八年级上数学整式地乘除与因式分解基本知识点.doc

word整式的乘除与因式分解根本知识点一、整式的乘除：1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.例如：；；2、同底数幂的乘法法如此：am·an=am+n(m，n是正整数).同底数幂相乘，底数不变，指数相加.例如：；3、幂的乘方法如此：(am)n=amn(m，n是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘.例如：；；4、积的乘方的法如此：(ab)m=ambm(m是正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.例如：；；5、同底数幂的除法法如此：am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 规定：例如：；；6、单项式乘法法如此7、单项式除法法如此单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，如此连同它的指数作为商的一个因式.8、单项式与多项式相乘的乘法法如此：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.9、多项式乘法法如此：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.10、多项式除以单项式的除法法如此：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.； 11、整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.例如：〔4a－1〕〔4a+1〕=___________； 〔3a－2b〕〔2b+3a〕=___________；=； ；12、整式乘法的完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2.两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.例如：； ； 二、因式分解：1、提公因式法： 4 x2+12x3+4x 2、公式法.：〔1〕、平方差公式：〔2〕、完全平方公式：3、分组分解法：ab－c＋b－aca2－2ab＋b2－c24、“十字相乘法〞：即式子x2+(p+q)x+pq的因式分解. x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).x2＋7x＋6 〔2〕、x2－5x－6 〔3〕、x2－5x＋6整式的乘法[同底数幂的乘法]am·an=am+n〔m、n都是正整数〕 [幂的乘方](am)n＝amn(m，n都是正整数) [积的乘方](ab)n＝anbn(n是正整数) [单项式乘以单项式]单项式与单项式相乘，把它们的系数、一样的字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，如此连同它的指数作为积的一个因式．[单项式乘以多项式] 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．[多项式乘以多项式]多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．平方差公式[平方差公式] (a＋b)(a－b)＝a2－b21. 公式的结构特征：⑴左边是两个二项式相乘，这两个二项式中，有一项完全一样，另一项互为相反数.⑵右边是这两个数的平方差，即完全一样的项与互为相反数的项的平方差〔同号项2－异号项2〕.2. 公式的应用：⑴公式中的字母，可以表示具体的数，也可以表示单项式或多项式，只要符合公式的结构特征，就可以用此公式进展计算.⑵公式中的是不可颠倒的，注意是同号项的平方减去异号项的平方，还要注意字母的系数和指数.⑶为了防止错误，初学时，可将结果用“括号〞的平方差表示，再往括号填上这两个数. 如：(a+b)( a - b)= a2 － b2↓↓↓↓↓↓ 计算：(1+2x)(1-2x)= ( 1 )2－( 2x )2 =1-4x2完全平方公式[完全平方公式](a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2 两数和〔或差〕的平方，等于它们的平方和加〔或减〕它们的积的2倍.公式特征：左边是一个二项式的平方，右边是一个三项式〔首平方，尾平方，二倍乘积在中央〕．公式变形：(a+b)2=(a-b)2+4ab a2 + b2 = (a+b)2-2ab (a-b)2=(a+b)2-4ab a2 + b2 = (a-b)2+2ab(a+b)2- (a-b)2=4ab[公式的推广] (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac整式的除法[同底数幂的除法]am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)． a0=1(a≠0)任何非零数的零次幂是1.[单项式除以单项式] 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，如此连同它的指数作为商的一个因式．[多项式除以单项式] 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．因式分解[因式分解]把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解〔或分解因式〕.[提公因式法]ac＋bc=〔a＋b〕c[公式法] a2－b2 ＝(a＋b)(a－b) a2+2ab+b2 = (a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2 [十字相乘法] x2＋〔p＋q〕x＋pq=〔x＋p〕〔x＋q〕巩固练习一、训练平台1.如下各式中，计算正确的答案是( )7×27=285×22=2106+26=276+26=2122.当x=时，3(x+5)(x-3)-5(x-2)(x+3)的值等于( ) D.3.x-y=3，x-z=，如此(y-z)2+5(y-z)+的值等于( )A. B.4.设n为正整数，假如a2n=5，如此2a6n-4的值为( )5.(a+b)(a-2b)=.6.(2a+0.5b)2=.7.(a+4b)(m+n)=.8.计算.(1)(2a-b2)(b2+2a)=；(2)(5a-b)(-5a+b)=.9.分解因式.(1)1-4m+4m2； (2)7x3-7x.10.先化简，再求值.[(x-y)2+(x+y)(x-y)]÷2x，其中x=3，y=-1.5.二、探究平台1.分解因式(a-b)(a2-ab+b2)-ab(b-a)为( )A.(a-b)(a2+b2) B.(a-b)2(a+b) C.(a-b)3 D.-(a-b)32.如下计算正确的答案是( )A.a8÷a2=a4(a≠0) B.a3÷a4=a(a≠0)C.a9÷a6=a3(a≠0) D.(a2b)3=a6b3.如下各题是在有理数围分解因式，结果正确的答案是( )4-0.1=(x2+0.1)(x2-0.1) 2-16=(-x+4)(-x-4)n+x3n=xn(2+x3) D.-x2=(1+2x)(1-2x)4.分解因式：-a2+4ab-4b2=.2+2(m-3)x+25能用公式法分解因式，那么m的值是.6.(3x3+3x)÷(x2+1)=.2×2×4=.8.计算.(1)；(2).9.分解因式.(1)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)； (2)x4-81x2y2.10.+x(1+)，其中x=-1.三、交流平台1.一条水渠其横断面为梯形，如图15－23所示，根据图中的长度求出横断面面积的代数式，并计算当a=2，b=0.8时的面积.3+kx+6有一个因式x+3，当k为何值时，能分解成三个一次因式的积？并将它分解.3.如果x+y=0，试求x3+x2y+xy2+y3的值.4.试说明无论m，n为任何有理数，多项式4m2+12m+25+9n2-24n的值为非负数.第十六章分式知识点和典型例习题【知识网络】【思想方法】　　1．转化思想　　转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都表现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的根本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的根本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等．　　2．建模思想　　本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性〞的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义．　　3．类比法 　　本章突出了类比的方法，从分数的根本性质、约分、通分与分数的运算法如此类比引出了分式的根本性质、约分、通分与分式的运算法如此，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不表现了类比思想的重要性，分式方程解法与应用也可以类比一元一次方程．第一讲 分式的运算【知识要点】1.分式的概念以与根本性质;3.分式的化简求值(通分与约分)【主要公式】1.同分母加减法如此:2.异分母加减法如此:;3.分式的乘法与除法:,4.同底数幂的加减运算法如此:实际是合并同类项5.同底数幂的乘法与除法;am● an =am+n; am÷ an =am－n6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m= am bn , (am)n= amn7.负指数幂: a-p= a0=18.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b)(a-b)= a2- b2 ;(a±b)2= a2±2ab+b2〔一〕、分式定义与有关题型题型一：考查分式的定义【例1】如下代数式中：，是分式的有：.题型二：考查分式有意义的条件【例2】当有何值时，如下分式有意义〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕 〔5〕题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当取何值时，如下分式的值为0. 〔1〕 〔2〕 〔3〕题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】〔1〕当为何值时，分式为正；〔2〕当为何值时，分式为负；〔3〕当为何值时，分式为非负数.练习：1．当取何值时，如下分式有意义：〔1〕 〔2〕 〔3〕2．当为何值时，如下分式的值为零：〔1〕 〔2〕3．解如下不等式〔1〕 〔2〕〔二〕分式的根本性质与有关题型1．分式的根本性质：2．分式的变号法如此：题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.〔1〕 〔2〕题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把如下分式的分子、分母的首项的符号变为正号.〔1〕 〔2〕 〔3〕题型三：化简求值题【例3】：，求的值.提示：整体代入，①，②转化出.【例4】：，求的值.【例5】假如，求的值.练习：1．不改变分式的值，把如下分式的分子、分母的系数化为整数.〔1〕 〔2〕2．：，求的值.3．：，求的值.4．假如，求的值.5．如果，试化简.〔三〕。