斐波那契数列[1].ppt

斐波那契数列斐波那契数列1我们先来做一个游戏！我们先来做一个游戏！2十秒十秒钟钟加加数数¡请请用十秒，用十秒，计算计算出左出左边边一一列数列数的的和和1235813213455+89??时间到时间到！！¡答案是答案是 2312313十秒十秒钟钟加加数数¡再再来来一次！一次！3455891442333776109871597+2584????时间到时间到！！¡答案是答案是 671067104这与这与“斐波那契斐波那契数数列列”有关有关¡若一若一个数个数列，列，前两项前两项等等于于1 1，而，而从从第三第三项项起，每一起，每一项项是是其其前前两项两项之和，之和，则称该数则称该数列为列为斐波那契斐波那契数数列列即：1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , … … 5 一、兔子问题和斐波那契数列一、兔子问题和斐波那契数列 1．． 兔子问题兔子问题 1）） 问题问题 ——取自意大利数学家取自意大利数学家斐波那契的斐波那契的《《算盘书算盘书》》（（1202年）年） (L.Fibonacci,1170-1250(L.Fibonacci,1170-1250）） 2．． 斐波那契生平斐波那契生平 斐波那契斐波那契 （（Fibonacci.L,1175Fibonacci.L,1175——12501250）） 出生于意大利的比萨。

他小时候就对算出生于意大利的比萨他小时候就对算术很有兴趣后来，他父亲带他旅行到埃及、叙术很有兴趣后来，他父亲带他旅行到埃及、叙利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他利亚、希腊（拜占庭）、西西里和普罗旺斯，他又接触到东方国家的数学斐波那契确信印度又接触到东方国家的数学斐波那契确信印度——阿拉伯计算方法在实用上的优越性阿拉伯计算方法在实用上的优越性12021202年，在年，在回到家里不久，他发表了著名的回到家里不久，他发表了著名的《《算盘书算盘书》》7 斐波那契的才能受到弗里德里希二世斐波那契的才能受到弗里德里希二世的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞的重视，因而被邀请到宫廷参加数学竞赛他还曾向官吏和市民讲授计算方法他还曾向官吏和市民讲授计算方法 他的最重要的成果在不定分析和数论他的最重要的成果在不定分析和数论方面，除了方面，除了《《算盘书算盘书》》外，保存下来的还外，保存下来的还有有《《实用几何实用几何》》等四部著作等四部著作8 六、六、 斐波那契协会和斐波那契协会和《《斐波那契季刊斐波那契季刊》》 1．． 斐波那契协会和斐波那契协会和《《斐波那契季刊斐波那契季刊》》 斐斐 波波 那那 契契 1 12 20 02 2年年 在在 《《算算 盘盘 书书 》》中中 从从 兔兔 子子问问 题题 得得 到到 斐斐 波波 那那 契契 数数 列列 1 1，，1 1，，2 2，，3 3，，5 5，，8 8，，1 13 3，，……之之后后，，并并没没有有进进一一步步探探讨讨此此序序列列，，并并且且在在1 19 9世世纪纪初初以以前前，，也也没没有有人人认认真真研研究究过过它它。

没没想想到到过过了了几几百百年年之之后后，，十十九九世世纪纪末末和和二二十十世世纪纪，，这这一一问问题题派派生生出出广广泛泛的的应应用用，，从从而而突突然然活活跃起来，成为热门的研究课题跃起来，成为热门的研究课题9 有人比喻说，有人比喻说，““有关斐波那契数有关斐波那契数列的论文，甚至比斐波那契的兔子列的论文，甚至比斐波那契的兔子增长得还快增长得还快””，以致，以致19631963年成立了年成立了斐波那契协会斐波那契协会，还出版了，还出版了《《斐波那斐波那契季刊契季刊》》 10兔子问题兔子问题 假设假设一一对对初生兔子要初生兔子要一个月一个月才到才到成熟期，而一成熟期，而一对对成熟兔子每月成熟兔子每月会会生一生一对对兔兔子，那子，那么么，由一，由一对对初生兔子初生兔子开开始，始，12 12 个个月月后会后会有多少有多少对对兔子呢？兔子呢？11解答解答1 1 月月 1 1 对对12解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对13解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对14解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对15解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对16解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对17解答解答1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对18解答解答¡可以可以将结将结果以列果以列表表形式形式给给出：出：1 1月月2 2月月3 3月月5 5月月4 4月月6 6月月7 7月月8 8月月9 9月月1111月月1010月月1212月月1 11 12 23 35 58 813132121343455558989144144¡因此，斐波那契因此，斐波那契问题问题的答案是的答案是 144144对对。

¡以以上数列上数列，， 即即““斐波那契斐波那契数数列列””19 兔子问题的另外一种提法：兔子问题的另外一种提法： 第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二第一个月是一对大兔子，类似繁殖；到第十二个月时，共有多少对兔子？个月时，共有多少对兔子？ 月月 份份 ⅠⅠ ⅡⅡ ⅢⅢ ⅣⅣ ⅤⅤ ⅥⅥ ⅦⅦ ⅧⅧ ⅨⅨ ⅩⅩ ⅪⅪ ⅫⅫ 大兔对数大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 小兔对数小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 到十二月时有大兔子到十二月时有大兔子144对，小兔子对，小兔子89对，对，共有兔子共有兔子144+89=233对规律规律20 2．． 斐波那契数列斐波那契数列 1）） 公式公式 用用 表示第表示第 个月大兔子的对数，则有个月大兔子的对数，则有二阶递推公式二阶递推公式 21 2）） 斐波那契数列斐波那契数列 令令n = 1, 2, 3,… 依依次次写写出出数数列列，，就就是是 1，，1，，2，，3，，5，，8，，13，，21，，34，， 55，，89，，144，，233，，377，，… 这这就就是是斐斐波波那那契契数数列列 。

其其中中的的任任一一个个 数，都叫数，都叫斐波那契数斐波那契数 22 二、二、 相关的问题相关的问题 斐斐波波那那契契数数列列是是从从兔兔子子问问题题中中抽抽象象出出来来的的，，如如果果它它在在其其它它方方面面没没有有应应用用，，它它就就不不会会有有强强大大的的生生命命力力发发人人深深省省的的是是，，斐斐波那契数列确实在许多问题中出现波那契数列确实在许多问题中出现23 1．． 跳格游戏跳格游戏 24 如图，一个人站在如图，一个人站在““梯子格梯子格””的起的起点处向上跳，从格外只能进入第点处向上跳，从格外只能进入第1 1格，从格格，从格中，每次可向上跳一格或两格，问：中，每次可向上跳一格或两格，问：可以可以用多少种方法，跳到第用多少种方法，跳到第n n格？格？ 解：设跳到第解：设跳到第n n格的方法有格的方法有 种 由于他跳入第由于他跳入第1 1格，只有一种方法；跳格，只有一种方法；跳入第入第2 2格，必须先跳入第格，必须先跳入第1 1格，所以也只有格，所以也只有一种方法，从而一种方法，从而 25 而能一次跳入第而能一次跳入第n格的，只有第格的，只有第 和第和第 两格，因此，跳入第两格，因此，跳入第 格的方法格的方法 数，是跳入第数，是跳入第 格的方法数格的方法数 ，加上跳入，加上跳入 第第 格的方法数格的方法数 之和。

之和 即即 综合得递推公式综合得递推公式 容易算出，跳格数列容易算出，跳格数列 就是斐波那契数列就是斐波那契数列 1，，1，，2，，3，，5，，8，，13，，21，，34，，…26３．蜜蜂进蜂房问题．蜜蜂进蜂房问题： 一次蜜蜂从蜂房A出发，想爬到、、……、n号蜂房，只允许它自左向右（不许反方向倒走）则它爬到各号蜂房的路线多少？空空空 空空空 1357246nn-2n-1…………………27 3．． 自然界中的斐波那契数自然界中的斐波那契数 斐斐波波那那契契数数列列中中的的任任一一个个数数，，都都叫叫斐斐波波那那契契数数斐斐波波那那契契数数是是大大自自然然的的一一个个基基本模式，它出现在许多场合本模式，它出现在许多场合 下面举几个例子下面举几个例子28 1 1）） 花瓣数中的斐波那契数花瓣数中的斐波那契数 大多数植物的花，其花瓣数都恰是大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。

斐波那契数例如，兰花、茉利花、百合花例如，兰花、茉利花、百合花有有3 3个花瓣，毛茛属的植物有个花瓣，毛茛属的植物有5 5个花瓣，翠雀个花瓣，翠雀属植物有属植物有8 8个花瓣，万寿菊属植物有个花瓣，万寿菊属植物有1313个花个花瓣，紫菀属植物有瓣，紫菀属植物有2121个花瓣，雏菊属植物有个花瓣，雏菊属植物有3434、、5555或或8989个花瓣29花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目海棠（海棠（2 2））铁兰铁兰（（3 3））30洋紫荊（洋紫荊（5 5））蝴蝶蝴蝶兰兰（（5 5））黃黃蝉蝉（（5 5））花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目31花瓣中的斐波那契数花瓣中的斐波那契数花瓣的花瓣的数数目目雏雏菊（菊（1313））雏雏菊（菊（1313））322 2）树杈）树杈的的数数目目13853211333 3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数34 35 向日葵花盘内，种子是按对数螺线排向日葵花盘内，种子是按对数螺线排 列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线。

两组螺线的条数往往成相继的两个螺线两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是斐波那契数，一般是34和和55，大向日葵是，大向日葵是89和和144，还曾发现过一个更大的向日葵，还曾发现过一个更大的向日葵有有144和和233条螺线，它们都是相继的两个条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数斐波那契数36 松果松果种种子的子的排列排列37 松果松果种种子的子的排列排列38 松果松果种种子的子的排列排列39菜花表面排列的螺线数（菜花表面排列的螺线数（5-85-8））40 这一模式几个世纪前已被注意到，此后这一模式几个世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出这种解释是：这是植物生长的动年才给出这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是黄金角是黄金角——137.50776度；这使种子的堆集度；这使种子的堆集效率达到最高。

效率达到最高41 5．． 推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列 — 卢卡斯数卢卡斯数列列 1）） 卢卡斯数列卢卡斯数列 卢卡斯（卢卡斯（Lucas，，F.E.A. 1824-1891）） 构造了一类更值得研究的数列，现被构造了一类更值得研究的数列，现被称为称为“推广的斐波那契数列推广的斐波那契数列”，，42 即从任何两个正整数开始，往后的每即从任何两个正整数开始，往后的每一个数是其前两个数之和，由此构成无穷一个数是其前两个数之和，由此构成无穷数列此即，二阶递推公式数列此即，二阶递推公式 中，递推式与前面一样，而起始整数中，递推式与前面一样，而起始整数 可任取43 斐波那契数列斐波那契数列1，，1，，2，，3，，5，，8，，… 是这类数列中最简单的一个，起始整数是这类数列中最简单的一个，起始整数 分别取为分别取为1、、1 次简单的为次简单的为1，，3，，4，，7，，11，，18，，… 现称之为现称之为卢卡斯数列卢卡斯数列 卢卡斯数列的通项公式是卢卡斯数列的通项公式是 44 推推广广的的斐斐波波那那契契数数列列与与斐斐波波那那契契数数列列一一样样，，与与黄黄金金分分割割有有密密切切的的联联系系：：该该数数列列相相邻邻两两数数之之比比，，交交替替地地大大于于或或小小于于黄黄金金比比；；并并且且，，两两数数之之比比的的差差随随项项数数的的增增加加而而越越来来越越小小，，趋趋近近于于0，，从从而而这这个个比比存存在在极极限；而且限；而且这个比的极限也是黄金比这个比的极限也是黄金比 。

45类似于前面提到的数列类似于前面提到的数列 其极限也是其极限也是462）） 用斐波那契数列及其推广变魔术用斐波那契数列及其推广变魔术①① 让观众从你写出的斐波让观众从你写出的斐波那契数列中任意选定连那契数列中任意选定连续的十个数，你能很快续的十个数，你能很快说出这些数的和说出这些数的和 其实有公式：这个和，就是其实有公式：这个和，就是所选出的十个数中第七个数的所选出的十个数中第七个数的11倍 1 1 2 3 5 81321345589144233377610987…47“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密¡数学数学家家发现发现：：连续连续 1010个个斐波那斐波那契契数数之和，必定之和，必定等于第等于第 7 7个数个数的的 11 11 倍！倍！1235813213455+89??¡所以右式的答案是：21  11 = 23148“十秒十秒钟钟加加数数”的秘密的秘密¡又例如：¡右式的答案是：3455891442333776109871597+2584????610  11 = 671049 ②② 让观众从你写出推广的斐波那契让观众从你写出推广的斐波那契数列中任何地方划一条线，你能迅速数列中任何地方划一条线，你能迅速说出说出“这条线之前所有各数这条线之前所有各数”的和。

的和 其实有公式：前其实有公式：前 项和项和 = 表示卢卡斯数列的第表示卢卡斯数列的第 项 (请大家课下自己制作请大家课下自己制作)50 2）） 斐波那契数列的后项除以前项做斐波那契数列的后项除以前项做成的分数数列成的分数数列 的极限为黄金的极限为黄金比的倒数比的倒数 称为第二黄金比称为第二黄金比 即有即有 51。