傅里叶级数.由系数公式得.当时...故在.的傅里叶级数就是其本身．2 设为上可积函数.为的傅里叶系数.试证明.当时.积分取最小值.且最小值为．上述是第1题中的三角多项式,为它的傅里叶系数．证：设..且.因为.而..所以故当时.积分取最小值.且最小值为．3。