备战2025年高考精品教案数学第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质.docx

第5讲　三角函数的图象与性质课标要求命题点五年考情命题分析预测1.借助单位圆能画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大（小）值.2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在（－π2，π2）上的性质.三角函数的定义域本讲每年必考，主要考查三角函数的定义域、值域（最值）、周期性、单调性、对称性和奇偶性，有时与函数零点和极值点综合命题，题型以选择题和填空题为主，难度中等.预计2025年高考命题趋势变化不大，备考时要注意区分正弦函数和余弦函数的图象与性质，不要混淆，另应关注新角度、新综合问题.三角函数的值域（最值）2021全国卷乙T4三角函数的性质及应用2023新高考卷ⅠT15；2023全国卷乙T6；2023天津T5；2022新高考卷ⅠT6；2022全国卷乙T15；2022全国卷甲T11；2022北京T5；2021新高考卷ⅠT4；2020全国卷ⅢT16；2019全国卷ⅠT11；2019全国卷ⅡT9学生用书P080　1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，0），（π2，1），①　（π，0）　，（3π2，－1），②　（2π，0）　.在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的五个点是（0，1），（π2，0），③　（π，－1）　，（3π2，0），④　（2π，1）　.五点法作图有三步：列表、描点、连线（注意光滑）.2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质三角函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR⑤　{x｜x≠kπ＋π2，k∈Z}　值域⑥　[－1，1]　⑦　[－1，1]　R周期性周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑧　2π　.周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑨　2π　.周期是kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是⑩　π　.对称性对称轴方程是⑪　x＝kπ＋π2　（k∈Z），对称中心是⑫　（kπ，0）　（k∈Z）.对称轴方程是⑬　x＝kπ　（k∈Z），对称中心是⑭　（kπ＋π2，0）　（k∈Z）.无对称轴，对称中心是⑮　（π2，0）　（k∈Z）.奇偶性⑯　奇函数　⑰　偶函数　⑱　奇函数　单调性在⑲　[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]　（k∈Z）上单调递增，在⑳　[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]　（k∈Z）上单调递减.在㉑　[2kπ－π，2kπ]　（k∈Z）上单调递增，在㉒　[2kπ，2kπ＋π]　（k∈Z）上单调递减.在㉓　（－π2＋kπ，π2＋kπ）　（k∈Z）上单调递增.注意　 y＝tan x在其定义域内不单调.常用结论1.三角函数的对称性与周期T的关系（1）相邻的两条对称轴（或两个对称中心）之间的距离为T2；（2）相邻的对称中心与对称轴之间的距离为T4；（3）相邻的两个最低点（或最高点）之间的距离为T.2.与三角函数奇偶性有关的结论（1）若函数y＝Asin（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ＋π2（k∈Z）.（2）若函数y＝Acos（ωx＋φ）（x∈R）是奇函数，则φ＝kπ＋π2（k∈Z）；若为偶函数，则φ＝kπ（k∈Z）.（3）若y＝Atan（ωx＋φ）为奇函数，则φ＝kπ（k∈Z）.1.设A是△ABC最小的内角，则sin A＋cos A的取值范围是（　D　）A.（－2，2） B.[－2，2] C.（1，2） D.（1，2]解析　∵A是△ABC最小的内角，∴0＜A≤π3，∴π4＜A＋π4≤7π12，∴22＜sin（A＋π4）≤1，则sin A＋cos A＝2sin（A＋π4）∈（1，2]，故选D.2.函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期为（　A　）A.π4 B.π2 C.π D.2π解析　函数f（x）＝tan（－4x＋π6）的最小正周期T＝π｜ω｜＝π｜－4｜＝π4.3.[全国卷Ⅱ]若x1＝π4，x2＝3π4是函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）两个相邻的极值点，则ω＝（　A　）A.2 B.32 C.1 D.12解析　依题意得函数f（x）的最小正周期T＝2πω＝2×（3π4－π4）＝π，解得ω＝2，选A.4.函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的一条对称轴的方程是（　C　）A.x＝π4 B.x＝π2 C.x＝－π4 D.x＝－π2解析　函数y＝sin x的图象的对称轴方程为x＝kπ＋π2（k∈Z），令x－π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ＋3π4（k∈Z），故函数f（x）＝sin（x－π4）的图象的对称轴方程为x＝kπ＋3π4（k∈Z）.令k＝－1，得x＝－π4.故选C.5.[易错题]函数y＝2sin（－x＋π3）（x∈[－π，0]）的单调递增区间是（　A　）A.[－π，－π6] B.[－5π6，－π6] C.[－π3，0] D.[－π6，0]解析　令π2＋2kπ≤－x＋π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，则－7π6－2kπ≤x≤－π6－2kπ，k∈Z.又x∈[－π，0]，所以所求单调递增区间为[－π，－π6].6.函数f（x）＝tan（3x＋π6）的图象的对称中心为　（kπ6－π18，0）（k∈Z）　.解析　 令3x＋π6＝kπ2，k∈Z，解得x＝kπ6－π18，k∈Z，所以f（x）的图象的对称中心为（kπ6－π18，0），k∈Z.学生用书P082　命题点1　三角函数的定义域例1 函数y＝lg（sin x）＋cosx－12的定义域为　{x｜2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}　.解析　要使函数有意义，则sinx>0，cosx－12≥0，解得2kπ＜x＜π+2kπ（k∈Z),－π3+2kπ≤x≤π3+2kπ（k∈Z),所以2kπ＜x≤π3＋2kπ（k∈Z），所以函数的定义域为{x｜2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z}.方法技巧求三角函数的定义域实质上是解不等式或不等式组，常借助于三角函数的图象解决.训练1 函数f（x）＝tanx·tan2xtan2x－tanx的定义域为　{x｜x≠kπ4，k∈Z}　.解析　tan 2x，tan x有意义，则x≠π2＋kπ，2x≠π2＋kπ，k∈Z，又tan 2x－tan x≠0，即2tanx1－tan2x－tan x≠0，则tan x≠0，即x≠kπ，k∈Z，综上可得，x≠kπ4，k∈Z，则函数f（x）的定义域为{x｜x≠kπ4，k∈Z}.命题点2　三角函数的值域（最值）例2 （1）[2021全国卷乙]函数f（x）＝sin x3＋cos x3的最小正周期和最大值分别是（　C　）A.3π和2 B.3π和2 C.6π和2 D.6π和2解析　因为函数f（x）＝sinx3＋cosx3＝2（sinx3cosπ4＋cosx3sinπ4）＝2sin（x3＋π4），所以函数f（x）的最小正周期T＝2π13＝6π，最大值为2.故选C.（2）已知函数f（x）＝cos（2x＋π3）＋2的定义域为[α，π]，值域为[52，3]，则α的取值范围是（　C　）A.[2π3，π] B.[0，2π3] C.[2π3，5π6] D.[π2，5π6]解析　由题意知，2x＋π3∈[2α＋π3，7π3]，且y＝cos（2x＋π3）在[α，π]上的值域为[12，1]，∴2α＋π3≥5π3，且2α＋π3≤2π，解得2π3≤α≤5π6，∴α的取值范围是[2π3，5π6]，故选C.方法技巧三角函数值域的不同求法1.把所给的三角函数式变换成y＝Asin（ωx＋φ）＋b的形式求值域.2.把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域.3.利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域.训练2 （1）[2023四川省模拟]已知函数 f（x）＝cos2x＋sin x－14的定义域为[0，m]，值域为[34，1]，则实数m的最大值为（　A　）A.π B.7π6 C.4π3 D.3π2解析　由已知，得f（x）＝cos2x＋sin x－14＝1－sin2x＋sin x－14＝－sin2x＋sin x＋34，令t＝sin x，函数f（x）可转换为y＝－t2＋t＋34＝－（t－12）2＋1，因为y∈[34，1]，所以根据二次函数的图象与性质可得t∈[0，1]，即sin x∈[0，1]，又x∈[0，m]，所以根据三角函数的图象与性质可得m∈[π2，π]，所以实数m的最大值为π，故选A.（2）函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x的值域为　[－2－12，1]　.解析　令sin x－cos x＝t，则t＝2sin（x－π4），t∈[－2，2]，t2＝sin2 x＋cos2 x－2sin xcos x，故sin xcos x＝1－t22，所以y＝t＋1－t22＝－12（t－1）2＋1，所以当t＝1时，函数有最大值1；当t＝－2时，函数有最小值－2－12，即值域为[－2－12，1].命题点3　三角函数的性质及应用角度1　三角函数的周期性例3 （1）[2023天津高考]已知函数f（x）图象的一条对称轴为直线x＝2，f（x）的一个周期为4，则f（x）的解析式可能为（　B　）A.f（x）＝sin（π2x） B.f（x）＝cos（π2x）C.f（x）＝sin（π4x） D.f（x）＝cos（π4x）解析　对于A，f（x）＝sin（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝sin π＝0，所以函数f（x）＝sin（π2x）的图象不关于直线x＝2对称，故排除A；对于B，f（x）＝cos（π2x），其最小正周期为2ππ2＝4，因为f（2）＝cos π＝－1，所以函数f（x）＝cos（π2x）的图象关于直线x＝2对称，故选项B符合题意；对于C，D，函数y＝sin（π4x）和y＝cos（π4x）的最小正周期均为2ππ4＝8，均不符合题意，故排除C，D.综上，选B.（2）[全国卷Ⅲ]函数f（x）＝tanx1+tan2x的最小正周期为（　C　）A.π4 B.π2 C.π D.2π解析　f（x）＝tanx1+tan2x＝sinxcosx1+sin2xcos2x＝sinxcosxcos2x＋sin2x＝sin xcos x＝12sin 2x，所以f（x）的最小正周期T＝2π2＝π.故选C.方法技巧1.求三角函数周期的基本方法（1）定义法.（2）公式法：函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ））的最小正周期T＝2π｜ω｜，函数y＝Atan（ωx＋φ）的最小正周期T＝π｜ω｜.（3）图象法：求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期.2.有关周期的2个结论（1）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）｜，y＝｜Acos（ωx＋φ）｜，y＝｜Atan（ωx＋φ）｜的最小正周期T均为π｜ω｜.（2）函数y＝｜Asin（ωx＋φ）＋b｜（b≠0），y＝｜Acos（ωx＋φ）＋b｜（b≠0）的最小正周期T均为2π｜ω｜.角度2　三角函数的单调性例4 （1）[2022北京高考]已知函数f（x）＝cos2x－sin2x，则（　C　）A.f（x）在（－π2，－π6）上单调递减B.f（x）在（－π4，π12）上单调递增C.f（x）在（0，π3）上单调递减D.f（x）在（π4，7π12）上单调递增解析　依题意可知f（x）＝cos2x－sin2x＝cos 2x，对于A，因为x∈（－π2，－π6），所以2x∈（－。