求最值问题的几种方法.doc

浅谈求最值问题的几种措施摘要：最值问题综合性强, 波及到中学数学的许多分支, 因而此类问题题型广, 知识面宽,并且在解法上灵活多样, 能较好体现数学思想措施的应用. 在历年的高考试题中, 既有基本题, 也有某些小综合的中档题, 更有某些以难题的形式浮现. 解决此类问题要掌握多方面的知识, 综合运用多种数学技巧, 灵活选择合理的解题措施, 本文就几类最值问题作一探求.核心词：数学；函数；最值；最大值；最小值 1. 常用函数的最值问题.1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数在其定义域(全体实数)内是没有最大值和最小值的, 但是, 如果对自变量的取值范畴有所限制时, 一次函数就也许有最大值和最小值了.例1. 设 且 ≠1,,(0≤≤1),求的最大值与最小值.解: 可化为：下面对一次项系数分两种状况讨论：（1）当＞1时，-＞0,于是函数的函数值是随着的增长而增长的,因此当=0时,取最小值;当=1时,y取最大值. （2）当0＜＜1时,,于是函数的函数值是随着的增长而减少的,因此当=0时,取最大值;当=1时,取最小值.例2. 已知是非负实数,且满足条件求的最大值和最小值.分析： 题设条件给出两个方程,三个未知数，固然， 的具体数值是不能求出的.但是,我们固定其中一种，不防固定，那么都可以用来表达，于是便是的函数了（需注意的取值范畴），从而我们根据已知条件，可求出的最大值与最小值.1.2二次函数的最大值与最小值一般地，求二次函数的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解，即有：若>0，则当= —时，有最小值为；若<0，则当= —时，有最大值. 这里我们给出另一种求二次函数最值的措施——鉴别式法.例3. 已知1, 2是方程 (是实数）的两个实数根，求的最大值与最小值.分析：一般地,二次函数,若方程有实根,其鉴别式≥0.如果有关的不等式≥0,可以解出的取值范畴，便可求出函数的最值，这就是求函数最值的鉴别式法.解：由于二次方程有实根，因此=≥0 解得 ≤≤ 则 由于在上是减函数,可见当时，=有最大值18，当时，=有最小值.1.3三角函数的最大值与最小值三角函数的最值问题题型广，波及的知识面宽，并且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想措施的应用，因而始终是学习中的热点和重点. 例 4. 已知函数,设，当为什么值时，y获得最小值. 解： , 即有 , 当时，获得最小值.阐明：求三角函数的最值时，措施诸多，而在代数中求最值的措施均合用，如配措施（注意三角函数的取值范畴），换元法（注意换元后的范畴），鉴别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常用的三角函数及最值的求法： （1）型，运用三角函数的值域，须注意对字母的讨论. （2） 型，先引进辅助角化成，再运用有界性. （3） 型，配方后求二次函数的最值，须注意 的约束. （4） 型，反解出，化归为解决.(5) 型，化归为 运用三角函数的有界性求解，或用数形结合法 .(6) 型，常用到换元法，令，.1.4 分式函数的最大值与最小值求分式函数的最大值与最小值问题，常用到的措施是去分母后，化为有关的二次方程，然后用鉴别式≥0，得出的取值范畴，进而求出的最大值和最小值.例5. 求函数的最值.解：去分母，整顿得 当时，这是一种二次方程，因是实数，因此鉴别式≥0. 即 = 解得 当 当 由此即知, 当 时， 取最小值-4； 当 时， 取最大值1. 阐明：本题求最值的措施叫鉴别法，是一种常用的措施，但在用鉴别法时，应特别注意这个最值能否取到，即与否有与最值相应的值. 2. 一类无理函数的最值问题无理函数的最值是高中数学教学的一种难点，其形式多样，解法繁杂，学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如 的无理函数最值的解法.例6. 求函数的最值，以及取最值时的值. 解法1. 运用鉴别式显然 ， 两边平方得 移项，平方整顿得 由 得 又 及 得 当=6时，；当=时，.解法2. 巧用三角变换. 设, 则， .消去得 . 当 时， 即 时， ； 当 时， 即=6 时， .解法3. 善用导数.导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质特别是函数最值问题成为强有力的手段，要注重导数在解决某些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得到简洁，完美的解决. 对原函数求导可得 令 得 又 计算端点和导数为零的函数值得 ， ， . 由此可得 当=时， ， 当=6时，.3. 其他函数的最值问题解决一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来阐明能取到这个最大值或者最小值。

例7. 设是正实数，求函数的最小值. 解：先估计的最小值 又当时，. 因此的最小值为.阐明：在求最小（大）值，一定要举例阐明这个值是能取到的，才干说这就是最小（大）值，否则就不一定对了，例如，本题我们也可以这样估计： 但无论取什么值时，取不到，即不能作为的最小值.。