复旦大学高等数学课件06求导运算2-2.pdf

1 2 求导运算求导运算 本节的中心问题是求各类函数的导数，即本节的中心问题是求各类函数的导数，即介绍介绍 基本初等函数的求导公式，函数的四则运算求导基本初等函数的求导公式，函数的四则运算求导, , 复合函数的求导法则等复合函数的求导法则等 初等函数初等函数 导数表导数表 基本初等函数基本初等函数 构成法构成法 求导法则求导法则 2 一、几个初等函数的导数一、几个初等函数的导数 )()(xfxxfy 步骤步骤: : xxfxxfxy )()(xyyx 0lim用导数的定义求出一些基本初等函数的导函数用导数的定义求出一些基本初等函数的导函数 1）求增量）求增量 2）算比值）算比值 3）求极限）求极限 1、常数、常数 f (x) = C 0)( xf证：证： xxfxxf )()(xCC 0 xxfxxfxfx )()(lim)(00 3 ( ),nf xxnN xxfxxfxfx )()(lim)(0 xxxxnnx )(lim0 xxxxxnnxnxxnnnnnx 22102)1(lim)(lim01xonxxn 1 nnx1)( nnxxf2、幂函数、幂函数 证：证： 4 ( )xf xe xxfxxfxfx )()(lim)(0 xeexxxx 0limxeexxx 1lim01 xexe )1(xex xexf )(3、指数函数、指数函数 证：证： 5 ( )sinf xx xxfxxfxfx )()(lim)(0 xxxxx sin)sin(lim0 xxxxx )2cos(2sin2lim0)2cos(22sinlim0 xxxxx xcos xxfcos)( 4、正弦函数、正弦函数 证：证： 6 二、四则运算的求导法则二、四则运算的求导法则 )( . 1 gf )()( gf gf )( . 2 fggfgf )( . 3gf)0( g2ggfgf 定理：定理： , 设设 f 和和 g 均是可导函数，均是可导函数， 是常数，是常数， 则则 证：证：1、2 略略 证：证：3 设设 ( )( )( ( )0)( )f xF xg xg x7 xxFxxFxFx )()(lim)(0 xxgxfxxgxxfx )()()()(lim0 xxgxxgxxgxfxgxxfx )()()()()()(lim0 xxgxxgxgxxgxfxgxfxxfx )()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xgxxgxxgxxgxfxgxxfxxfx 2)()()()()(xgxgxfxgxf 8 )(. 11 niixf )(. 2 xCf11( )( )nnikikk if x fx )(. 31 niixf)()()(21xfxfxfn niixf1)()(xfC )()()(21xfxfxfn 推论：推论： 9 23sinxyexxy 求求例例1、 例例2、求、求 的导数，的导数， 1mmNx 10 三三. .复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则 000() ()()()fxfux dxdududydxdy 定理：定理： （链式求导法则）（链式求导法则） 0 x 00()ux 如果函数如果函数 在在 处可导，函数处可导，函数 f 在在 处可导，处可导， 0( ) )ffxx则复合函数则复合函数 在在 处处 可导，且可导，且 用微商记号用微商记号 注意：注意： 不要与导数的乘积混淆不要与导数的乘积混淆 11 xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)( )()(00 xuf 证明：证明： y = f (u) 在点在点 u0 可导，可导， )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy0()yfuuu 则则 12 xaxf )(xInae ( )( )( )fxf u g xInaeu InaexIna Inaax xInae ( )(0,1)xf xaaa例例3、指数函数、指数函数 解：解： ( )uf ue ( )ug xxIna 可视为函数可视为函数 和和 的复合的复合 ()xxaa Ina 即即 例例4、余弦函数、余弦函数 (cos )sinxx 解：解： )2sin(cosxx ( )sinf uu 设设 ( )2ug xx (cos )( )( )xf ug x)1(cos u)2cos(x xsin 13 )(tan xxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos x2sec xx2csc)(cot xxxsectan)(sec xxxcsccot)(csc )cossin( xx由此可得到其它三角函数的求导公式由此可得到其它三角函数的求导公式 同理：同理： 14 2)(1 uuuf)()()(xgufshx xeu212 2xxee chx ( )xug xe2xxeeshx 双曲正弦函数双曲正弦函数 2xxeechx 双曲余弦函数双曲余弦函数 ()chxshx 同理：同理： 15 dydy du dvdxdu dv dx注意：注意： 复合函数求导公式还可推广到有限次的复合函数求导公式还可推广到有限次的 复合函数的求导法则。

复合函数的求导法则 ( ),( ),( ),yf uuvvx设设 ( )yfx 则复合函数则复合函数 的导数为的导数为 16 四、反函数的求导法则四、反函数的求导法则 0()0,fx 1001() ()()fyfx dxdydydx1 0( , ),xa b 定理：定理： 如果如果 f 是是 (a, b) 上严格单调的连续函数，上严格单调的连续函数， f 在在 x0 上可导，且上可导，且 100()fyf x 则反函数则反函数 在在 处可导，且处可导，且 微商表示：微商表示： 证：证： 记记 y = f (x) ， y 是严格单调函数，是严格单调函数， 0)()(00 xfxxfy0)()(0101 yfyyfxf 是严格单调连续的，是严格单调连续的， 1f 是严格单调连续的，是严格单调连续的， 00yx 当当 时，时， )()(01yfyyfyyfy )()(lim01010)()(lim000 xfxxfxx )(10 xf 17 yayf )(1)(log xaInaay1 xIna1 xInaxa1)(log 1()Inxx x )(1 ya( )logaf xx 例例5、对数函数、对数函数 证：证： 当当 a = e 时，有时，有 例例6、任意幂、任意幂 1()xx 为任意实数为任意实数 解：解： ()x )( Inxe)( Inxe )1(xeInx 1 x18 )(arcsin xycos1 y2sin11 211x )11(11)(arcsin2 xxx)11(11)(arccos2 xxx)(sin1 yarcsin( 11)yxx 例例7、 证：证： 同理可得同理可得 )(11)(arctan2 xxx21(cot )()1arcxxx 以上基本初等函数的求导结果均为求导公式以上基本初等函数的求导结果均为求导公式 19 例例8、 求求 y . 21yx例例9、设、设 f (x) 可导，可导， ，求，求 22()xyx f xe .dydx20 例例10、设、设 ，其中，其中 32121xyfx 2( )arctan,f uu 求：求： 0 xdydx 21 五、对数求导法五、对数求导法 主要适用于主要适用于: : ( )( )v xyu x 1）形如）形如 （幂指函数）的求导；（幂指函数）的求导； 2）求由三项或三项以上函数之积、商、乘方、）求由三项或三项以上函数之积、商、乘方、 或开方运算组成的函数的导数。

或开方运算组成的函数的导数 )()(xvxudxd)()(xvxInuedxd )()(xInuxvedxd )()()()( xInuxvexInuxv)()()()(xInuxvxuxv )()()(xuxuxv 相当于相当于 1）对等式两边取对数）对等式两边取对数 2）两边对自变量）两边对自变量 x 求导求导 3）结果以）结果以 x 形式表示形式表示 22 sinxyxy 例例11、 求求 2354(2) (5)(4)xxyx 例例12、求、求 的导数的导数 23 六、高阶导数六、高阶导数 ,f 2222,dxfdordxydy nndxyd)(11 nndxyddxd)(ny)(nfnndxydnndxfd定义：定义： f 如果函数如果函数 y = f (x) 导函数导函数 仍是可导函数，仍是可导函数， ()f 则可求出它的导函数则可求出它的导函数 ， 称之为称之为 f 的二阶的二阶 导函数，记作导函数，记作 同理可推出同理可推出 f 的的 n 阶导函数阶导函数 也可记为：也可记为： 24 xInx1)( 1 x)()(1 xInx2x )()(2 xInx3)2)(1( x3221)1( x101)1( x211)1( x)()(nInxnnxn )1(321)1(1nnxn)!1()1(1 例例13、求、求 y = lnx 的的 n 阶导函数阶导函数 解：解： 以此类推以此类推 由此可推出由此可推出 )()1(nx1!)1( nnxn)1()( nInx25 )()()()(nnngfgf 如果函数如果函数 f 和和 g 都是都是 n 阶可导函数，阶可导函数， 定理：定理： , 则则 1）对）对 （常数）（常数） fg 也是也是 n 阶可导，且阶可导，且 ()fgf gfg2） gfgfgffg 2)(gfgfgfgffg 33)(由数学归纳法得由数学归纳法得 Leibniz 公式公式 nkknkknngfCfg0)()()()(0)( ),offgg其中其中 26 21( )32f xxx 例例14、求、求 的的 n 阶导函数阶导函数 23(10)( )xf xx ef 例例15、 求求 27 综合练习综合练习 2( )( )(1) (53) cos(1)nnnf xxxxxf 2、 求求 22log( )xyexxx y1、设、设 ，求其反函数，求其反函数 的二阶的二阶 导数。