小学奥数7-5-2组合的基本应用(二).专项练习.pdf

7- 5-2. 组合的基本应用（二）. 题库教师版page 1 of 11 1. 使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题； 2. 了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合； 3. 掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系； 4. 会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和 逻辑思维能力； 通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别， 并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等 一、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学 中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里， 我们将着重研究有多少种分组方法的问题 一般地，从n个不同元素中取出m个(mn) 元素组成一组不计较组内各元素的次序， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个 组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的 元素不完全相同时，才是不同的组合 从n个不同元素中取出 m个元素 (mn) 的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取 出m个不同元素的组合数记作 m n C 一般地，求从n个不同元素中取出的m个元素的排列数 n m P 可分成以下两步： 第一步：从n个不同元素中取出m个元素组成一组，共有 m n C种方法； 第二步：将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有 m m P 种排法 根据乘法原理，得到 mmm nnmPCP 因此，组合数 12)1 123 2 1 m m n n m m Pnnnnm C Pmmm （） （） （） （） 这个公式就是组合数公式 二、组合数的重要性质 一般地，组合数有下面的重要性质： mn m nn CC(mn) 这个公式的直观意义是： m n C表示从n个元素中取出m个元素组成一组的所有分组方 法 n m nC 表示从n个元素中取出 (nm) 个元素组成一组的所有分组方法显然，从n个元 知识要点 教学目标 7-5-2. 组合的基本应用（二） 7- 5-2. 组合的基本应用（二）. 题库教师版page 2 of 11 素中选出m个元素的分组方法恰是从n个元素中选m个元素剩下的(nm) 个元素的分组 方法 例如，从 5 人中选 3人开会的方法和从5 人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即 32 55CC 规定1 n nC ， 0 1 nC 模块一、组合之几何问题 【例 1 】在一个圆周上有10 个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段； 三角形； 四边形 【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 由于 10 个点全在圆周上，所以这10 个点没有三点共线，故只要在10 个点中取 2个 点，就可以画出一条线段；在 10个点中取 3个点， 就可以画出一个三角形；在 10 个 点中取4个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题 由组合数公式： 可画出 2 2 10 10 2 2 109 45 21 P C P ( 条) 直线段 可画出 3 3 10 10 3 3 1098 120 32 1 P C P ( 个)三角形 可画出 4 4 10 10 4 4 10987 210 4321 P C P ( 个) 四边形 【答案】 2 10 45C 3 10 120C 4 10 210C 【巩固】平面内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ 【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题， 实际上是求从10个元素中取出 2 个元素的组合数，由组合数公式， 2 10 109 45 2 1 C ，所以以 10 个点中每2个点为 端点的线段共有45 条 【答案】 45 【巩固】在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是 求从 7 个点中选出3个点的选法，等于 3 7 765 35 321 C ( 种) 【答案】 3 7 35C 【例 2 】平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？ 可确定多少条射线？ 【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 分三类： 有2个顶点在共线的6 点中，另1个顶点在不共线的6 点中的三角形有 2 6 65 6690 21 C 个； 例题精讲 7- 5-2. 组合的基本应用（二）. 题库教师版page 3 of 11 有1个顶点在共线的6点中，另2个顶点在不共线的6 点中的三角形有 2 6 65 6690 21 C ( 个) ； 3个顶点都在不共线的6 点中的三角形有 3 6 654 20 32 1 C 个 根据加法原理，可确定909020200 个三角形 两点可以确定两条射线，分三类： 共线的 6 点，确定 10 条射线； 不共线的6 点，每两点确定两条射线，共有 2 6 65 2230 2 1 C ( 条) 射线； 从共线的6 点与不共线的6 点中各取一个点可以确定66272 ( 条 ) 射线 根据加法原理，可以确定103072112( 条) 射线 【答案】200112 【巩固】 如图，问： 图1中，共有多少条线段？ 图2中，共有多少个角？ C 5 C 4 C 3 C 2 C 1 BA . P9 P 3 P 2 P1 B A O 图1图2 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 段 AB上共有 7个点（包括端点A、B） 注意到，只要在这七个点中选出 两个点，就有 一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而 2 7 C表示从 7个点中取两个不 同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有 2 7 C 条线段 由组合数公式知，共有 2 2 7 7 2 2 76 21 21 P C P (条) 不同的线段； 从 O 点出发的射线一共有11条， 它们是 OA ， 1 OP ， 2 OP ， 3 OP ， 9 OP ， OB 注 意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从 11条射线中取两条射线有多 少种取法，就有多少个角显然，是组合问题，共有 2 11 C种不同的取法，所以， 可组成 2 11 C个角 由组合数公式知，共有 2 2 11 11 2 2 11 10 55 2 1 P C P ( 个) 不同的角 【答案】 2 721C 2 1155C 模块二、组合之应用题 【例 3 】6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 这与课前挑战的情景是类似的因为两个人握手是相互的，6个朋友每两人握手一 次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组 合问题 由组合数公式知， 2 6 65 15 21 C ( 次) 所以一共握手15 次 【答案】 15 7- 5-2. 组合的基本应用（二）. 题库教师版page 4 of 11 【巩固】某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共 握了多少次手？ 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答 【解析】 2 20 2019 190 2 1 C ( 次) 【答案】 2 20 190C 【例 4 】学校开设 6 门任意选修课， 要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用【难度】 2 星【题型】解答 【解析】 被选中的 3门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题 由组合数公式知， 3 6 654 20 321 C ( 种) 所以共有 20种不同的选法 【答案】 3 6 20C 【例 5 】有 2 克， 5 克， 20 克的砝码各1 个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能 称出种不同的质量。

【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，一试，第5 题 【解析】 第一大类：砝码只放一边共有 123 333 3317CCC或者 3 217（种） ；第 二大类：两边都放砝码再分类：两边各放一个，共有 2 3 C 种；一边放两个一边放 一个有 1 3 C 或者 2 3 C种所以这一大类共有 12 33 336CC（种）根据加法原理， 共能称出7+6=13（种）不同的质量 【答案】 13种 【例 6 】工厂某日生产的10 件产品中有2 件次品，从这10 件产品中任意抽出3 件进行检 查，问： （1）一共有多少种不同的抽法？ （2）抽出的3 件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有多少种？ 【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 （1）从 10 件产品中抽出3 件，抽法总数为 3 10 C=120（种） （2）3 件中恰好一件次品，那么还有两件正常品 抽法总数为 1 2 C 2 8 C =56（种） （3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品” 全都不是次品的抽法总数为 3 8 C =56（种） 所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64 （种） 【答案】（1）120 （ 2）56 （3）64 【例 7 】200 件产品中有5 件是次品，现从中任意抽取4 件，按下列条件，各有多少种不 同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1 件次品；不都是次品 【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195 件第题：与 顺序无关；至少有1 件次品，即有1 件次品、 2 件次品、 3 件次品、 4 件次品等四 类情况， 次品共 5 件可用直接法解答，也可用间接法解答第题： 与顺序无关； 不都是次品，即至少有1 件是正品 都不是次品，即全部为正品 7- 5-2. 组合的基本应用（二）. 题库教师版page 5 of 11 共有抽法 4 195 C种 至少有1 件次品，包括1 件、 2 件、 3 件、 4 件次品的情况 共有抽法 3122134 1955195519555 ()CCCCCCC种（或 44 200195 ()CC种） 不都是次品，即至少有1 件正品 共有抽法 1322314 195519551955195 ()CCCCCCC种（或 44 2005 ()CC种） 【答案】 4 195 C 44 200195 ()CC 44 2005 ()CC 【例 8 】某班要在 42名同学中选出 3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在 42人中选 3人站成一排，有多少种站法？ 【考点】组合之基本运用【难度】 3 星【题型】解答 【解析】 要在42人中选 3人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与 三名同学被选出的顺序无关所以，应用组合数公式，共有 3 42 C种不同的选法 要在42人中选出 3人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且 与三名同学被选出的顺序有关所以，应用排列数公式，共有 3 42 P 种不同的站法 由组合数公式，共有 3 3 42 42 3 3 424140 11480 321 P C P ( 种) 不同的选法； 由排列数公式，共有 3 4242414068880P( 种) 不同的站法 【答案】 3 4268880P 【例 9 】将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有 _种不同的方法 【考点】组合之基本运用【难度】 1 星【题型】解答 【关键词】希望杯，1 试 【解析】 因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者 黄花的两边这样共有5 个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从5 个元素中 取出 3个，所以共有 3 5 543 。