点关于直线的对称.docx

点关于直线对称公式的应用永靖中学 姬良挺摘要：点关于直线对称是常见问题，适时推导掌握一些公式，加快运算速度，降低失误率，本文在一般情况下推导出点关于直线对称公式后，重点介绍直线斜率为 1或-1时，公式变的简单明了，而且应用非常方便关键词：对称，斜率，坐标在高中数学中对称问题随处可见，有点与点对称、点与直线的对称、直线与 直线的对称、图形与图形的对称，其中点关于直线的对称最为常见， 适时推导掌握一些公式，可以加快运算速度，降低失误率在直角坐标系中，当直线斜率不存在时，(如图1)点P(x0,y0)关于直线x=a 的对称点Pi坐标为(xi,yi),则由中点坐标公式可得 a= (x0+xi) /2,y0=yi即： xi=2a-xo,yi=yo所以得Pi坐标为(2a-xo,yo);当直线斜率为0时，(如图2)点P(xo,yo) 关于直线y=b的对称点Pi坐标为(x2,y2)则由中点坐标公式可得 b= (yo+y2) /2,xo=x2 即：y2=2b-yo,x2=xo 所以得 Pi 坐标为(xo,2b yo) 0图i 图2 图3下面介绍一般情况下，求点 P(xo,yo)关于直线l： y=kx+b (kw0)的对称点Pi的坐标(如图3),设Pi点坐标为(x, y),则由直线PPi与l垂直及线段PPi 的中点在l上，可得：亚―y?k i(i)xo xb(2)y。

y xo x k ?2 2解这个关于x、y的二元一次方程组，得:2ky2(k2 i)x2b (4)i k2- 22kx (i k )yi k2可以验证：该公式在k=0时仍然成立一般情况下运用该公式较繁，也没有 必要记住这个公式，但当直线的斜率为 +1或者-1时，该公式变的简单明了，而 且应用起来非常方便当 k=l 时，将 k 值代入（3） （4）得：x=yo-b, y=xo+b.当 k=-l 时，将 k 值代入（3） （4）得：x=-yo+b. y=-xo+b.可见：在直线的斜率为+1或者-1时，只需将原来点的纵坐标代入直线方程 中求得的x的值的为对称点的横坐标，将原来点的横坐标代入直线方程中求得的 y值即为对称点的纵坐标例1:求点（3, 5）关于直线y=x+3的对称点坐标解：在直线方程y=x+3，将x代为3,得：y=6即为对称点纵坐标，将y=5 代入直线方程求彳生x=2即为对称点横坐标所以：点（3, 5）关于直线y=x+3的对称点坐标为（2, 6）例2：求点（a.b）关于直线y=-x+1的对称点解：在直线方程y=-x+1中，x代为a ,得：y=-a+1即为对称点的纵坐标， 将y代为b,得：x=-b+1,即为对称点的横坐标。

即：点（a,b）关于直线y=-x+1的对称点坐标为（-b+1, -a+1）在直线斜率为1或者-1时，应用上述公式可以快速准确的计算出已知点关 于直线对称点的坐标，在平时学习中应不断总结，并指导学生撰写此类小论文， 可达到举一反三，事半功倍之效参考文献：全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）。