福建师范大学22春《复变函数》在线作业一及答案参考66.docx

福建师范大学22春《复变函数》作业一及答案参考1. 设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集．设X，Y为拓扑空间，证明T：X→Y连续当且仅当对Y的每个闭集A，T-1(A)是X的闭集．[证明]记X，Y上的拓扑分别为τX，τY．    充分性  设B∈τY，则令A=Bc，A是闭集，有T-1(A)是闭集．于是T-1(B)=T-1(Ac)=[T-1(A)]c∈τX，这表明T连续．    必要性  设T连续，A是闭集，则Ac∈τY，从而[T-1(A)]c=T-1(Ac)∈τX．这表明T-1(A)是X的闭集． 2. 设A，B，C为任意集合，试证： (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)； (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)．设A，B，C为任意集合，试证：  (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)；  (2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)．分析上述等式左边是表示先做括号内的并、交运算，再做笛卡尔乘积；而等式右边则表示先做括号内的笛卡尔乘积，再做并、交运算．它们的结果应该是一样的，可以用笛卡尔乘积和并、交运算的定义及括号的优先级别来证明，这是集合等式证明中常见的一种基本方法．    证明  (1)A×(B∪C)={(x，y)| x∈A且y∈B∪C}    ={(x，y) x∈A且y∈B或x∈A且y∈C}    ={(x，y)|(x，y)∈A×B或(x，y)∈A×C}    ={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∪(A×C)}    =(A×B)∪(A×C)；    (2)A×(B∩C)={(x，y)| x∈A且y∈B∩C}    ={(x，y)| x∈A且y∈B且x∈A且y∈C}    ={(x，y)|(x，y)∈A×B且(x，y)∈A×C}    ={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∩(A×C)}    =(A×B)∩(A×C)． 3. 设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm设有任意两个n维向量组α1，…，αm和β1，…,βm，若存在两组不全为零的数λ1，…，λm和k1，…，km，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0，则(  )  A．α1…，αm和β1，…，βm都线性相关  B．α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关  C．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性无关  D．α1+β1，…，αm+βm，α1-β1，…，αm-βm线性相关D4. 证明：当n≥3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系．证明：当n≥3时，全体3一循环是交代群An的一个生成系．正确答案：n=3时结论显然成立．因此下设n＞3．\r\n 由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积从而也就是一些形如\r\n (ab)(cd)或(ab)(ac)的项之积．其中abcd是{12…n}中互异的元素．但由于\r\n (ab)(cd)=(abc)(bcd) (ab)(ac)=(acb)\r\n故An中的每个元素又都是一些3一循环之积即An由全体3一循环生成．n=3时,结论显然成立．因此下设n＞3．由于An中每个元素都可表为偶数个对换之积,从而也就是一些形如(ab)(cd)或(ab)(ac)的项之积．其中a,b,c,d是{1,2,…,n}中互异的元素．但由于(ab)(cd)=(abc)(bcd),(ab)(ac)=(acb),故An中的每个元素又都是一些3一循环之积,即An由全体3一循环生成．5. 试证明： 设且m(E)＜+∞，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)≠0，fk(x)≠0，a．e．x∈E(k∈N)，则1/fk(x)在E上依测度试证明：  设且m(E)＜+∞，若fk(x)在E上依测度收敛于f(x)，且f(x)≠0，fk(x)≠0，a．e．x∈E(k∈N)，则1/fk(x)在E上依测度收敛于1/f(x).[证明] 不妨假定fk(x)(k∈N)与f(x)皆不为0．依题设知，对任一子列{fki(x)}，均存在子列{fkij(x)}几乎处处收敛于f(x)．也就是说，对任一子列{1/fk(x)}，均存在子列{1/fkij(x)}几乎处处收敛于1/f(x).这说明命题结论成立.6. 求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：z'x=f'1·y+f'2·0=yf'1，z"xx=yf"11·y+0=y2f"11，    z"xy=f'1+y(f"11·x+f"12·1)=xyf"11+yf"12+f'1，    z'y=f'1·x+f'2·1=xf'1+f'2，    z"yy=x(f"11·x+f"12·1)+f"21·x+f"22=x2f"11+2xf"11+2xf"12+f"22．$，                            $z'x=f'1·y2+f'2·2xy=y2f'1+2xyf'2，    z"xx=y2(f"11·y2+f"12·2xy)+2yf'2+2xy(f"21y2+f"22·2xy)    =y4f"11+4xy3f"12+4y2f"22+2yf'2，    z"xy=2yf'1+y2(f"11·2xy+f"12·x2)+2xf'2+2xy(f"21·2xy+f"22·x2)    =2xy3f"11+5x2y2f"12+2x3yf"22+2yf'1+2xf'2，    z'y=2xyf'1+x2f'2，    z"yy=2xf'1+2xy(f"11·2xy+f"12·x2)+x2(f"21·2xy+f"22·x2)    =4x2y2f"11+4x3yf"12+x4f"22+2xf'1．$z'x=cosx·f'1+ex+yf'3，    z"xx=-sinx·f'1+cosx(f"11cosx+f"13ex+y)+ex+yf'3+ex+y(f"31cosx+f"33ex+y)，    =cos2xf"11+2ex+ycosxf"13+e2(x+y)f"33-sinx·f'1+ex+yf'3，    z"xy=cosx[f"12·(-siny)+f"133ex+y]+ex+yf'3+ex+y[f"32·(-siny)+f"33ex+y]，    z'y=f'2·(-siny)+f'3ex+y，    z"yy=-cosyf'2-siny(-f"22siny+ex+yf"23)+ex+yf'3+ex+y(-f"32siny+ex+yf"33)    =sin2yf"22-2ex+ysinyf"23+e2(x+y)f"33-cosyf'2+ex+yf'3． 7. 使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是什么?使用凑微分法的关键是正确引入变换u=φ(x)．如果在运算中不写出u=φ(x)，而把φ(x)看做一个整体，将所求积分转化为新的积分．通常，可以在基本积分公式中找到积分．    最常见的凑微分类型如下：    (1)    (2)    (3)∫f(sinx)cosxdx=∫f(sinx)dsinx．    (4)∫f(cosx)sinxdx=-∫f(cosx)dcosx．    (5)∫exf(ex)dx=∫f(ex)dex．    (6)    (7)    (8)    (9)    (10) 8. 1．验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：1．验证下列各给定函数是其对应微分方程的解：y'=c1+2c2x，y″=2c2，代入方程后得        $y'=3c1e3x+4c2e4x,y″=9c1e3x+16c2x4x，于是    左边=9c1e3x+16c2e4x-7(3c1e3x+4c2e4x)+12(c1e3x+c2e4x)    =e3x(9c1-21c1+12c1)+e4x(16c2-28c2+12c2)    =0=右边$于所给函数关系xy=c1ex+c2e-x两边对x求导两次，得    xy'+y=c1ex-c2e-x    xy″+2y'=c1ex+c2e-x    注意到c1ex+c2e-x=xy，上面的第二个关系式便说明    xy″+2y'=xy    成立，即所给函数满足微分方程.    注意，此题亦可单独计算y′，y″，再代入微分方程中验证，但计算量较大．$，y″=4c1e2x+25c2e-5x，于是        =c1e2x(4+6-10)+c2e-5x(25-15-10)+2x    =右边$于所给函数关系两边求导二次，有            解得，，代入微分方程中：     9. 一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式．一曲边梯形由曲线y=2x2+3，x轴及x=-1，x=2所围成，试列出用定积分表示该曲边梯形的面积表达式．S=∫-12(2x2+3)dx．10. 设f(x)∈C2[a，b]，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解．设f(x)∈C2[a，b]，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解．设a=x0＜x1＜…＜xn=b，s(x)为f(x)的三次样条插值第一边值问题的解．记ξ(x)=f(x)-s(x)，，则    ξ(x)∈C2[a，b]，ξ(xi)=0，i=0，1，…，n，  (4.54)    ξ'(x0)=0，  ξ'(xn)=0，    且s'"(x)在每一个小区间上是常数．于是          (4.55)    如果      (4.56)    则由(4.55)式有        现证明(4.56)式．利用(4.54)式可得                    =0．$记ξ(x)=f(x)-s(x)，η(x)=s(x)-sa(x)，则              (4.57)    如果      (4.58)    则由(4.57)式得        现证明(4.58)式．注意到    ξ(x)∈C2[a，b]，ξ(xi)=0，i=0，1，…，n，    ξ'(x0)=ξ'(xn)=0，    以及η'"(x)在每一个小区间上为常数，得                        =0 11. 欧几里得算法又称辗转相除法。

)欧几里得算法又称辗转相除法 )正确答案：√12. 设F(x，y)=lnxlny，证明：若u＞0，v＞0，则 F(xy，uv)＝F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)．设F(x，y)=lnxlny，证明：若u＞0，v＞0，则  F(xy，uv)＝F(x，u)+F(x，v)+F(y，u)+F(y，v)．F(xy，uv)=ln(xy)ln(uv)＝(lnx+lny)(lnu+lnv)    ＝lnxlnu+lnxlnv+lnylnu+lnyl。