易拉罐尺寸的最优设计方案.ppt

高铁1602314宿舍销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，销量很大的饮料的饮料罐的形状和尺寸几乎相同，这是为什么呢？？？这是为什么呢？？？问题：问题：1.1.假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，假设易拉罐是一个正圆柱体且底面和侧面的厚度相同，什么是它的最优设计？什么是它的最优设计？2.2.如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同〔如果易拉罐是一个正圆柱体，但底面和侧面厚度不同〔例如底面厚度是侧面厚度的例如底面厚度是侧面厚度的3 3倍〕，如何设计最优？倍〕，如何设计最优？一、摘要一、摘要 对问题一，我们通过实际测量得出〔355ml〕易拉罐各局部的数据 对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他局部厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型 由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：二、模型建立二、模型建立 问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型问题二：正圆柱形易拉罐尺寸的最优设计模型〔〔1 1〕易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图〕易拉罐各点罐壁厚度相同的情形由图1 1可知：可知： 容积为容积为 ：： 外表积为外表积为 ：： 模型一：模型一：图1 各点罐壁厚度相同的圆柱形易拉罐模型一：模型一：〔〔2 2〕易拉罐有不同罐壁厚度的情形〕易拉罐有不同罐壁厚度的情形 易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，易拉罐各面厚度不同，用料量也不相同，根据材料的用量与其体积成正比。

根据材料的用量与其体积成正比 容积一定时，所用材料的体积最小时的尺容积一定时，所用材料的体积最小时的尺寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：寸即易拉罐的最优尺寸，所需要的材料为：图2 有不同罐壁厚度的圆柱形易拉罐模型二：模型二：应使应使Y Y取最小值，取最小值，模型二：模型二：〔〔3〕易拉罐有不同罐壁厚度并考〕易拉罐有不同罐壁厚度并考虑焊缝长度度[4]的情形的情形 在模型二的根底上，考在模型二的根底上，考虑工作量〔工作量〔焊缝长度〕的不同度〕的不同工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同工作量有影响，使得易拉罐的材料用量最省的同时，，焊缝长度也尽量取到最小度也尽量取到最小 根据模型分析，可得根据模型分析，可得焊缝长度：度： 将焊缝的长度为将焊缝的长度为Z时的工作量的工作量转化化为同等的材料体同等的材料体积，，从而可以从而可以将二者直接相加将二者直接相加模型三模型三：〔此模型即为求解问题二的完善模型〕1. 问题一的求解一的求解 表表1 101 10种种355ml355ml易拉罐易拉罐饮料的相关料的相关测量数据量数据罐体罐体直径直径(cm)(cm)圆台口台口直径直径(cm)(cm)罐体罐体高度高度(cm)(cm)整罐整罐高度高度(cm)(cm)顶盖盖厚度厚度(cm)(cm)侧面面厚度厚度(cm)(cm)圆台台厚度厚度(cm)(cm)罐底罐底厚度厚度(cm)(cm)可口可可口可乐6.6164.55210.11612.1640.04710.01090.03186.616雪碧雪碧6.624.56210.08812.1920.04480.0110.03326.62天府百天府百柠6.664.57410.10212.1820.04620.01130.03226.66百事可百事可乐6.6184.55410.11412.1740.04660.01080.03266.618七喜七喜劲柠6.6144.54810.11212.1720.04620.01020.03166.614美年达美年达6.6164.53610.11612.1620.0470.01080.0326.616醒目醒目6.6464.5510.11412.1660.04730.01070.03186.646轻怡怡6.6284.55210.11812.1660.04680.01040.0326.628菠菠萝啤酒啤酒6.624.54810.10812.1580.04820.01130.03226.62雪花啤酒雪花啤酒6.6144.5510.1112.1660.04750.01070.03246.614项项目目数数值值种种类类三、模型求解三、模型求解表表2 GB2 GB／T 9106T 9106—20012001中中规定的罐体主要尺寸定的罐体主要尺寸(单位：毫米位：毫米)[5名称名称符号符号公称尺寸极限极限偏差偏差250mL250mL275mL275mL300mL300mL335mL335mL500mL500mL罐体高度罐体高度H H90.9390.9398.9598.95115.2115.2122.22122.22167.84167.84±0.38±0.38罐体外径罐体外径D D1 166.0466.04缩颈内径缩颈内径D D2 257.4057.40±0.25±0.25翻边宽度翻边宽度B B2.222.22±0.25±0.25〔〔2〕易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二，〕易拉罐有不同罐壁厚度的情形，根据模型二， 用拉格朗日乘数法求解新的函数：用拉格朗日乘数法求解新的函数：然后分别对，，解得：解得：即即 圆柱体的柱体的高与半径高与半径 之比之比为6时为最最优尺寸尺寸〔〔1〕易拉罐各点罐壁厚度相同的情形〕易拉罐各点罐壁厚度相同的情形 根据模型一知：根据模型一知：取取最小最小值时，必定有，必定有， 图7 体积一定时随变化的曲线即易拉罐的高度为半径的二倍〔等边圆柱形〕时，所需材料最少。

即易拉罐的高度为半径的二倍〔等边圆柱形〕时，所需材料最少根据根据问题一中一中测得的得的实际数据可以得到数据可以得到 表表3 检验数据表数据表罐体高罐体高度度（（cmcm））罐体直径罐体直径(cm)(cm)雪碧雪碧10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 可口可乐可口可乐10.08810.0886.626.621.524 1.524 天府百柠天府百柠10.10210.1026.666.661.517 1.517 百事可乐百事可乐10.11410.1146.6186.6181.528 1.528 七喜劲柠七喜劲柠10.11210.1126.6146.6141.529 1.529 美年达美年达10.11610.1166.6166.6161.529 1.529 醒目醒目10.11410.1146.6466.6461.522 1.522 轻怡轻怡10.11810.1186.6286.6281.527 1.527 菠萝啤酒菠萝啤酒10.10810.1086.626.621.527 1.527 雪花啤酒雪花啤酒10.1110.116.6146.6141.529 1.529 由表由表3可知：所有可知：所有均在此范均在此范围内，在内，在1与与3之之间必有一必有一个最个最优值符合符合实际条件，从条件，从结果可大果可大致得出此致得出此最最优值应该在附近在附近。

因此，因此，实际值是合理的，而是合理的，而的比例关系式也符合的比例关系式也符合实际情况。