图论初步与矩阵方程.ppt

第第1212章章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式l重点重点1.1. 关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩关联矩阵、割集矩阵、基本回路矩2.2. 阵和基本割集矩阵的概念阵和基本割集矩阵的概念2.2. 回路电流方程、结点电压方程和割回路电流方程、结点电压方程和割3.3. 集电压方程的矩阵形式集电压方程的矩阵形式12.1 12.1 图的矩阵表示图的矩阵表示 电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的电路的图表征了网络的结构和拓扑，依据电路的图，可以写出网络的图，可以写出网络的KCL和和KVL方程图的矩阵表示图的矩阵表示用矩阵描述图的拓扑性质，用矩阵描述图的拓扑性质，即即KCL和和KVL的矩阵形式的矩阵形式结点结点支路支路关联矩阵关联矩阵回路回路支路支路回路矩阵回路矩阵割集割集支路支路割集矩阵割集矩阵1. 1. 关联矩阵关联矩阵 一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关一条支路连接两个结点，称该支路与这两个结点相关联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵联，结点和支路的关联性质可以用关联矩阵Aa描述N个结点个结点b b条支路的图用条支路的图用n b的矩阵描述的矩阵描述ajka ajkjk=1=1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向背离关联，方向背离结结点。

点a ajkjk= -1= -1 支路支路k与与结结点点j 关联，方向指向关联，方向指向结结点点a ajk jk =0=0 支路支路k与结点与结点j无关无关Aa=n b支路支路b结点结点n每一行对应一个结点，每一行对应一个结点，每一列对应一条支路，每一列对应一条支路，矩阵矩阵Aa的每一个元素定的每一个元素定义为：义为：例例Aa=12341 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 10 1 -1 0 0 -1①① 每一列只有两个非零元素，一个是每一列只有两个非零元素，一个是+1+1，一个是，一个是-1-1，， Aa的每一列元素之和为零的每一列元素之和为零②② 矩阵中任一行可以从其他矩阵中任一行可以从其他n-1行中导出，即只行中导出，即只有有n-1行是独立的行是独立的1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③关联矩阵关联矩阵Aa的特点：的特点：引入降阶关联矩阵引入降阶关联矩阵AA=(n-1) b支路支路b结点（结点（n-1））设设④④为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵A=1231 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 11 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③设设③③为参考节点为参考节点,得降阶关联矩阵得降阶关联矩阵Aa=1241 2 3 4 5 6 支支结结-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 00 1 -1 0 0 -1注注 给定给定A可以确定可以确定Aa，从而画出有向图。

从而画出有向图引入关联矩阵引入关联矩阵A的作用：的作用：设设: :①①用关联矩阵用关联矩阵A表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③-1 -1 0 1 0 00 0 1 -1 -1 01 0 0 0 1 1[A][ i ]=矩阵形式的矩阵形式的KCL: [ A ][ i ]= 0以以④④为参考节点为参考节点n-1个独立方程个独立方程1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③设设: :②②用矩阵用矩阵[A]T表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程2. 2. 回路矩阵回路矩阵B1 1 支路支路j 在回路在回路i中方向一致中方向一致-1-1 支路支路j 在回路在回路i中方向相反中方向相反0 0 支路支路j 不在回路不在回路i中中bij= 一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关一个回路由某些支路组成，称这些支路与该回路相关联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵联，独立回路与支路的关联性质可以用回路矩阵B描述。

描述[B]=l b支路支路b独立回路独立回路l每一行对应一个独立回路，每一行对应一个独立回路，每一列对应一条支路，矩阵每一列对应一条支路，矩阵B的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：2 2支路排列顺序为先树支后连支，支路排列顺序为先树支后连支， 回路顺序与连支顺序一致回路顺序与连支顺序一致若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵若独立回路选单连枝回路得基本回路矩阵[B[Bf f] ]，规定：，规定： 1 1连支电流方向为回路电流方向连支电流方向为回路电流方向例例取网孔为独立回路，顺时针方向取网孔为独立回路，顺时针方向1231 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③123B =1 2 3 4 5 6 支支回回0 1 1 1 0 00 0 -1 0 -1 11 -1 0 0 0 -1注注 给定给定B可以画出有向图可以画出有向图选选 4、、5、、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、、2、、3123B =4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= [ Bt 1 ] 0 1 -1 0 0 1BtBl1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③例例设设 矩阵形式的矩阵形式的KVL：： [ B ][ u ]= 01 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③引入回路矩阵引入回路矩阵[B]的作用：的作用：①①用用回路矩阵回路矩阵[B]表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程[ B ][ u ]=1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1BtBl[ Bf ][ u ]= 0 可写可写成成 Btut+ul=0ul= - Btut设设连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示②②用用回路矩阵回路矩阵[B]T表示矩阵形式的表示矩阵形式的KCL方程方程矩阵形式的矩阵形式的KCL：： [ B ]T[ il ]=[ ib ][Bf]=[ Bt 1 ]树支电流用连支电流表出树支电流用连支电流表出1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③独立回路电流独立回路电流3. 3. 基本割集矩阵基本割集矩阵Q每一行对应一个基本割集每一行对应一个基本割集每一列对应一条支路，每一列对应一条支路，矩矩阵阵Q的每一个元素定义为：的每一个元素定义为：qij=1 1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向一致中且与割集方向一致-1-1 支路支路j在割集在割集i中且与割集方向相反中且与割集方向相反 0 0 支路支路j不在割集中不在割集中 割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，割集与支路的关联性质可以用割集矩阵描述，这里主要指基本割集矩阵。

这里主要指基本割集矩阵[Q]=(n-1) b支路支路b割集数割集数规定：规定：(1)(1)割集方向为树支方向割集方向为树支方向 (2)(2)支路排列顺序先树支后连支支路排列顺序先树支后连支(3)(3)割集顺序与树支次序一致割集顺序与树支次序一致若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵若选单树枝割集为独立割集，得基本割集矩阵[ [Qf]1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③例例选选 4、、5、、6支路支路为树为树Q1:{1,2,4} Q2:{1,2,3,5} Q3:{2,3,6}Q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集Q1Q2Q31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1QlQt设设矩阵形式的矩阵形式的KCL：：引入基本割集矩阵引入基本割集矩阵[Qf]的作用：的作用：①①用基本用基本割集矩阵割集矩阵[Qf]表示矩阵形表示矩阵形式的式的KCL方程方程1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③1 0 0 -1 -1 00 1 0 1 1 -10 0 1 0 -1 1[ Qf ][ib ]=矩阵形式的矩阵形式的KCL：：[ Qf ][ib ]=0设树枝电压（或基本割集电压）：设树枝电压（或基本割集电压）：ut=[ u4 u5 u6 ]T②②用用[Qf]T表示矩阵形式的表示矩阵形式的KVL方程方程1 1２２３３６６５５４４①①②②④④③③矩阵形式的矩阵形式的KVL：：[ Qf ]T[ut ]=[ub]连支电压用树支电压表示连支电压用树支电压表示i=0QTut=u小结：小结：ul= - BtutABKCLAi=0BTil=iKVLATun=uBu=0对同一有向图，支路排列次序相同时，满足：对同一有向图，支路排列次序相同时，满足： 在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出在任一网络的有向图中，选一个参考结点可以写出关联矩阵关联矩阵A，选择一树可以写出基本回路矩阵，选择一树可以写出基本回路矩阵[Bf]和基本和基本割集矩阵割集矩阵[Qf]，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网，因此三个矩阵是从不同角度表示同一网络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系。

络的连接性质，它们之间自然存在着一定的关系12.2 12.2 矩阵矩阵A、、Bf 、、Qf 之间的关系之间的关系1. 1. A与与B之间的关系之间的关系对同一有向图，任选一树，满足：对同一有向图，任选一树，满足： 2. 2. B与与Q之间的关系之间的关系对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵：对同一有向图，任选一树，按先树枝后连枝顺序写出矩阵： 3. 3. A与与Q之间的关系之间的关系例例已知：已知：[Bf ]=1 2 3 4 5 支支回回1 0 1 0 0 -1 1 0 1 0-1 0 0 0 1求基本割集矩阵，并画出网络图求基本割集矩阵，并画出网络图解解1 1２２３３５５４４①①②②③③12.3 12.3 支路电压电流关系的矩阵形式支路电压电流关系的矩阵形式 反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩反映元件性质的支路电压和支路电流关系的矩阵形式是网络矩阵分析法的基础阵形式是网络矩阵分析法的基础 1.1.复合支路复合支路设标准支路为：设标准支路为：Z Zk k（（Y Yk k））+ ++ +- -- -复复合合支支路路特点：特点：1 12 23 3注注 复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的复合支路只是定义了一条支路最多可以包含的不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件。

不同元件数及连接方法，但允许缺少某些元件Z Zk k（（Y Yk k））Z Zk k（（Y Yk k））+ +- -+ +- -Z Zk k（（Y Yk k））Z Zk k（（Y Yk k））=0=0+ +- -2.2.阻抗矩阵形式阻抗矩阵形式 应用应用KCL和和KVL可以可以写出用阻抗表示的写出用阻抗表示的k k支路电支路电压、电流关系方程：压、电流关系方程：Z Zk k（（Y Yk k））+ ++ +- -- -如有如有b条支路，则有：条支路，则有：设设[Y]=diag[Y1Y2……Yb]支路电流列向量支路电流列向量支路电压列向量支路电压列向量电压源的电压列向量电压源的电压列向量电流元的电流列向量电流元的电流列向量整个网络的支路电压、电流关系矩阵：整个网络的支路电压、电流关系矩阵：b b阶对角阵阶对角阵[Z]=diag[Z1Z2……Zb]T写出图示电路支路电压、写出图示电路支路电压、电流关系矩阵：电流关系矩阵：例例 +R1R51/j Cj L2R6234 -j L311 1①①2 23 34 45 56 6②②③③④④解解**M+ +- -- -+ +3.3.有互感时的阻抗矩阵形式有互感时的阻抗矩阵形式一般情况一般情况jωLm- -MmnjωLn- -++电电压压电流电流4.4.有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式有电流控制的电压源时的阻抗矩阵形式例例 +R1R51/j Cj L2R6234 -j L31M5. 5. 支路导纳矩阵形式支路导纳矩阵形式Z Zk k（（Y Yk k））+ ++ +- -- -不含互感和受控源的网络不含互感和受控源的网络b b阶对角阵阶对角阵含互感的网络含互感的网络含有受控源的网络含有受控源的网络 . .. .U USkSkI Idkdk . .I Ik k . .I IekekZ Zk k考虑考虑b个支路时：个支路时：12.4 12.4 网络矩阵的分析方法网络矩阵的分析方法 有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵有了反映元件性质的支路电压和支路电流矩阵方程和方程和KCL、、KVL的矩阵表示，就可以对任意复杂的矩阵表示，就可以对任意复杂的网络进行网络矩阵分析。

的网络进行网络矩阵分析1.1.结点电压方程的矩阵分析结点电压方程的矩阵分析最常用的方法最常用的方法由由KCL有有由由KVL有有[Yn]结点导纳阵结点导纳阵独立电源引起的流入结独立电源引起的流入结点的电流列向量点的电流列向量结点分析法的一般步骤结点分析法的一般步骤1 1①①2 23 34 45 56 6②②③③④④第一步：抽象为有向图第一步：抽象为有向图5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -第二步：形成第二步：形成[A]123A=1 2 3 4 5 6 支支节节 1 1 0 0 0 1 0 -1 1 1 0 0 0 0 -1 0 1 -1第三步：形成第三步：形成[Y]1 1①①2 23 34 45 56 6②②③③④④5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -第五步：用矩阵乘法求得节点方程第五步：用矩阵乘法求得节点方程第四步：形成第四步：形成[US]、、[IS]US=[ -5 0 0 0 0 0 ]T[IS]=[0 0 0 -1 3 0 ]T1 1①①2 23 34 45 56 6②②③③④④5V5V0.5W0.5W2W2W1W1W0.5W0.5W5W5W1W1W3A3A1A1A+ +- -52431２２3１１0例：例：iS5guauaG5C3G4+ -**ML2L1例例iS5guauaG5C3G4+ -**ML2L152431２２3１１0代入代入2.2.回路矩阵分析法回路矩阵分析法Z Zk k（（Y Yk k））+ ++ +- -- -用阻抗表示的支路方程：用阻抗表示的支路方程：回路电流回路电流[il ] (b-n+1) 1阶阶回路电压源向量回路电压源向量回路阻抗阵，主对角线元素为回路阻抗阵，主对角线元素为自阻抗，其余元素为互阻抗。

自阻抗，其余元素为互阻抗回路矩阵方程回路矩阵方程①①从已知网络，写出从已知网络，写出回路分析法的步骤：回路分析法的步骤：②②求出求出列出回路方程列出回路方程③③求出求出由由KCL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出3.3.割集矩阵分析法割集矩阵分析法以树支电压为未知量以树支电压为未知量用导纳表示的支路方程用导纳表示的支路方程割集导纳矩阵，主对角线元素为相割集导纳矩阵，主对角线元素为相应割集各支路的导纳之和，总为正；应割集各支路的导纳之和，总为正；其余元素为相应两割集之间共有支其余元素为相应两割集之间共有支路导纳之和路导纳之和割集电流源向量割集电流源向量割集矩阵方程割集矩阵方程①①选定一个树，写出选定一个树，写出割集分析法的步骤：割集分析法的步骤：②②求出求出列出割集方程列出割集方程③③求出求出由由KVL解出解出根据支路方程解出根据支路方程解出改进节点法改进节点法 + -+-G1G2C4L5C3L612341231724863541:2:3:4：：矩阵形式为：矩阵形式为： + -+-G1G2C4L5C3L61234123172486354一般形式：一般形式：Yn :为为 电压源支路断开后的电路电压源支路断开后的电路结结点导纳阵点导纳阵H12：：表明每个表明每个结结点和哪几个纯电压源支路相关联点和哪几个纯电压源支路相关联H21：：表明这些支路电压和哪些结点电压相关联表明这些支路电压和哪些结点电压相关联一般形式：一般形式：：为电压源支路设定的电流列矢量：为电压源支路设定的电流列矢量为注入结点的电流源列矢量为注入结点的电流源列矢量为电压源支路的电压列矢量为电压源支路的电压列矢量。