大学微积分经济管理类06277.ppt

· 1 · 微 积 分章学诚 刘西垣 编著普通高等教育普通高等教育““十一五十一五””家级规划教材家级规划教材(经济管理类)第二章· · 2 2 · ·第二章 极限和连续数列极限数列极限函数极限函数极限极限的运算法则极限的运算法则无穷小无穷小(量量)和无穷大和无穷大(量量)极限存在的准则和两个重要极限极限存在的准则和两个重要极限函数的连续性和连续函数函数的连续性和连续函数函数的间断点函数的间断点· · 3 3 · · 在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一人所树立的在大多数科学里，一代人要推倒另一代人所修筑的东西，一人所树立的另一人要加以推毁．只有数学，每一代人都能在旧建筑上添一层楼．另一人要加以推毁．只有数学，每一代人都能在旧建筑上添一层楼． ——汉克尔汉克尔 （H. Hankel, 1839—1873）第二章 极限和连续2.12.22.32.42.52.62.7· · 4 4 · · 在16，17世纪，随着生产实践和科学技术的发展，迫切需要解决以下几个问题：寻求曲线的切线，确定物体运动的速度，计算平面曲边图形的面积和空间中表面弯曲的立体的体积等．在这些问题面前，初等数学的概念和方法已无能为力，急切要求数学突破研究常量的传统，提供能用以描述和处理运动及变化过程的新理论和新方法——变量数学，而微积分作为变量数学的主体，随之而生． 极限的理论和方法是阐述微积分的概念和方法的工具， 是整个微积分学的理论基础．· · 5 5 · · 本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质．此外还给出了两个极其有用的重要极限．随后，运用极限引入了函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要是连续函数．· · 6 6 · ·2.1 数 列 极 限数列的概念数列的概念数列极限的定义数列极限的定义 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质2.1.12.1.22.1.3· · 7 7 · ·2.1.1 2.1.1 数列的概念数列的概念 在讲述一般的极限概念之前，首先介绍刘徽的“割圆术”. 设有一半径为1 的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积. 为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1 ,再作内接正十二边形，其面积记为 A2，内接二十四边形的面积记为 A3，如此逐次将边数加倍. 他说: “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.” 用现在的话说，即当 n 无限增大时, An 无限接近于圆面积，他计算到 3 072 = 6×29 边形，利用不等式（如图 2-1 ） An +1 < A < An + 2( An +1 – An ) ( n = 1, 2, …) ,得到π≈ = 3.141 6, 比印度数学家得到这个结果早200 多年. 图 2-1· · 8 8 · ·小 知 识刘徽 ，我国魏晋时期（公元 世纪）的杰出数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，幼年曾学过《九章算术》（中国数学专著，分为九章，共收集 246 个数学问题）。

公元263年注《九章算术》全面论述了《九章算术》中所载的方法和公式，纠正了其中的错误，在数学方法和理论上作出了杰出贡献 · · 9 9 · · 上面得到的一串数 A1 , A2 , …, An , … 就是一个数列. 一般地说，按下标从小到大依次排列的无限数组a1 , a2 , …, an , … 称为一个数列，记为{an} 1∞ （也可简记为{an}，但这不表示无序的数集），其中每个数称为一个项. an 称为通项，或一般项. 数列也可以看成定义在自然数集 N 上的一个函数 an = f (n) ( n ∈ N),它以自然数由小到大的顺序排列. 数列{an} 可以用数轴上的无穷点列表示（图 2-2 ）.图 2-2· · 1010 · · 例例 1 以下都是数列： 一般项 一般项 一般项 4) 1, -1, 1, -1, …, (-1) n + 1 , … , 一般项 an =(-1) n + 1; 一般项· · 1111 · ·2.1.2 2.1.2 数列极限的定义数列极限的定义 对于数列，我们最关注的是：它在无限变化过程中的发展趋势，即当 n 无限增大时, an 是否无限趋于一个常数，若是，这个常数是什么，怎样计算？ 例如：对于本节开头的数列 A1, A2, …，从几何上可以知道，随着 n 无限增大，An 的值也逐渐增大，并且无限接近于圆面积 A. · · 1212 · · 定义 1 设{an} 是一数列. 如果存在常数 a ，当 n 无限增大时, an 无限接近（或趋近）于 a ，则称数列{an}收敛，a 称为{an}的极限，或称数列{an} 收敛于 a , 记为或an → a , 当 n → ∞. 如不存在这样的常数 a, 则称数列{an}发散或不收敛，也可以说极限 an 不存在.· · 1313 · ·小 知 识柯西（A. L. Canchy, 1789—1857), 法国数学家，高级官员家庭出身，自幼受过良好教育，1816 年取得教授职位，同年任法国科学院院士. 他在微积分的严密化方面作出了巨大贡献，故有人称他为近代意义下严格微积分学的奠基者. 他共有7 部著作, 800 余篇论文.· · 1414 · ·小 知 识这个极限定义 (定义 1) 是他为巴黎综合工科学校编写的《代数分析教程》中给出的，其原话是：“若一个变量逐次所取的值无限趋近一个定值，最终使变量的值与该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限.” 在该书的序言中还对无穷小量和无穷大量概念作了说明. 他最先使用极限记号, 并用极限来阐述微积分中的导数和定积分概念. · · 1515 · · 例例 2 判别例 1 中的数列是否发散，在收敛时求其极限. 解 1) 数列当 n 无限增大时, 无限接近于 0 , 故数列收敛，其极限为 0. 2) 数列虽然在 0 点两侧无限次来回变动, 但当 n 无限增大时, 也无限接近于 0 ，故 收敛于 0 . 例 1 以下都是数列：一般项一般项· · 1616 · · 例例 2 判别例 1 中的数列是否发散，在收敛时求其极限. 解 3) 当 n 无限增大时, 无限接近于 1 , 故数列收敛，其极限为 1. 4) 数列无限多次在 1 和 -1 来回取值，故不可能存在一个常数 a, 使当 n 无限增大时 (-1)n+1 与 a 无限接近, 从而{(-1)n+1}发散. 5) 随着 n 无限增大 也无限增大, 故 不收敛, 即发散.例 1 以下都是数列：一般项4) 1, -1, 1, -1, …, (-1) n + 1 , … , 一般项 an =(-1) n + 1;一般项· · 1717 · · 在前面计算面积 A 的例子 (p. 36) 中，数列{An}收敛，其极限为 A = π·12 = π ，可以写成 注意，在定义中，不能将 “无限接近（或趋近）” 改成 “愈来愈接近”，因为对数列 而言，当 n 无限增大时， 与 -2或 -1 也都愈来愈接近，但不能无限接近 -2 或 -1, 故 -2 或 -1 不是 的极限. 又如数列 其一般项为 显然，当 n 无限增大时，an 无限接近于 0，故 0 是它的极限，但 an 的值是来回跳跃的，不是 “愈来愈” 接近于 0.· · 1818 · · 为了方便起见，有时也将当 n →∞ 时 | an | 无限增大的情况说成是 {an} 趋向于 ∞，或称其极限为∞ ，并记为但这不表明{an} 是收敛的. 若当 n 足够大时, an > 0 (或 an < 0), 且当 n →∞ 时, | an | 无限增大，则称 {an} 趋近于 +∞ (或-∞) ，记为 (或 ) . 例如：对例 1 中 5) 的数列 ，可以说成· · 1919 · · 在上面的例子中，说数列{an}的极限是 a ，靠的是观察或几何直觉, 但仅凭观察或直觉很难做到准确. 例如：对于数列不能严格说明它为什么是收敛的, 其极限为什么是0而不是别的数. 为此，需对数列极限的概念作更精确的说明．　　由于两个数 a, b 之间接近的程度可以用它们之间的距离 |a-b| 的大小来衡量．所以说：“当 n 无限增大时 an 无限接近于a ” , 等价于说：“只要 n 足够大，可以保证 | an - a | 小于任何预先给定的小的正数”． 由此得到关于数列极限的如下严格的定义：· · 2020 · · 定义 1′ 给定数列 {an}, 如果存在常数 a，使得对于预先给定的任意小的ε> 0，总有足够大的自然数 N，使得当 n > N 时有 | an - a | <ε,則称数列{an}收敛，其极限为 a，或{an}收敛于 a. 若不存在具有这种性质的常数 a，则称{an} 发散. 由此， 的几何意义是：对于任意给定的ε> 0，当 n > N 时，总有 a -ε< an < a +ε，即数集{an | n > N }包含在 a 的ε邻域 U (a,ε)中 (如图 2-3)．这个定义中的 N 与ε有关． 图 2-3· · 2121 · ·小 知 识微积分或数学分析的教科书中关于极限的这个严格定义 (定义1′) 是由德国数学家魏尔斯特拉斯（K. Weierstrass, 1815—1857）给出的. 他不满意用“无限趋近”来描述极限概念，力求避免直观而把分析奠基在算术概念的基础上，改进了在分析（包括微积分）的严格化方面柯西等人的工作，这些工作是他在1841—1856 年任中学教师（教授写作和体育课）时作出的，但在他于1856 年到柏林大学任教之前不为人所知，1864 年任柏林大学教授. · · 2222 · · 例例 3 用ε-N 方法证明例 2 中 1) 和 3) 的结论. 证 设 按定义 1′，对任意给定的ε> 0，为使只需 ，即 设 N (ε) 是大于 的任意一个整数，则当 n > N 时上式即成立, 从而 例 2 中 1) 的结论：数列　　　 收敛于 0．· · 2323 · · 例例 3 用ε-N 方法证明例 2 中 1) 和 3) 的结论. 证 设 按定义 1′，只需对任意给定的ε> 0，证明存在 N (ε) ，使当 n > N (ε) 时有即 ，或 由此可知只需取大于 的一个整数作为 N (ε) 即可.例 2 中 3) 的结论：数列　　　 收敛于 1．· · 2424 · · 对于给定的数列，要判别它的敛散性（即是否收敛）．以及在收敛时求出其极限．一般说来，并非易事，甚至是一个难题，需要运用很高的技巧．本章下面几节将仅介绍求极限的基本方法．· · 2525 · ·2.1.3 2.1.3 收敛数列的基本性质收敛数列的基本性质 以下介绍收敛数列的一些性质．为了较好地掌握极限的上述定义，这些性质我们都给出证明，证明的过程从几何上不难理解． · · 2626 · · 性质 1（极限的唯一性） 收敛数列的极限是唯一的．即若数列{an} 收敛，且 和 , 则 a = b. 证 用反证法．设 a≠b，不妨设 a < b. 取 ，按定义，当有 N1 (ε) 和 N2 (ε) ，使得 | an- a |<ε (n > N1 (ε)) 和 | an- b |<ε (n > N2 (ε)).取 N (ε) = max{N1 (ε), N2 (ε)}, 则当 n > N (ε) 时同时有 | an- a | <ε和 | an- b | <ε， 即a -ε< an < a +ε 和 b -ε< an < b +ε.但 , 这就导致 和 需同时成立的矛盾， 从而 a = b.· · 2727 · · 性质 2（收敛数列的有界性） 假设数列 {an} 收敛, 则数集{an}必有界，即存在常数 M > 0，使得 | an | < M ( n∈N ). 这个性质中的 M 显然不是唯一的， 重要的是它的存在性. 数列{an}有界的几何意义如图 2-4， a1 , a2 , …, an , … 都介于 - M 与 M 之间． 证 因{an} 收敛, 故有常数 a, 使得对任意的ε> 0, 有 N (ε), 使当 n > N (ε) 时有 | an- a | <ε，取M = max{ |a1|, |a2|, …, |aN(ε)|, | a -ε|, | a +ε| } + 1， 则有 | an | < M ( n∈N ).图 2-4· · 2828 · · 性质 3（收敛数列的保号性） 假设数列{an}收敛, 其极限为 a. 1) 如果存在正整数 N，使得当 n > N 时 an > 0 (或 < 0)，则 a ≥ 0 (或 ≤ 0). 2) 如果 a > 0 (或 < 0)，则存在正整数 N 使得当 n > N 时 an > 0 (或 < 0). 证 1) 用反证法. 若 a < 0, 则可取 对此存在正整数 N (ε) > N，使当 n > N (ε) 时有 a -ε< an < a +ε. 由于故 an < 0 (n > N (ε)). 这与假设 n > N 时 an > 0 相矛盾.· · 2929 · · 性质 3（收敛数列的保号性） 假设数列{an}收敛, 其极限为 a. 1) 如果存在正整数 N，使得当 n > N 时 an > 0 (或 < 0)，则 a ≥ 0 (或 ≤ 0). 2) 如果 a > 0 (或 < 0)，则存在正整数 N 使得当 n > N 时 an > 0 (或 < 0). 证 2) 若 a > 0, 取 则存在 N (ε) 使当 n > N (ε) 时有 a -ε< an < a +ε. 由于故当 n > N (ε) 时 an > 0.· · 3030 · ·2.2 函 数 极 限函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限有极限的函数的基本性质有极限的函数的基本性质2.2.12.2.22.2.3· · 3131 · · 数列{an}作为函数 an= f (n) (n = 1, 2, …), 在它的极限问题中所讨论的无限变化过程，是通过变量下标，即函数 f (n) 的自变量按自然数1, 2, 3, …顺序变化来描述的, 自然数的变化是跳跃式的, 或者按现在通用的说法, 是 “离散型” 的，但在研究函数时，常常要涉及 “连续型” 无限变化过程, 这就是函数极限所要讨论的对象. 关于函数 f (x) 的极限所讨论的无限变化过程，有多种情况， 主要分成： 1) 自变量 x 无限接近于有限值 x0 ( 记为 x → x0 ）时，函数值 f (x) 的总的变化趋势； 2) 自变量 x 的绝对值 | x | 无限增大（记为 x →∞）时，函数值 f (x) 的总的变化趋势．· · 3232 · ·2.2.1 2.2.1 函数在有限点处的极限函数在有限点处的极限 定义 1 给定函数 y = f (x) ( x∈D )，假设点 x0 的某一去心邻域 如果存在常数 A，使得当 x → x0 时, 函数值 f (x) 无限接近于 A，则称 A 为函数 f (x) 当 x → x0 时的极限, 记为或 f (x) → A, 当 x → x0 时. 注意，在上述定义中，并不要求 x0∈D, 即 f (x) 在 x0 点可以没有定义；其次，x →x0 时 x≠x0 .· · 3333 · · 定义 1 也可以解释为： “不论你要求 f (x) 与 A 多么接近，即 | f (x) - A | 多么小，只要 x 与 x0 充分接近，即 | x - x0 | 充分小，就能使 | f (x) - A | 达到那么小.” “ | f (x) - A | 要多么小就可以多么小”, 可以确切地表述为: “对任意给定的正数ε (它小的程度没有任何限制) , | f (x) - A | <ε”. 而 “ | x - x0 | 充分小” 可以确切地表述为 “ δ > 0，| x - x0 | <δ ”. 从而定义 1 可严格地陈述为 定义 1′ 给定函数 y = f (x) (x∈D), 假设点 x0 的某一去心邻域 如果存在常数 A, 使得对任意给定的ε> 0, δ> 0, 当0 < | x-x0 | <δ时有 | f (x) - A | <ε, 则称 f (x) 当 x → x0 时的极限为 A.· · 3434 · · 定义 1′ 给定函数 y = f (x) (x∈D), 假设点 x0 的某一去心邻域 如果存在常数 A, 使得对任意给定的ε> 0, δ> 0, 当 0 < | x-x0 | <δ时有 | f (x) - A | <ε, 则称 f (x) 当 x → x0 时的极限为 A. 用邻域的概念可解释为：对于任意小的ε> 0, 总有δ > 0, 使得当 时, f (x)∈U (A,ε). 其几何意义如图 2-5 所示． 定义1′中的δ一般与预先任意给定的ε有关.图 2-5· · 3535 · · 在定义 1 ′中，如果当 x → x0 时，| f (x) | 随之无限增大，则 不存在，但为了方便起见，也称 f (x) 的极限是 ∞, 并形式地写成 如果当 x → x0 时， | f (x) | 无限增大， 且对于f (x) > 0 (或 < 0)，则记 (或 ) . 显然， 常数的极限即其自身. 即若 f (x) = c, 则在任何极限过程中lim f (x) = lim c = c .· · 3636 · · 例例 1 证明： 证 按定义1′， 为证 只需对任意小的ε> 0，证明总能找到δ(ε) > 0， 使当 | x - 0 | = | x | <δ(ε) 时有 | tan x - 0 | <ε, 即 -ε< tan x <ε. 要使这个不等式成立，只要- arctanε< x < arctanε.所以，若取δ(ε) = arctanε，则当 0 < | x | <δ(ε) 时即有| tan x - 0 | <ε.这就证明了· · 3737 · · 在函数极限的定义中，x 既可从 x0 的左边趋向于 x0，也可以从 x0 的右边趋向于 x0 ，考虑到 f (x) 的定义域 D 或某些问题的具体情况，有时只需或只能考虑 x 从 x0 的一侧趋向于 x0 时 f (x) 的变化趋势．为此，通常将 x < x0 , x → x0 的情况记为 x → x0- (或 x0 - 0)； x > x0 , x → x0 的情况记为 x → x0+ (或 x0 + 0).并给出函数单侧极限的定义如下： 定义 2 设 f (x) 在 x0 的一个左(右)邻域中有定义. 如果存在常数 A, 使得当 x → x0- ( x → x0+ ) 时, 相应的函数值 f (x) 无限接近于 A, 则称 A 为 f (x) 当 x → x0- ( x → x0+ ) 时的左(右)极限, 并记为 f (x0-) ( f (x0+ ))，即和 单侧极限也可以如定义 1′那样用ε-δ方法给予严格的描述.· · 3838 · · 由定义 1 和定义 2 ， 易知有 定理 当 x → x0 时函数 f (x) 以 A 为极限的充分必要条件是 f (x) 在 x0 的左、 右极限都存在并均为 A，即 例例 2 求符号函数 sgn x 当 x → 0 时的极限. 解 由于 x < 0 时 sgn x = -1, 而 x > 0 时 sgn x = 1，故所以 不存在.· · 3939 · · 例例 3 对于正切函数 y = tan x, 由正切曲线的图形 (图 1-32) 易知 例例 4 设 求 解 f (x) 在 x = 1 点没有定义，但当 x→1 时 x≠1, 故图 1-32· · 4040 · ·2.2.2 2.2.2 自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 关于无穷大的邻域 U (∞), U (-∞), U (+∞)，如 1.1.3 小节所述. 定义 3 设函数 y = f (x) 在 U (∞) 中有定义. 如果存在常数 A, 当 |x| 无限增大（|x| →∞）时，f (x) 无限接近于 A，则称 A 为函数 f (x) 当 x →∞ 时的极限，或简称为 f (x) 在无穷大处的极限,记为或 f (x) → A, 当 x →∞ 时. · · 4141 · · 与函数的单侧极限相类似，设 f (x) 在 U (-∞) (或 U (+∞) ) 中有定义，如果存在常数 A，使得当 x → -∞ (或 x → +∞) ，即 x < 0（或 x > 0）且 |x| 无限增大时，f (x) 无限接近于 A，则称 A 为函数 f (x) 当 x → -∞（或 x → +∞）时的极限，记为或f (x) → A， 当 x → -∞（或 x → +∞）时. 这些极限也可以像 2.1.2 小节中关于数列极限的情形一样，用ε-N 的方法给予严格的表达. · · 4242 · · 由定义，易见 例例 5 对于函数 f (x) = arctan x, 由反正切曲线 y = arctan x 的图形(图 1-33 (b))，易见所以， 极限 不存在.图 1-33· · 4343 · · 例例 6 设 a > 0, ≠1，分别就 x →0+ 和 x → +∞ 两种情况考虑函数 loga x 的极限是否存在． 解 由函数 y = loga x 的图形（图 1-30），易见 当 0 < a < 1 时， 当 a > 1 时， 所以这些极限都不存在．图 1-30· · 4444 · ·2.2.3 2.2.3 有极限的函数的基本性质有极限的函数的基本性质 函数极限也有与收敛数列类似的一些性质． 由于函数极限按自变量的变化过程共有 6 种不同的情况，而有关的性质是相同的，故统一以 为代表，其中 x0 可以是 ∞, -∞ 或 +∞, 当 x0 有限时也可以是单侧的． 性质 1（函数极限的唯一性） 假设在同一极限过程中有和则 A = B.· · 4545 · · 性质 2（有极限函数的局部有界性） 假设 存在，则f (x) 在 x0 点的某个邻域中有界，即有常数 M > 0，使得在 x0 的某个去心邻域 中，有 | f (x) | < M 性质 3（有极限函数的局部保号性） 假设 1) 若 A > 0 (< 0), 则对 x0 的某一去心邻域中的所有 x, 有f (x) > 0 (< 0). 2) 若对 x0 的某一去心邻域中的所有 x, f (x) ≥ 0 (≤ 0), 则A ≥ 0 (≤ 0). 这些性质可以像 2.1.3 小节中关于收敛数列的情形那样，给出严格的证明（留作练习）.· · 4646 · ·2.3 极限的运算法则 为了简单起见，我们将数列极限和函数极限概括地称为 “变量的极限”，而变化的过程可以是离散的（数列情况），也可以是连续的（函数情况），既可以是两侧的（x → x0, x →∞），也可以是单侧的（x → x0±, x →±∞）.· · 4747 · · 定理 2.2（极限的运算法则） 设在同一极限过程中，变量 u→A, v→B，即 则 特别， 若 u = C（常数），则 由极限的定义，这个定理不难理解(证明见 2.4 节例 3, p. 50). 注 在 的变化过程中，由于假设 B≠0，根据有极限变量的保号性，变量 v 在其变化过程中从 “某一时刻开始”（即：或 n 充分大，或 x 充分接近于 x0），总有 v≠0，故 是有意义的．· · 4848 · · 利用极限的运算法则可以求一些极限． 例例 1 一般地说， 若 n∈N，则 例例 2 例例 3 设 f (x) = x3 - 1, g(x) = 2x2 - x + 5, 求 解 由于故· · 4949 · · 例例 4 求 解 由于 故不能直接用极限的运算法则． 但由于x3 - 1 = (x - 1)(x2 + x + 1), x2 - 4x + 3=(x - 1)(x - 3),而当 x →1 时 x≠1，即 x - 1≠0，故· · 5050 · · 例例 5 求 解· · 5151 · · 例例 6 求 解· · 5252 · ·2.4 无穷小(量)和无穷大(量)无穷小（量）无穷小（量）无穷大（量）无穷大（量） 无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系无穷小量的比较无穷小量的比较2.4.12.4.22.4.32.4.4· · 5353 · ·2.4.1 2.4.1 无穷小（量）无穷小（量） 无穷小的概念在微积分的创建过程中起着至关重要的作用，它与极限概念有密切的关系． 定义 1 若变量 u 的极限为 0， 则称 u 为无穷小（量）. 例如： 由于 故当 x →1 时 x2 - 1 是无穷小量. 又如： 故当 x →∞ 时 为无穷小量． · · 5454 · · 按极限的严格定义，无穷小的概念可严格陈述如下： 定义 1′ 当 x → x0 时变量  (x) 称为无穷小（量），如果对任意小的ε> 0, 总有δ(ε) > 0, 使得对于所有的 都有| (x) - 0 | = | (x) | <ε. 对于其他极限过程中的无穷小（量）， 可用ε-δ或ε-N 语言给出类似的陈述. 注意，不要把无穷小量与很小的量混为一谈，例如: 10-100 是一个很小很小的数，但这是一个非 0 的常数，它的极限仍是它自己，故不是无穷小量. 能够作为无穷小量的常数只有 0，不恒等于 0 的无穷小量必然是一个无限趋于 0 的变量.· · 5555 · · 无穷小量与变量极限的密切关系表现在下述定理中． 定理 2.3 在一个极限过程中，变量 u 的极限为 A 的充分必要条件是 u = A +  ，其中  在这个极限过程中是无穷小量. 这个定理也可表述为：u →A  u - A → 0. 证 仅对 的情形加以证明. 必要性. 对任意给定的ε> 0，存在δ> 0，使当 0 < |x-x0| <δ时总有 | f (x) - A| <ε，即| ( f (x) - A) - 0 | <ε.这表明 f (x) - A 是无穷小量，记 f (x) - A =  ，则有 f (x) = A + , 其中  当 x →x0 时为无穷小量.· · 5656 · · 无穷小量与变量极限的密切关系表现在下述定理中． 定理 2.3 在一个极限过程中，变量 u 的极限为 A 的充分必要条件是 u = A +  ，其中  在这个极限过程中是无穷小量. 这个定理也可表述为：u →A  u - A → 0. 证 仅对 的情形加以证明. 充分性. 设 f (x) = A +  , 其中  当 x → x0 时为无穷小量. 由此，对任意的ε> 0，有δ> 0，使得 0 < |x - x0 | <δ 时总有|  | = | f (x) - A | <ε.所以由定义有· · 5757 · · 定理 2.3 表明：极限概念可以用无穷小量概念来阐述. 由于无穷小量在建立微积分时具有基础性的地位，所以早期的微积分常称为无穷小分析． 在 17 世纪下半叶微积分创立以后，特别是在 18 世纪，微积分在解决过去无法解决的许多实际问题中显示出了巨大的威力，但由于当时还没有建立起严密的理论，在实际应用中常常将无穷小时而变成 0，时而又说不是 0，显得很 “神秘”, 难以捉摸，甚至连微积分的主要创立者牛顿，也难以摆脱由无穷小引起的概念上的混乱．· · 5858 · · 马克思在评论 17—18 世纪的微积分时, 对于那些数学家曾指出：“他们自己就相信了新发现的算法的神秘性. 这种算法就是通过数学上肯定不正确的途径而得出了正确的（而且在几何应用上简直是惊人的）结果．这样一来，他们自己就把自己神秘化了. ” 唯心主义哲学家贝克莱主教在 1734 年为了维护当时神学的一些反科学的教义，猛烈攻击微积分的 “神秘性”，把微积分中的推导演算说成是 “分明的诡辩”，嘲笑无穷小是 “逝去的鬼魂”. 为了微积分学的健康发展，也为了摆脱这种困境，以及克服由于没有严格的理论而导致的一些混乱, 在 1800 年前后, 许多数学家在为微积分建立严密的理论基础方面做了很多工作．上述关于无穷小量的定义就是这种努力的一个成果．它是柯西在 1821 年给出的．· · 5959 · · 由无穷小量的定义，不难理解无穷小量的下列性质： 定理 2.4 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 2° 有界变量与无穷小量之积是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量. 证 1° 只需对 2 个无穷小量的情形加以证明. 设当 x→x0 时  和β是 2 个无穷小量, 即对于任意小的ε>0, 总有δ1>0 和δ2 > 0, 使当 时 当 时 设δ = min{δ1,δ2}, 则 从而 有 所以 ①① 这说明当 x→x0 时 +β是一个无穷小量.· · 6060 · · 定理 2.4 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 2° 有界变量与无穷小量之积是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量. 证 2° 设 u(x) 在 中有界，即存在常数 M > 0, 使当 时 | u(x) | < M. 又设当 x→x0 时 v(x) 是无穷小量, 即对任意小的ε> 0，存在δ1 > 0，使 有 记δ= min{r,δ1}, 则 从而当 时, 同时有 | u(x) | < M 和 所以 ①① 这说明当 x→x0时 u(x)v(x) 是一个无穷小量.· · 6161 · · 定理 2.4 1° 有限多个无穷小量之和仍是无穷小量； 2° 有界变量与无穷小量之积是无穷小量； 3° 有限多个无穷小量之积仍是无穷小量. 证 3°只需对两个无穷小量的情况加以证明. 同 1°，设,β是两个无穷小量，依据有极限变量的性质， 必是有界或局部有界的，再由 2°，b 是一个无穷小量.· · 6262 · · 例例 1 由指数函数和对数函数的图形（图 1-29 及图 1-30），易见 当 x → -∞ 时，a x (a > 1) 是无穷小量； 当 x → +∞ 时，a x (0 < a < 1) 是无穷小量； 当 x → 1 时，loga x 是无穷小量.图 1-29 图 1-30· · 6363 · · 例例 2 求 解 由于即变量 有界，而当 x→0 时 x2 →0, 即 x2 是无穷小量，所以· · 6565 · · 例例 3 证明极限的运算法则. 证 设在同一个极限过程中有 lim u = A, lim v = B, 则由定理 (p. 48), 有 u = A + , v = B +β, 其中 和β是无穷小量, 于是u±v = (A±B) + ( ±β)， uv = AB + (Ab + B + b ).在 B≠0 的情况下，由无穷小量的性质, ±β, Ab + B + b, B - Ab 均是无穷小量. 对于 可证它是有界变量①. 所以 也是无穷小量. 这就证明了 lim(u±v) = A±B, lim uv = AB, · · 6666 · ·2.4.2 2.4.2 无穷大（量）无穷大（量） 定义 2 如果变量 u 在其变化过程中 |u| 无限增大，则称 u 为无穷大（量），记为 u →∞ 或 lim u = ∞. 确切地说，如果对于任意大的 M > 0，u 在 “变到某一时刻以后” 恒有 |u| > M，则称 u 为无穷大量． 如果将 |u| > M 改成 u > M (或 u < - M), 则无穷大量可表示为 u →+∞ (或 u →-∞), 也可写成 lim u = +∞ (或 lim u = -∞). 注意，无穷大量(∞)不是一个数， 只是说明变量变化趋势的一个记号. 不能把一个很大的数（如101 000）与无穷大量混为一谈， 常数不能是无穷大量．· · 6767 · · 无界变量不一定是无穷大量. 例如: 数列{an}: 2, 0, 6, 0, 10, 0, …,〔1 + (-1) n+1〕n, …,当 n →∞ 时, an =〔1 + (-1) n+1〕n 是无界的，但 an (n = 1, 2, …)不是无穷大量. 例例 4 由于故在相应的极限过程中 tan x 和 loga x 是无穷大量. 同样, 当 x → +∞ 时 a x (a > 1) 是无穷大量，当 x →-∞ 时 a x (0 < a < 1) 是无穷大量.· · 6868 · ·2.4.3 2.4.3 无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系 由无穷小量和无穷大量的定义, 不难推断: 在一无限变化过程中, 如果 u 是无穷小量, 则当 u≠0 (或在其变化过程中至多只能有限多次取到 0) 时, 是无穷大量; 而如果 v 是无穷大量, 则 是无穷小量． 例例 5 设 则数列{an}为无穷小量. 由于 an 在其变化过程中有无限多次取 0 值, 无意义，故当 n →∞ 时 不是无穷大量．· · 6969 · · 利用无穷大量和无穷小量的关系可以计算一些极限． 例例 6 求 解 由于∞不是数，不能对它进行运算，求上述极限时不能运用极限的运算法则，但如果将无穷大量变成无穷小量，即可求出上述极限．为此，将上式分子、分母同除以 x2，得 一般，当 a0b0≠0 时，可得· · 7070 · · 例例 7 求 解 由于 故所以, 当 n →∞ 时 是无穷小量．· · 7171 · · 例例 8 求 解 当 a = 1 时, a n - a –n = 0, 故上述极限为 0. 当 0 < a < 1 时, 将所求极限中的分子、分母同乘以 a n (≠0), 得 当 a > 1 时, 将所求极限中的分子、 分母同乘以 a - n (≠0), 得所以· · 7272 · ·2.4.4 2.4.4 无穷小量的比较无穷小量的比较 无穷小量的和、差、积仍是无穷小量，但无穷小量的商就不易确定了. 例如: 当 x→0 时, x2, x3, sin x 都是无穷小量，而这时至于当 x →0 时 的极限是什么，下节将讨论这个问题． 研究无穷小量的商，在函数的微分学中有重要意义．· · 7373 · · 定义 3 在同一极限过程中, 设  和β都是无穷小量, 且β≠0. 1) 如果 则称  是比β高阶的无穷小, 记为 = o(β); 2) 如果 则称  是比β低阶的无穷小； 3) 如果 (c 为常数，不为 0)，则称  与β是同阶无穷小．如果 c = 1，则称  与β是等阶无穷小，记为  ～β. 如果  是比β低阶的无穷小，即 则 所以β是比  高阶的无穷小，即有β= o( ).· · 7474 · · 注意，称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个极限过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶． 例例 9 当 n →∞ 时， 都是无穷小. 由于故 即 是比 高阶的无穷小，而 是比 低阶的无穷小.· · 7575 · · 例例 10 证明：当 n →∞ 时 与 是同阶无穷小. 证 按定义，由于故当 n →∞ 时，无穷小量 与 是同阶的.· · 7676 · · 注意，在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能比较阶的高低的． 例例 11 当 x →0 时, 由于 是有界变量, 可知 是无穷小量，而不存在，故不能比较 与 x 的阶的高低.· · 7777 · ·2.5 2.5 极限存在的准则和两个重要极限极限存在的准则和两个重要极限夹逼准则和夹逼准则和单调有界准则和单调有界准则和· · 7878 · · 下面讨论的两个极限是微积分中一些基本的微分公式和积分公式的基础，故称之为重要极限．为此，先要介绍关于极限存在的两个重要准则.· · 7979 · ·2.5.1 2.5.1 夹逼准则和夹逼准则和 准则ⅠⅠ（极限存在的夹逼准则） 设在 x 的某一极限过程中, 对于函数 f (x), g(x), h(x) 有 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), 且 lim g(x) = A = lim h(x), 则 lim f (x) = A. 从极限概念的定义，这个准则不难理解和严格证明（作为思考题请读者自己完成）.· · 8080 · · 利用准则Ⅰ, 可以证明重要极限: 事实上, 如图 2-6, 其中圆的半径为 1,圆心角∠AOB = x (以弧度为单位）, 0 < x AD⊥OA, BC⊥OA, 则显然有△AOB的面积S△AOB<扇形AOB的面积S扇形AOB<△AOD的面积S△AOD.而 BC = sin x, AD = tan x, 所以图 2-6· · 8181 · ·从而有 即由此可得因为 和 cos x 都是偶函数，故上式当 时也成立. 利用上面得到的不等式 有故当 x →0 时 cos x -1 →0，即 cos x →1. · · 8282 · · 由夹逼准则，必然有重要极限, 即(2.1) 这个极限说明：当 x →0 时无穷小量 sin x 与 x 等价， 即x ～ sin x (x →0). 注意，由于在极限 () 的证明过程中用到了 x 以弧度为单位, 而 () 又在关于三角函数的导数和积分中占有基础的地位, 故在微积分中涉及角度时总以弧度为单位.· · 8383 · · 例例 1 求下列极限: 解 1) 由于 利用极限的运算法则，有 · · 8484 · · 例例 1 求下列极限: 解 2) 设 t = arcsin x，则 x →0 等价于 t →0，故 3) 若设 u= kx, 则 x →0 等价于 u →0. 而 故· · 8585 · · 例例 1 求下列极限: 解 4) 由于 故· · 8686 · · 例例 1 求下列极限: 类似于 2), 可以证明 因此可得， 当 x →0 时，· · 8787 · · 例例 2 求极限 （其中 b > a > 0）. 解 设 由于 b > a > 0，有而 故 按夹逼准则，可得· · 8888 · · 例例 3 设 f (x) ≤j (x) ≤ g(x) (x∈R) 且 则 A. 存在且等于 0 B. 存在但不一定为 0 C. 一定不存在 D. 不一定存在 解 用反例作排除法. 设或易知条件满足，结论 A, B, C 不成立，故应选 D.· · 8989 · · 单调有界准则和单调有界准则和 对于数列{xn}，如果 x1≤x2≤…≤xn≤…, 则称{xn}为单调递增数列. 如果 x1≥x2≥…≥xn≥…, 则称{xn}为单调递减数列，它们统称单调数列. 如果存在常数 M > 0，使得 |xn| < M (n)，则称数列{xn}有界. 可以证明下列收敛准则（证明从略）： 准则ⅡⅡ（单调有界收敛准则） 如数列{xn}单调且有界， 则{xn}必收敛， 即 必存在.· · 9090 · · 下面讨论 设 可以证明数列{xn}是单调增加且有界的，即可证 1) xn < xn +1 (n = 1, 2, …); 2) 0 < xn < 3 (n). 证 1) 即 n = 1 时 1) 成立. 当 n ≥2时, 由牛顿二项公式，有· · 9191 · · 设 则 1) xn < xn +1 (n = 1, 2, …); 2) 0 < xn < 3 (n). 续证 1) 即有同样将 xn 与 xn +1 作比较，等式右边的前两项相同，xn 从第三项起的每一项都比 xn +1 的对应项小，xn +1 还比 xn 多了最后一项，故xn < xn +1 (n = 1, 2, …).· · 9292 · · 设 则 1) xn < xn +1 (n = 1, 2, …); 2) 0 < xn < 3 (n). 证 2) 由 xn 的上述展开式显然有· · 9393 · · 设 则 1) xn < xn +1 (n = 1, 2, …); 2) 0 < xn < 3 (n). 所以数列{xn}是单调递增且有界的. 按收敛准则Ⅱ，可知数列{xn}必定收敛，即 存在. 设其值为 e，经过计算， e = 281 828 459 045 …. 所以 (2.2)数列{xn}的图形如图 2-7 所示.图 2-7· · 9494 · · e 称为自然对数的底，这是数学中继圆周率π之后的另一个重要常数．已经证明，π和 e 都不是有理数． e 为底的对数称为自然对数，loge x 记为 ln x，称为自然对数函数，它与 y = e x 互为反函数．y = ln x 的图形与 y = loga x (a > 1)的图形类似（见图 1-30）.图 1-30· · 9595 · · 可以证明，相应的函数极限有和 (2.3) 事实上，若以［x］表示 x 的整数部分 (即不大于 x 的最大整数), 记［x］= n, 则 n ≤ x < n+1, 当 x →+∞ 时 n →+∞, 且有而由夹逼准则，即得· · 9696 · · 可以证明，相应的函数极限有和 (2.3) 当 x → -∞ 时, 令 x = - (u + 1), 则当 x →-∞时 u →+∞, 从而于是 () 中的前一式得证. 作变换 立即可得后一式.· · 9797 · · 函数 在区间 (0, +∞) 上的图形如图 2-8 所示，图 2-9 显示了当 x →0 时函数 的变化趋势.图 2-8 图 2-9· · 9898 · · 例例 4 求下列极限： (k≠0, 为整数); 解 1) 令 则 x →∞ 等价于 y →0，故 · · 9999 · · 例例 4 求下列极限： (k≠0, 为整数); 解 2)· · 100100 · · 例例 4 求下列极限： (k≠0, 为整数); 解 3) 令 -2x = t，则 x →0 等价于 t →0, 故· · 101101 · · 例例 4 求下列极限： (k≠0, 为整数); 解 4) 设 3 tan2x = u，则 x →0 等价于 u →0，所以· · 102102 · · 例例 5 连续复利问题. 将本金 A0 存入银行, 年利率为 r, 则一年后本息之和为 A0(1+r). 如果年利率仍为 r, 但半年计一次利息, 且利息不取, 前期的本息之和作为下期的本金再计算以后的利息, 这样利息又生利息. 由于半年的利率为 故一年后的本息之和为 这种计算利息的方法称为复式计息法． 如果一年计息 n 次，利息按复式计算，则一年后本息之和为 · · 103103 · · 例例 5 连续复利问题. 如果计算复利的次数无限增大，即 n →∞，其极限称为连续复利，这时一年后的本息之和为 假设 r =7%, 而 n =12, 即一月计息一次, 则一年后本息之和为若 n =1 000，则一年后本息之和为· · 104104 · · 例例 5 连续复利问题. 如果计算复利的次数无限增大，即 n →∞，其极限称为连续复利，这时一年后的本息之和为若 n = 10 000，则一年后本息之和为 由此可见， 随着n无限增大， 一年后本息之和会不断增大， 但不会无限增大， 其极限值为 由于 e 在银行业务中的重要性, 故有银行家常数银行家常数之称．· · 105105 · ·2.6 函数的连续性和连续函数函数在一点处的连续函数在一点处的连续连续函数连续函数连续函数的运算和初等函数的连续性连续函数的运算和初等函数的连续性闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数2.6.12.6.22.6.32.6.4· · 106106 · · 事物的变化有许多是跳跃式的，用数学的语言来讲，就是“离散的”，数列即是一例． 也有许多变化是连续的，如气温的变化、行星的运动、人体体重的变化等，这种变化的特点是：当时间的变化很小时，气温、行星的位置、人体体重的变化也很微小．用数学的语言可表述为：对于函数 y = f (x), 当自变量 x 的变化很小时，相应的函数值的变化也很小． 从几何上看，表示函数的曲线是一条连续曲线．连续变化概念的抽象描述就是函数的连续性，微积分中所讨论的主要是连续变化的量．· · 107107 · · 函数在一点处的连续函数在一点处的连续 为了阐述函数的连续性，先引入增量（或改变量）的概念. 设变量 t 从一个值 t1 变到另一个值 t2，说明这个变化的幅度的量 t2 - t1 称为 t 的增量或改变量，记为Δt, 即Δt = t2 - t1， Δt 可以是正的也可以是负的．注意Δt 不是“Δ”与 t 的乘积，它是一个整体，表示变量 t 的增量． 下面讨论函数的连续性.· · 108108 · · 定义 1①① 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U (x0) 中有定义. 若 x 从 x0 变到 x +Δx (∈U (x0))，相应地，函数值 y 从 f (x0) 变到 f (x0 +Δx)，即相应于 x 的增量Δx，y 有增量 Δy = f (x0 +Δx) - f (x0)(如图 2-10)．如果当Δx →0 时Δy →0，即则称函数 f (x) 在点 x0 连续．图 1-33① ① 定义1最早是捷克数学家波尔察诺(B. Bolzano, 1781—1848）在1817年给出的，其后不久法国数学家柯西在1821年也给出了这个定义.· · 109109 · · 若记 x = x0 +Δx, 则 f (x0 +Δx) = f (x). 而Δx →0 等价于 x →x0 , Δy = f (x) - f (x0) →0 等价于 f (x) → f (x0)，由此得到函数 f (x) 在点 x0 连续的另一种表述： 定义 1′ 设函数 y = f (x) 在点 x0 的一个邻域 U (x0) 中有定义. 如果则称函数 f (x) 在点 x0 连续. 所以有 f (x) 在点 x0 连续· · 110110 · · 由定义可见，函数 f (x) 在点 x0 有极限是 f (x) 在点 x0 连续的必要条件，即 f (x) 在 x0 点连续必须要 存在，但反之不然， 存在，并不意味着此极限值必为 f (x0)，甚至 f (x0) 可能无意义. 例如: 函数 但 f (x) 在点 x =0 不连续，因为 在讨论 是否存在时，只要求 f (x) 在 x0 的去心邻域 中有定义，但在讨论 f (x) 在点 x0 连续时，f (x) 必须在邻域 U (x0) (其中包括 x0）中有定义．· · 111111 · · 相应于函数左、右极限的概念，关于连续性有 定义 2 假设函数 y = f (x) 在点 x0 及其一个左（右）邻域中有定义. 如果则称函数 f (x) 在点 x0 左（右）连续． 由函数在一点的极限与左、右极限之间的关系，可知函数在点 x0 连续与在点 x0 左、右连续之间有如下关系： 函数 f (x) 在点 x0 连续  f (x) 在点 x0 左、右都连续，即 f (x0 -) = f (x0) = f (x0 +).· · 112112 · · 连续函数连续函数 定义 3 如果函数 f (x) 在区间 I 上有定义，且在 I 中的每一点处都连续，则称 f (x) 是 I 上的连续函数. 在上述定义中，若区间 I 有左 (右) 端点，则 f (x) 在这个端点处右 (左) 连续． 一般地说，如果函数 f (x) 在其定义域 D 中的每一点都连续, 则称 f (x) 是 D 上的连续函数． 如果函数 y = f (x) 是区间 I 上的连续函数，则它的图形 C: y = f (x) (x∈I ) 是一条连续曲线. 显然，常数函数 y = C（常数）是连续函数．· · 113113 · · 例例 1 证明: 函数 y = x2 在每一点都连续． 证 设 x0 是任意一点. 因为故由定义 1′(p. 63) 知，函数 x2 在 x0 点连续． 或按定义 1 (p. 63), 如果 x 在点 x0 有增量Δx，则 y 相应的增量为Δy = (x0 +Δx)2 - x02 = 2x0Δx + (Δx)2. 由此从而 x2 在点 x0 连续．由于 x0 的任意性，这说明函数 y = x2 在 R 上连续． 类似地可以证明: 若 n∈N, 则幂函数 y = xn 在每一点连续, 即是 R 上的连续函数.· · 114114 · · 例例 2 证明：正弦函数 y = sin x 是 R 上的连续函数． 证 对于任意的 x∈R 和该点处的增量Δx，函数的增量为由于 故当Δx →0 时, 而利用无穷小量的性质，有 所以 sin x 在 x 点连续，即 sin x 是 R 上的连续函数．· · 115115 · · 例例 3 证明：余弦函数 y = cos x 是 R 上的连续函数． 证 设 x0 是任一实数. 作变换：则 x →x0 等价于 u →u0. 故即 cos x 在 x0 点连续．由于 x0 是任意点，所以 cos x 是其定义域R 上的连续函数．· · 116116 · · 连续函数的运算和初等函数的连续性连续函数的运算和初等函数的连续性 从前面的例子已经知道, 常数、幂函数 xn (n∈N) 以及 sin x 和 cos x 都是连续函数．随之自然会问：其他的基本初等函数以及一般的初等函数的连续性如何？ 根据连续函数的定义和极限的运算法则，易知 定理 2.5 连续函数的和、差、积、商 (分母不为 0 ) 仍是连续函数． 所以，三角函数 tan x, cot x, sec x, csc x 在它们的定义域内都是连续函数．· · 117117 · · 定理 2.6 设函数 y = f (x) 在区间 I1 上是单调的连续函数，则其值域 I2 ={ f (x) | x∈I1} 是一个区间，且它的反函数 y = f -1(x) 是区间 I2 上的单调连续函数． 这个定理的证明要用到较多的数学知识，在此从略． 由第一章可知, 指数函数 y = a x 是单调函数, 可以证明 a x 是一个连续函数 (证明从略), 因此它的反函数 y = loga x 是连续函数. 同样，由于函数 y = sin x ( | x | ≤ ), y = cos x ( 0 ≤ x ≤π), y = tan x ( | x | < ), y = cot x (0 < x <π) 是单调的连续函数, 故它们的反函数 y = arcsin x ( |x| ≤1), y = arccos x ( |x| ≤1), y = arctan x (x∈R), y = arccot x (x∈R) 也都是单调的连续函数． · · 118118 · · 那么，一般的幂函数 y = x u 的连续性如何？为此，要用到下述定理： 定理 2.7 设函数 g(x) 在点 x0 连续，函数 f (u) 在点 u0 = g(x0) 连续，则复合函数 f (g(x)) 在点 x0 连续． 证 由函数在一点连续的定义 1′，设 u = g(x)，则有从而所以 f (g(x)) 在点 x0 连续． · · 119119 · · 一般的幂函数 y = x u 的连续性如何？ 定理 2.7 设函数 g(x) 在点 x0 连续，函数 f (u) 在点 u0 = g(x0) 连续，则复合函数 f (g(x)) 在点 x0 连续． 由定理 2.7, 两个连续函数 y = f (u), u = g(x) 的复合函数 f (g(x)) (若有意义) 是连续函数．或可表述为：连续函数经过函数的复合运算 (若有意义) 仍是连续函数． 由此，对于一般的幂函数 y = xμ ( x > 0)，由于xμ = (e ln x)μ= eμln x，所以，y = xμ可看成两个连续函数 y = e t, t =μln x 的复合，从而是连续函数．· · 120120 · · 综上所述，基本初等函数是连续函数，连续函数经过有限次的和、差、积、商 (分母不为 0) 和复合运算仍是连续函数，所以 初等函数在其有定义的区间内都是连续函数． 由此可见，连续函数类是一个很大的函数类，初等函数是其中的一部分. 在微积分中所讨论的函数主要是连续函数． 利用函数的连续性可以计算一些极限．· · 121121 · · 例例 4 求 解 由于 是一个初等函数，在其定义域内连续，而 x = 0 属于它的定义域，所以· · 122122 · · 例例 5 求 解 由对数函数的连续性，即当 x →0 时 ln(1+x) →0，所以所求极限是两个无穷小量之比. 设则 u(x) 当 x≠0 且 x > -1 时是连续函数. 在 x = 0 点，因所以 u(x) 在 x = 0 点也连续. 从而 u(x) 是 (-1,+∞)上的连续函数. · · 123123 · · 例例 5 求 续解 又由 ln u 是 u 的连续函数，故 ln u(x) 是 (-1,+∞) 上的连续函数. 所以因此，当 x →0 时 ln(1+x) 与 x 是等价无穷小，即 x ～ ln(1+x). 若记 t = ln(1+x)，则 x = e t - 1，且 x →0 等价于 t →0，所以当 t →0 时 e t - 1 与 t 是等价无穷小，即 e t - 1 ～ t.· · 124124 · · 例例 6 求 解 令 (1+x)a - 1 = u，则 x →0 时 u →0, 由于 x →0 时 x ～ ln(1+x)，故即 所以当 x →0 时 (1+x) a - 1 ～ ax.· · 125125 · · 结合 小节中关于等价无穷小的结果有: 当 x →0 时, x ～ sin x ～ tan x ～ arcsin x ～ arctan x ～ ln(1+x) ～ e x - 1,(1+x) a - 1 ～ ax (a≠0). 在求一些极限时，利用等价无穷小的代换，往往可使计算简化，对此有如下等价代换原理.· · 126126 · · 等价代换原理 在同一极限过程中的三个变量 u,v,w, 如果 u,v 是无穷小量，且等价，则有 这是因为由假设 有 在例 6 中，实际上用了 ln(1+x) ～ x，把分母中的 x 换成了 ln(1+x).· · 127127 · · 例例 7 求 解 当 x→0 时 x ～ sin x ～ arcsin x，故由等价代换原理， 注意，在和、差的极限计算中，不能用等价无穷小作代换. 考察下列例子．· · 128128 · · 例例 8 求 解 · · 129129 · · 例例 8 求 注 若将分子中的 tan x 和 sin x 都代以等价的 x，则有这结果是错误的, 实际上 tan x – sin x ≠0. 对此可考察图 2-11． 上面正确的计算表明, 当 x →0 时所以如果不计 tan x – sin x 的三阶和更高阶的无穷小, 则在 x 的一阶和二阶范围内,tan x – sin x 与 0 无异. 但如果计及 x 的三阶无穷小, tan x – sin x 就异于 0 了． 图 2-11· · 130130 · · 例例 9 设是连续函数. 求 a. 解 函数 ae- x 在 (-∞,0) 上连续，而 2 + cos x 在 (0,+∞) 上连续，故只需考察 f (x) 在分段点 x = 0 处的连续性. 因故若 f (x) 在 x = 0 点连续，只需 f (0+ ) = f (0)，即 a = 3.· · 131131 · · 例例 10 求 解 设 则 而故 从而 · · 132132 · · 闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数 闭区间上的连续函数有一些良好的性质，它表现在下列定理中，定理的证明要用到较深的数学知识，故从略． 定理 2.8 闭区间上的连续函数必有界．即若函数 f (x) 在［a,b］上连续，则必有常数 M > 0 使得| f (x) | < M (x∈［a,b］). 这个定理称为闭区间上连续函数的有界性定理．· · 133133 · · 定理 2.9 闭区间上的连续函数必有最大值和最小值．即若函数 f (x) 是［a,b］上的连续函数，则必有点 x1, x2∈［a,b］使得f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) (x∈［a,b］).f (x1) 称为 f (x) 在［a,b］上的最小值，f (x2) 称为最大值． 这个定理称为闭区间上连续函数的最大值最小值定理，或简称最值定理．定理 也可表述为： 闭区间上的连续函数必能在区间上取(或达)到它的最大值和最小值. 即若 f (x) 是[a,b]上的连续函数, 则必  x1, x2∈ [a,b] 使得 f (x1) = min { f (x) | x∈［a,b］} (或记为 f (x2) = max{ f (x) | x∈［a,b］} (或记为· · 134134 · · 定理 中的条件 “区间是闭的” 和 “函数连续” 是重要的. 如果这两个条件不满足，函数在区间上可能没有（或取不到）最大值或最小值．另一方面，这两个条件只是有最值的充分而非必要条件． 例如: 函数 在区间 (0, 1) 上连续，但无界，既无最大值，也无最小值，因为 x = 1 不属于 (0, 1)． 又如函数由于 g(0+ ) 不存在，g(x) 在［0,1］上不连续，它无最大值，有最小值 g(0) = 0．· · 135135 · · 定理 2.10 (零点定理) 设 f (x) 是［a, b］上的连续函数，且 f (a) 与 f (b) 异号，则函数 f (x) 在 (a, b) 中至少有一个零点． 这个定理也可表述为：若 f (x) 是［a, b］上的连续函数，且 f (a) f (b) < 0，则 ξ∈(a, b) 使得 f (ξ) = 0. 这个定理从几何上看是显然的．如图 2-12, 由于 f (a) f (b) < 0， 点 A (a, f (a)) 和 B (b, f (b)) 位于 x 轴的两侧，因此连接点 A, B 的连续曲线 C: y = f (x) ( x∈［a,b］) 必与 x 轴相交, 设交点为 x =ξ, 则 f (ξ) = 0.图 2-12· · 136136 · · 例例 11 证明: 方程 f (x) = x5 - 7x - 29 = 0 在区间 (2,3) 中必有根. 证 函数 f (x) 在［2,3］上连续，f (2) = -11 < 0, f (3) = 193 > 0.由定理 知必 ξ∈(2,3) 使得 f (ξ) =0. ξ即是函数方程 f (x) = 0 的根. 定理 虽然只是说明函数的零点的存在性，而没有给出寻求零点的方法，但它仍然有重要的理论价值. 在许多实际问题中常常会遇到方程（包括代数方程）的求根问题，如果能预先判定方程在某区间中必有根，就可以用计算机算出根的近似值，否则即使计算很长时间也可能得不到有意义的结果，因为在该计算所设定的区间中可能没有根．· · 137137 · ·小 知 识众所周知, 二次、三次、四次代数方程的根都可用方程的系数通过四则运算和开方表示出来. 那么五次和高于五次的代数方程如何? 在拉格朗日和挪威数学家阿贝尔 (N. H. Abel, 1802—1829) 的工作的基础上, 法国年轻数学家伽罗瓦 (E. Galois, 1811—1832) 利用置换群的概念指出了通过根式可解的代数方程的表征. 由此完全证明了这个问题的答案一般是否定的, 1829 年他的两篇有关文章呈送科学院后被院士柯西“丢失”. 1830 年一月另一篇更详细的文章送交院士傅里叶 (J. B. J. Fourier, 1768—1830), 不幸不久傅里叶去世. · · 138138 · ·小 知 识在泊松 (S. D. Poisson, 1781—1840) 院士的提议下伽罗瓦于 1831 年写出题为《关于用根式解方程的可解性条件》的新文章, 却被泊松以难以理解而退回. 直到 1846年《数学杂志》才发表了他的部分文章, 1870 年约当 (M. E. C. Jordan, 1838—1922) 在一本关于代数 方 程 的专著中第一次全面而清楚地介绍了伽罗瓦的理论. 伽罗瓦是代数学中群论的奠基人. 1830年伽罗瓦因支持革命被学校开除, 并两次因政治获罪而被捕, 1832 年死于决斗.· · 139139 · · 定理 2.11（介值定理） 闭区间上连续函数必能取得它在区间上的最大值和最小值之间的任何值． 证 设 f (x) 是［a,b］上的连续函数，由定理 2.9，在［a,b］上必有最大值和最小值，即有 x1, x2∈［a,b］使得 (记为 m ), (记为 M ). 如果 m = M, 则定理显然成立. 如果 m < M, 定理需要证明： 对任一实数 C, m < C < M, 必 ξ∈(a,b), 使得 f (ξ) = C． 为此, 作辅助函数 g(x) = f (x) - C. 易知 g(x) 在[x1, x2] (或[x2, x1]) 上符合定理 的条件, 所以在 (x1, x2) (或(x2, x1)) 中至少有一点 x , 使得 g(x ) = f (x ) – C = 0, 即 f (x ) = C. 由于 x1, x2∈[a,b], 故x∈(a,b).· · 140140 · · 定理 的几何意义是：如图 2-3，只要 m < C < M, 连接点 (a, f (a)) 和 (b, f (b)) 的连续曲线Γ: y = f (x) (x∈［a,b］) 必与水平直线 y = C 相交，所以 如果 f (x) 是 [a,b]上的连续函数,M 和 m 依次为 f (x) 在 [a,b]上的最大值和最小值，则对任意的 C∈[m,M],必 ξ∈[a, b], 使得 f (ξ) = C. 由此，可得 推论 若 f (x) 是［a,b］上的连续函数，且不是常数，则 f (x) 的值域也是一个闭区间． 介值定理 (定理 2.11) 在研究函数的性质和一元函数的微积分理论中有用．图 2-13· · 141141 · ·2.7 函数的间断点 虽然初等函数在其定义域上都是连续函数， 但也有许多函数不是连续的，例如简单的符号函数 sgn x 3)，在 x = 0 点不连续. 因为而 sgn 0 = 0.· · 142142 · · 又如函数 在 x = 0 点不连续， 因为 f (0) 没有意义, 其实，即使补充规定 f (0) = 0, f (x) 在 x = 0 点仍然不连续, 因为f (0- ) = -∞, f (0+ ) = +∞,极限 不存在. 甚至有些函数的不连续的点可能有无穷多个，有名的例子是1.3 节例 5 中的狄利克雷函数 它在任意一点都不连续, 因为对任一实数 x0，在 x0 点的任意邻域 U (x0) 中, 既有无限多个有理数, 又有无限多个无理数, 故 不存在，从而 D(x) 在任意一点 x0 都不连续.· · 143143 · · 定义 函数不连续的点称为函数的间断点． 函数 f (x) 在点 x0 不连续只能是下列三种情况之一： 1) f (x) 在点 x0 没有定义 (但在 x0 的一侧或两侧邻近有定义); 2) f (x) 在点 x0 有定义, 且 存在, 但 3) f (x) 在点 x0 有定义，但 不存在. 通常称 f (x) 在点 x0 的左、右极限 f (x0- ), f (x0+ ) 都存在的间断点为第一类间断点，f (x0- ) 和 f (x0+ ) 至少有一个不存在的点称为第二类间断点. 在第一类间断点中, 称 存在的间断点为 f (x) 的可去间断点. · · 144144 · · 可去间断点只能有两种情况：或 f (x) 在点 x0 无定义, 或有定义但 这时只需补充定义 或改变 f (x0) 的值使它等于 则 f (x) 就在 x0 点连续, 故这类间断点称为可去的． 第一类间断点除可去间断点外，必有 f (x0- )≠ f (x0+ ) ，这种间断点称为跳跃间断点． 在第二类间断点中，若 f (x0- ) 和 f (x0+ ) 中至少有一个是 ∞, 则称之为无穷间断点． 例例 1 x = 0 是 的无穷间断点. 同样， 是正切函数 tan x 的无穷间断点. x = 0 是符号函数 sgn x 的跳跃间断点.· · 145145 · · 例例 2 函数 除 x = 0 外有定义, 当 x →0 时 的值在 -1 与 +1 之间无限次地上下变动, 故 不存在. 从而 x = 0 是 的第二类间断点, 这种间断点称为振荡间断点. 它的图形如图 2-14 所示，在 x = 0 的邻近，曲线上的点非常密集，并且当 x 越接近于 0, 点越密集，曲线上的点与线外的点几乎无法分辨．图 2-14· · 146146 · · 例例 3 函数 除 x = 0 外有定义, 且由于 故从而 x = 0 是函数 g(x) 的可去间断点. 若补充定义 g(0) = 0，则 g(x) 在点 x = 0 连续. y = g(x) 的图形如图 2-15 所示，曲线 与直线 y = x 和y = - x 有无穷多个交点, 其图形夹在这两条直线之间．图 2-15· · 147147 · · 例例 4 求函数 的间断点. 解 j (x) 是一个初等函数，除 x = 0, x = 1 外有定义. 由于故 从而 x = 0 是 j (x) 的无穷间断点． 又 故所以 j (1- ) = 0, j (1+ ) = 1，因此 x = 1 是 j (x) 的跳跃间断点. 第第 二 章章 完完 · · 148148 · ·Thank you!。