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第二章第二章 拉伸、压缩与剪切拉伸、压缩与剪切材料力学讲师：讲师： 喻梅喻梅§2 . 1 轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩的概念受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力，力的作 用线与杆轴线重合用线与杆轴线重合变形特征：变形特征：§2 . 2 轴力轴力 轴力图轴力图截面法截面法——Normal Force 轴力的正负号规定：轴力的正负号规定：例：求图示杆例：求图示杆1-1、、2-2、、3-3截面上的轴力截面上的轴力解：解：§2.3 轴向拉伸或压缩杆件的应力轴向拉伸或压缩杆件的应力一、横截面上的应力一、横截面上的应力平面假设平面假设: 变形前为平面的横截面变形后仍为平面变形前为平面的横截面变形后仍为平面结论结论: 横截面上只有正应力横截面上只有正应力 ，且均匀分布且均匀分布圣维南圣维南(Saint Venant)原理：原理： 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之作用于物体某一局部区域内的外力系，可以用一个与之静力等效的力系来代替而两力系所产生的应力分布只在力静力等效的力系来代替。

而两力系所产生的应力分布只在力系作用区域附近有显著的影响系作用区域附近有显著的影响, 在离开力系作用区域较远处在离开力系作用区域较远处,应力分布几乎相同应力分布几乎相同二、斜截面上的应力二、斜截面上的应力轴向拉压杆斜截面上的应力：轴向拉压杆斜截面上的应力：（1）（2）（3）讨论：讨论：§2.4 轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉伸或压缩时的强度计算轴向拉压杆内的最大正应力轴向拉压杆内的最大正应力:强度条件：强度条件：式中：式中： 称为最大工作应力称为最大工作应力 称为材料的许用应力称为材料的许用应力根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：一、校核杆的强度一、校核杆的强度 已知已知 、、A、、 ，验算构件是否满足强度条件，验算构件是否满足强度条件二、设计截面二、设计截面 已知已知 、、 ，根据强度条件，求，根据强度条件，求 A三、确定许可载荷三、确定许可载荷 已知已知 A、、 ，根据强度条件，求，根据强度条件，求解：解：满足强度条件，安全。

满足强度条件，安全 例例1 直径直径 的圆杆，许用应力的圆杆，许用应力 ,受轴向拉力受轴向拉力 作用，校核此杆是否满足强度条件作用，校核此杆是否满足强度条件如果将题中许用应力如果将题中许用应力 改为改为是否满足强度条件？是否满足强度条件？ 例例2 图示三角形托架，其杆图示三角形托架，其杆AB由两根等边角钢组成由两根等边角钢组成已知已知 ，， ，试选择等边角钢的型号试选择等边角钢的型号解：解：选边厚为选边厚为3 mm的的4号等边角钢，其号等边角钢，其 例例3 图示起重机，钢丝绳图示起重机，钢丝绳AB的直径的直径 , 许用应许用应力力 ，试求该起重，试求该起重机容许吊起的最大荷载机容许吊起的最大荷载 F。

解：解：取取 BCD为研究对象，由为研究对象，由 得得§2.5 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能实验设备实验设备液压万能试验机液压万能试验机液压万能试验机电子万能试验机电子万能试验机电子万能试验机标准试件标准试件标距标距 l ，通常取，通常取 l = 5 d 或或 l = 10 d §2.5 材料拉伸时的力学性能材料拉伸时的力学性能一、低碳钢的拉伸实验一、低碳钢的拉伸实验下面分四个阶段分析：下面分四个阶段分析：Oab，，bc，，cd，，deA —— 试件原始的截面积试件原始的截面积l —— 试件原始标距段长度试件原始标距段长度1. 弹性阶段弹性阶段Oab变形是弹性的，变形是弹性的， 即：外力卸去后变形可完全恢复即：外力卸去后变形可完全恢复直线段的最大应力，称为直线段的最大应力，称为弹性阶段的最大应力，称为弹性阶段的最大应力，称为比例极限比例极限弹性极限弹性极限一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：一般材料，比例极限与弹性极限很相近，近似认为：如：低碳钢：如：低碳钢：胡克定律：胡克定律：当应力不超过比例极限时，当应力不超过比例极限时，应力和应变成线性关系。

应力和应变成线性关系即，直线段的斜率即，直线段的斜率如：低碳钢：如：低碳钢：—— —— 材料的弹性模量材料的弹性模量——Hooke定律定律2. 屈服阶段屈服阶段bc上屈服极限上屈服极限下屈服极限下屈服极限屈服极限屈服极限 表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线表面磨光的试件，屈服时可在试件表面看见与轴线大致成大致成45°倾角的条纹这是由于材料内部晶格之间相对倾角的条纹这是由于材料内部晶格之间相对滑移而形成的，称为滑移线因为在滑移而形成的，称为滑移线因为在45°的斜截面上切应的斜截面上切应力最大强化阶段的变形绝大部分是塑性变形强化阶段的变形绝大部分是塑性变形3. 强化阶段强化阶段cd强度极限强度极限塑性变形（永久变形）：塑性变形（永久变形）： 外力卸去后不能恢复的变形外力卸去后不能恢复的变形4. 颈缩阶段颈缩阶段de其中其中 和和 是衡量材料是衡量材料强度强度的重要指标的重要指标比例极限比例极限 弹性极限弹性极限 屈服极限屈服极限 强度极限强度极限延伸率延伸率:断面收缩率断面收缩率: :延伸率延伸率 和断面收缩率和断面收缩率 是衡量材料是衡量材料塑性塑性的重要指标。

的重要指标卸载定律：卸载定律：材料在卸载时应力与应变成直线关系材料在卸载时应力与应变成直线关系冷作硬化现象经冷作硬化现象经过退火后可消除过退火后可消除冷作硬化冷作硬化如何在图中画如何在图中画出延伸率出延伸率?二、其它材料的拉伸实验二、其它材料的拉伸实验30铬锰钢铬锰钢50钢钢A3钢钢硬铝硬铝青铜青铜二、其它材料的拉伸实验二、其它材料的拉伸实验 对于在拉伸过程中没对于在拉伸过程中没有明显屈服阶段的材料，有明显屈服阶段的材料，通常规定通常规定以产生以产生 0.2％％ 的的塑性应变所对应的应力塑性应变所对应的应力作作为屈服极限，并称为为屈服极限，并称为名义名义屈服极限屈服极限，用，用 表示三、灰口铸铁的拉伸实验三、灰口铸铁的拉伸实验 没有屈服现象没有屈服现象和颈缩现象，只和颈缩现象，只能测出其拉伸强能测出其拉伸强度极限度极限§2.6 材料压缩时的力学性能材料压缩时的力学性能一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状一般金属材料的压缩试件都做成圆柱形状低碳钢压缩时的低碳钢压缩时的 曲线曲线铸铁压缩时的铸铁压缩时的 曲线曲线铸铁的抗压强度比抗拉强度高铸铁的抗压强度比抗拉强度高 4 ~ 5 倍倍岩石的单向压缩岩石的单向压缩§2.7 许用应力许用应力 安全系数的选择安全系数的选择拉压强度条件拉压强度条件: 材料的极限应力材料的极限应力: 大于大于1 的安全因数的安全因数许用应力就是杆件实际应力允许达到的最高限度许用应力就是杆件实际应力允许达到的最高限度对于塑性材料对于塑性材料:对于脆性材料对于脆性材料:~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~§2.8 轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形纵向应变纵向应变横向应变横向应变————胡克定律胡克定律横截面应力横截面应力由材料的拉伸试验，在弹性阶段有由材料的拉伸试验，在弹性阶段有————胡克定律胡克定律其中其中 称为抗拉（压）刚度称为抗拉（压）刚度 称为横向变形系数或泊松称为横向变形系数或泊松(Poisson)比比 例：图示杆，例：图示杆，1 段为直径段为直径 的圆杆的圆杆, 2段为边长段为边长 的方杆的方杆, 3段为直径段为直径 的圆杆。

已知的圆杆已知2段段杆内的应力　　　杆内的应力　　　 ，材料的弹性模量，材料的弹性模量 , 求求整个杆的伸长整个杆的伸长 解解:—— 材料的力学性质材料的力学性质低碳钢低碳钢 拉伸拉伸σ-ε 曲线曲线四个阶段四个阶段屈服屈服弹性弹性颈缩颈缩强化强化四个特征点四个特征点比例极限比例极限 、弹性极限、屈、弹性极限、屈服极限和强度极限服极限和强度极限强度指标强度指标强度极限和屈服极限强度极限和屈服极限塑性指标塑性指标塑性指标塑性指标伸长率和断面收缩率伸长率和断面收缩率 胡克定律胡克定律 卸载定律卸载定律低碳钢拉伸实验：低碳钢拉伸实验：变形不大，突然断裂变形不大，突然断裂铸铁拉伸实验：铸铁拉伸实验：强度极限强度极限 是衡量强度是衡量强度的唯一指标的唯一指标—— 材料的力学性质材料的力学性质铸铸 铁铁：抗压强度抗压强度 >> >> 抗拉强度抗拉强度低碳钢和铸铁的压缩实验：低碳钢和铸铁的压缩实验： 低碳钢：与拉伸基本相同，无颈缩，低碳钢：与拉伸基本相同，无颈缩， 为拉压共用的强度指标为拉压共用的强度指标。

—— 材料的力学性质材料的力学性质—— 材料的力学性质材料的力学性质轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形例：求图示结构结点例：求图示结构结点 A 的垂直位移的垂直位移解解:例：求图示结构结点例：求图示结构结点 A 的垂直位移和水平位移的垂直位移和水平位移解解:例：图示结构中杆例：图示结构中杆1，，2，，3的刚度均为的刚度均为EA，，AB 为刚体，为刚体，F、、l、、EA皆为已知求皆为已知求C点的垂直和水平位移点的垂直和水平位移解解:§2.9 拉伸与压缩的超静定问题拉伸与压缩的超静定问题一、超静定问题及其解法一、超静定问题及其解法静定问题：根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力静定问题：根据静力平衡方程即可求出全部支反力和轴力超静定问题：未知力数目多于静力平衡方程数目超静定问题：未知力数目多于静力平衡方程数目例：求图示杆的支反力例：求图示杆的支反力解：静力平衡条件解：静力平衡条件变形协调条件变形协调条件引用胡克定律引用胡克定律由此得由此得联立求解联立求解(1)和和(2), 得得 例：刚性梁例：刚性梁 AB由由1、、2、、3杆悬挂杆悬挂, 已知三杆已知三杆 材料相同，许用应力为材料相同，许用应力为 , 材料的弹性模量为材料的弹性模量为 E, 杆长杆长 均为均为 l ，横截面面积均为，横截面面积均为 A, 试求结构的许可载荷试求结构的许可载荷 。

解：静力平衡条件解：静力平衡条件变形协调条件变形协调条件即即3 杆轴力为最大，其强度条件为杆轴力为最大，其强度条件为联立求解联立求解 (1) 和和 (2)，得：，得：例：图示三杆抗拉刚度均为例：图示三杆抗拉刚度均为EA，， 求结点求结点 A 的垂直位移的垂直位移解：静力平衡条件为解：静力平衡条件为变形协调条件为变形协调条件为引用胡克定律引用胡克定律(1)(2)(3)联立联立(1)、、(2)和和(3)式，求得：式，求得：二、装配应力二、装配应力解：静力平衡条件为解：静力平衡条件为变形协调条件为变形协调条件为引用胡克定律，得引用胡克定律，得三、温度应力三、温度应力温度升高温度升高解解: 变形协调条件为变形协调条件为即即（压）（压）线胀系数线胀系数 : 单位长度的杆温度升高单位长度的杆温度升高1℃时杆的伸长量时杆的伸长量解：变形协调条件为解：变形协调条件为（压）（压） 例：在温度为例：在温度为 2℃时安装的铁轨，每段长度为时安装的铁轨，每段长度为 12.5 m，，两相邻段铁轨间预留的空隙为两相邻段铁轨间预留的空隙为 1.2 mm, 当夏天气温升为当夏天气温升为40℃时，铁轨内的温度应力为多少？已知：时，铁轨内的温度应力为多少？已知： , 线膨胀线膨胀系数系数 ℃ 。

 例：如图所示，例：如图所示，AC 为刚性杆，为刚性杆，1、、2、、3 杆的杆的 E、、A、、l均相同，求各杆内力值均相同，求各杆内力值解：静力平衡条件为解：静力平衡条件为变形协调条件为变形协调条件为引用胡克定律，可得引用胡克定律，可得另解：另解：此时，变形图，变形协调条件是什么？此时，变形图，变形协调条件是什么？另解：另解：+例：图示等直杆两端固定，求杆两端的支反力例：图示等直杆两端固定，求杆两端的支反力解：变形协调条件解：变形协调条件引用胡克定律，得引用胡克定律，得求得求得解：变形协调条件为铜管伸长等于解：变形协调条件为铜管伸长等于 钢柱伸长，即钢柱伸长，即 例：如图所示，钢柱与铜管等长为例：如图所示，钢柱与铜管等长为 l，置于二刚性平板，置于二刚性平板间间, 受轴向压力受轴向压力 F钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线钢柱与铜管的横截面积、弹性模量、线膨胀系数分别为膨胀系数分别为 ，及，及 试导出系统所受载荷试导出系统所受载荷 F 仅由铜管承仅由铜管承受时，所需增加的温度受时，所需增加的温度 。

二者同时升温）（二者同时升温） 例：一薄壁圆环，平均直径为例：一薄壁圆环，平均直径为D，截面面积为，截面面积为 A，弹性模量为，弹性模量为 E，，在内侧承受均布载荷在内侧承受均布载荷 q 作用，求圆作用，求圆环周长的增量环周长的增量解：解：1.1.轴向拉伸或压缩时的变形轴向拉伸或压缩时的变形2.2.桁架节点的位移计算桁架节点的位移计算3.3.超静定问题的解法超静定问题的解法 超静定问题是综合运用了超静定问题是综合运用了几何几何、、物理物理、、静力学静力学三方面三方面的条件来求解的的条件来求解的 • 首先，首先，列出静力平衡方程列出静力平衡方程，判断超静定次，判断超静定次 数，以确定需要建立的补充方程的个数；数，以确定需要建立的补充方程的个数；• 其次，根据其次，根据变形协调条件变形协调条件建立变形几何方程；建立变形几何方程；• 再次，利用内力和变形之间的物理关系，再次，利用内力和变形之间的物理关系， 即即胡克定律胡克定律，代入几何方程得到包含各，代入几何方程得到包含各 杆内力的补充方程。

杆内力的补充方程• 最后，联立求解静力平衡方程和补充方程，最后，联立求解静力平衡方程和补充方程， 即可求出未知量即可求出未知量 §2.10 应力集中的概念应力集中的概念开有圆孔的板条开有圆孔的板条带有切口的板条带有切口的板条理论应力集中因数理论应力集中因数 因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，因杆件外形突然变化而引起局部应力急剧增大的现象，称为称为应力集中应力集中 ：同一截面上按净面积算出的平均应力，：同一截面上按净面积算出的平均应力， 又称名义应力又称名义应力：发生应力集中的截面上的最大应力：发生应力集中的截面上的最大应力构件的受力特点：作用于构件两侧的外力的合力是一对大小构件的受力特点：作用于构件两侧的外力的合力是一对大小 相等、方向相反、作用线相距很近的横向力相等、方向相反、作用线相距很近的横向力§2.11 剪切和挤压的实用计算剪切和挤压的实用计算变形特点：以两力变形特点：以两力F 之间的横截面为分界面，构件的两部分之间的横截面为分界面，构件的两部分 沿该面发生相对错动。

沿该面发生相对错动：：Tangential or Shear Force 一、剪切的实用计算一、剪切的实用计算 切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，在工程设计中切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，在工程设计中为了计算方便，假设切应力在剪切面上均匀分布据此算出为了计算方便，假设切应力在剪切面上均匀分布据此算出的平均切应力称为名义切应力的平均切应力称为名义切应力强度条件强度条件 可以从有关设计手册中查得可以从有关设计手册中查得,或通过材料剪切实验来确定或通过材料剪切实验来确定二、挤压的实用计算二、挤压的实用计算假设挤压应力在挤压计算面积上均匀分布假设挤压应力在挤压计算面积上均匀分布1. 当挤压面为平面时当挤压面为平面时: 等于此平面的面积等于此平面的面积2. 当挤压面为圆柱面时：当挤压面为圆柱面时：等于此圆等于此圆柱面在直径面上的投影面积，即柱面在直径面上的投影面积，即的数值可由试验确定的数值可由试验确定, 设计时可查有关手册设计时可查有关手册挤压强度条件挤压强度条件 例：图示受拉力例：图示受拉力 F 作用下的螺栓，已知材料的剪切许用作用下的螺栓，已知材料的剪切许用应力应力 是拉伸许用应力是拉伸许用应力 的的0.6倍。

求螺栓直径倍求螺栓直径 d 和螺栓头和螺栓头高度高度 h 的合理比值的合理比值解：解：得：得： 例：拉杆头部尺寸如图，已知例：拉杆头部尺寸如图，已知 许用切应力许用切应力 许用挤压许用挤压应力应力 校核拉杆头部的强度校核拉杆头部的强度解：解：满足强度条件满足强度条件例：已知例：已知 F、、a、、b、、l计算榫接头的切应力和挤压应力计算榫接头的切应力和挤压应力解：解： 例：已知铝板的厚度为例：已知铝板的厚度为 t, 剪切强度极限为剪切强度极限为 为了将其冲成图示形状，试求冲将其冲成图示形状，试求冲床的最小冲力床的最小冲力解：解：The End !*§2.12 圆筒形薄壁容器的应力（应力状态圆筒形薄壁容器的应力（应力状态时再讲）时再讲）壁厚为壁厚为 ，平均直径为，平均直径为 ，，。