第一节 导数的概念.ppt

第一节 导数的概念一、问题的提出二、导数的定义三、可导与连续的关系一、问题的提出1.自由落体运动的瞬时速度问题如图,取极限得例 瞬时速度问题设质点沿直线运动的位置函数为 s = s(t) ， 求其在时刻 t0 的(瞬时)速度. t0 到 t 的平均速度为故在 t0 时刻的瞬时速度为2.切线问题割线的极限位置——切线位置播放如图, 如果割线MN绕点 M移动而趋向极限位置 MT,直线MT就称为曲线 C在点M处的切线.两个问题的共性:瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .类似问题还有:加速度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题二、导数(derivative)的定义1.定义1 、2 、关于导数的说明：注意：导数定义实质上是函数在 x0 关于 x 的增量 y 与自变量的增量 x 之比的极限 ，于是定义可改写为：特别地3. 求导举例按定义求导数的步骤为：1)解2)解更一般地例如,3)解4)解5) 求函数 的导数. 解例1原式是否可按下述方法作:例 设存在,求极限解: 原式4. 单侧导数2) 右导数 (right – hand derivative)1) 左导数 (left – hand derivative)定理例2解例3解5. 导数的几何意义与物理意义1) 几何意义切线方程为法线方程为解由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为例2解 由导数的几何意义, 得切线斜率为所求切线方程为法线方程为切线方程:法线方程:曲线在点处的切线与 x 轴平行,切线与 x 轴垂直 .解则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为即故在原点 (0 , 0) 处有垂直切线例 问曲线 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程.2) 物理意义非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动:路程对时间的导数为物体的 瞬时速度.例：如何用导数表示速度，线密度，功率，加速度，角速度等量。

三、可导与连续的关系定理 若函数在某点处可导,则函数在该点处连续 . 证三、可导与连续的关系定理 若函数在某点处可导,则函数在该点处连续 .若函数不连续，则一定不可导.注意: 该定理的逆定理不成立,即连续函数不 一定可导.(连续是可导的必要不充分条件.)连续函数不存在导数举例O例1例2O1例3011/π－1/π例4此种题型必须先考虑连续性得到一个关系式 ,再由可导得到另一个关系式 , 联立求解参数.分段函数求分界点导数一定要用左右导数定义求.四、小结1. 导数的实质: 增量比的极限;3. 导数的几何意义: 切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.6. 判断可导性不连续,一定不可导.连续直接用定义;看左右导数是否存在且相等.思考与练习思考与练习区别:联系:注意:证解由夹逼准则得解练习题答案2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置2.切线问题割线的极限位置——切线位置例3解。