正交矩阵及其性质-本科毕业论文.doc

本科毕业设计(论文) 题目名称：正交矩阵及其性质 学 院：数学与统计学院 专业年级：数学与应用数学 学生姓名： 班级学号： 指导教师： 五月二十四日 摘 要正交矩阵是一种常用的特殊矩阵, 在矩阵论中占有重要地位, 有着非常好的性质, 并具有广泛的应用. 本文应用矩阵的行列式, 特征值, 秩等概念, 深入研究了正交矩阵的相关性质, 并利用这些性质解决实际问题. 关键词: 矩阵; 正交矩阵; 特征值; 行列式; 秩AbstractOrthogonal matrix is a kind of commonly used matrix and plays an important role in matrix theory. Orthogonal matrix has many good properties. It is widely used. In this paper, we depth study the related properties of orthogonal matrix by applying the concepts of determinant, eigenvalue, rank and so on in matrix, and using these properties solve some practical problems. Kerword: Matrix; Orthogonal matrix; Eigenvalue; Determinant; Rank 目 录摘 要 IAbstract II目 录 III1. 引 言 12. 正交矩阵的定义及其性质 12.1正交矩阵的定义 12.2正交矩阵的性质 13. 应用举例 5致 谢 7参考文献 81. 引 言矩阵是数学中一个重要的基本概念, 是代数学的重要研究对象之一. 矩阵是线性代数中的核心内容, 而正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中占有重要地位, 有着非常好的性质[1-4], 并在各领域的数学方法中有着广泛的应用, 对其本身的研究来说是富有创造性的领域. 关于正交矩阵的研究, 如今已取得了丰富的成果, 文献[5]比较全面的分析了正交矩阵的性质; 文献[6]讨论了正交矩阵的特征值与行列式的关系; 文献[7]阐述了2阶正交矩阵有哪些类型; 文献[8]利用欧式空间的理论得出了正交矩阵的子式的性质; 文献[9]应用正交矩阵的若干性质, 给出了正交矩阵特征多项式系数的规律; 文献[10]叙述了正交矩阵在近世代数中的应用. 国内还有许多学者研究了正交矩阵的性质和应用, 为矩阵理论的发展做出了重大贡献, 对于研究学习高等代数有重大的理论意义. 但他们都是从正交矩阵的某个性质出发进行研究, 没有系统全面的讨论正交矩阵的性质, 所以, 在此基础上, 本文对正交矩阵进行了较为深入的研究, 得到了正交矩阵的一系列常用性质, 并对相关性质进行了概括, 改进和推广, 又研究了其子式与余子式的关系以及正交矩阵的应用.2. 正交矩阵的定义及其性质2.1正交矩阵的定义定义1 一个阶实矩阵叫做正交矩阵, 如果.注 (1)一个阶实矩阵叫做正交矩阵, 如果. (2)若阶实矩阵的个行(列)向量是两两正交的单位向量, 则为正交矩阵. 2.2正交矩阵的性质性质1[1-2] 设, 均为正交矩阵, 则(1).(2), , , 都是正交矩阵. 性质2[5] 设为正交矩阵, 则其特征值的模等于1, 且属于的不同特征值的特征向量互相正交. 证 设为的特征值, 是的属于的特征向量, 由 ,而, 故, 即的模等于1.另设是的属于的特征向量, 由, , , 可得 .所以,而, 从而, 故, 即与互相正交.性质3[6] 设为正交矩阵, (1)若, 则一定有特征值. (2)若, 且为奇数，则一定有特征值1.证 (1) 由 ,可得, 即,由特征方程的定义可知, 一定有特征值. (2) 由 , 这里为奇数, 可得, 即 , 由特征方程的定义可知, 一定有特征值1.性质4 设是阶正交矩阵, 是欧式空间中的列向量, 则. 证 因为 ,所以.性质5 设是阶正交矩阵，则对任意阶正交矩阵，有.证 是阶正交矩阵, 由得,而由引理3[7]知, , 其中为阶可逆矩阵, 故对任意阶矩阵, 有.性质6 (1)设为对称正交矩阵, 则必为对合矩阵, 从而的特征值只能等于. (2)设为上(下)三角的正交矩阵, 则必为对角矩阵, 且主对角线上的元素为.证 (1)显然成立. (2)不妨设为上三角的正交矩阵, 则, 所以只能是对角矩阵.从而是对称矩阵, 由(1)知, 的特征值只能等于, 故的主对角线上的元素为.性质7 设为非对称的正交矩阵, 则的特征值不可能全为实数.证 反证 若的特征值均为实数, 则存在正交矩阵, 使得 [8],所以合同于对称矩阵, 从而为对称阵, 矛盾故的特征值不可能全为实数. 定义2 在一个级行列式中任意选定行列. 位于这些行和列的交点上的个元素按照原来的次序组成一个级行列式, 称为行列式的一个级子式. 当时, 在中划去这行列后余下的元素按照原来的次序组成的级行列式称为级子式的余子式. 定义3 设的级子式在中所在的行, 列指标分别是. 则的余子式前面加上符号后称做的代数余子式. 性质8[9] 设为正交矩阵, (1) 若, 则的任意子式与其代数余子式相等. (2) 若, 则的任意子式与其代数余子式仅差一个符号.证 (1)记为中阶子式, 为的代数余子式. 由于为正交矩阵, , 故当有 . (2)当时, 由(1)直接可得 . 性质9 设是阶实矩阵, 则(1) 若, 则为正交矩阵的充要条件是, 其中是在中的代数余子式.(2) 若, 则为正交矩阵的充要条件是. 证 只证(1) 必要性: 当时, 由得, 为正交矩阵，则, 从而, 即. 充分性: 若, 即. 则, 于是为正交矩阵.3. 应用举例例1 设, 是两个正交矩阵, 为奇数, 证明.证 ,又 ,于是,由是奇数知. 例2 证明: 不存在正交矩阵, 使. 证 反证 设有正交矩阵A, B使, 则, 以及, 都是正交矩阵[10], 且 , . 从而由知: , .由此二式得, 矛盾, 故得证. 例3 设为正交矩阵, 是的复特征值, 为其对应的特征向量, 证明, 的模长相等且互相正交. 证 令, , 则, 于是, 由得, 即, 由性质2知, 所以得, 而, , 所以, 从而,即, 这样就有及, 故, 的模长相等且互相正交. 致 谢本文是在高福顺老师的亲切关怀和悉心指导下完成的. 他为人随和热情, 治学严谨细心. 在我论文的整个写作过程中, 高老师对我提出了许多宝贵的意见和建议, 从选题, 定题开始, 一直到最后论文的修改润色, 定稿, 高老师始终认真负责地给予我深刻而细致地指导, 帮助我开拓研究思路. 老师不仅在学业上给我以精心的指导, 而且在思想和生活上给我以无微不至的关怀, 在此谨向高老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意! 同时感谢数学系各位老师的关心和教育, 感谢我的同学们, 正是由于他们的帮助和支持, 我才能克服一个一个的困难和疑惑, 直至本文的顺利完成. 在论文即将完成之际, 我的心情无法平静, 从开始进入课题到论文的顺利完成, 有多少可敬的师长、同学和朋友给了我无言的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！我还要感谢含辛茹苦培养我长大的父母，谢谢你们！最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心的感谢！参考文献[1] 张禾瑞, 郝炳新. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, 1983, 321- 328. [2] 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数[M]. 北京: 高等教育出版社, , 372- 393. [3] 杨子胥. 高等代数精选题解[M]. 北京: 高等教育出版社, , 518- 528. [4] Paul Edward Spicer. On orthogonal polynomials and related discrete integrable systems[D]. Leeds, UK: Department of Applied Mathematics, School of Mathematics, University of Leeds, . [5] 戴立辉, 王泽文, 刘龙章. 正交矩阵的若干性质[J]. 华东地质学院学报, , 25( 3 ) : 267- 269. [6] 郑艳琳, 刘少庆. 关于正交矩阵特征值与行列式的两个定理[J]. 大学数学, , 27( 1 ) : 161- 163. [7] 李先崇. 正交矩阵的两个特征性质[J]. 数学通报, 1997( 8 ) : 31- 32. [8] 吴险峰, 张晓琳. 正交矩阵的进一步探究[J]. 齐齐哈尔大学学报, , 24( 6 ) : 65- 68. [9] 张德菊, 张晓敏. 正交矩阵的特征多项式及特征根[J]. 大学数学, , 23( 1 ) : 151- 154. [10] 邓桂梅. 正交变换群下的不变量——距离[J]. 数学教学研究, , 31( 4 ) : 46- 47. 。