3.6磁场的能量和力.ppt

3．6 磁场的能量和力,3．6．1 电流回路系统的能量,电流回路系统的能量是系统中储存的磁能此能量是在建立电流的过程中由电源供给的，等于在建立该系统的过程中电源作的功如图3.30所示，设第j个回路中的电流ij由0开始增大，穿过第j个回路的磁通量也增大，回路中出现感应电动势，根据楞次定律感应电动势阻碍回路中电流的增大，电源（外加电压）必须克服感应电动势做功，这部分功就(将全部)转变成系统的磁场能量（假定所有电流回路固定不动，即没有机械功，又假定导线中流过电流时的焦耳损耗可以忽略不计） 这时回路上的外加电压和回路中的感应电动势是大小相等方向相反的克服感应电动势 需要的外加电压为,图3.30 电流回路系统的能量,（我们知道，回路中的感应电动势等于回路磁链的时间变化率(法拉第定律）) .第j个回路中的电流ij 增大时，回路中出现的感应电动势为,dt 时间内（与回路 j相连的）电源对回路 j 作的功（即非静电力搬运电荷dqj作的功）为,下面计算dψj ，穿过系统中N个回路的?回路J 的总磁链可以写为,dt 时间内电源对整个系统（设有N个回路）作的功为(回路不动时，其等于增加的磁能),k≠j 时，Mkj是互感系数；k＝j 时，Mkj 是自感系数，所以,把上式代入（3.111）式可得,,对于线性介质中的磁场，建立某一电流回路系统电源作的功是一定的，与建立该电流回路系统的过程无关。

在建立磁场时最初，回路的电流i1=0，i2=0……in=0，中间过程中，回路的电流分别为i1(t)、i2(t) …… in(t)，最终，i1=I1, i2=I2， in=In 在这一过程中，电源作的功转变成磁场能量 设每个回路中的电流都按比例均匀增大(最后达到终值) ，则在任一时刻各回路中的电流可以写为,上式中的 由0均匀增大到1把上式代入（3.113）式可得,,电路回路系统的总能量为(整个充电过程外电源提供的总能量在回路不动时，就是系统的总磁能),把（3.112）式代入（3.114）式中可得,（3.115）式与导体系统的能量（2.128）式形式上相同回路J 的总磁链,对于体电流分布 ，电流系统的总能量可以写为,由（3.114）? （3.96）式，（3.115）式可以写为,穿过曲面S的磁通量为:,,式中A是N个回路在dl j上的合成矢量位.,对于单匝线圈，穿过线圈的磁链与磁通相等，对于密绕的多匝线圈，如果无漏磁，则:,例题3.15 计算两个线圈组成的电流回路系统的能量，两个线圈的电流分别为I1、I2。

解：穿过两个线圈的磁链分别为,其中ψ11是线圈1中的电流产生的穿过线圈1的磁链，ψ21是线圈2中的电流产生的穿过线圈1的磁链，ψ22是线圈2中的电流产生的穿过线圈2的磁链，ψ12是线圈1中的电流产生的穿过线圈2的磁链，正号表示两磁链方向相同，负号表示两磁链方向相反由（3.115）式，该电流回路系统的能量为,,本题也可以用（3.114）式计算，对于2个电流回路的系统，（3.114）式中，j＝1时，k＝1，k＝2，可以写出2项,由自感系数和互感系数的定义可得,其中M12=M21=M，代入（3.118）式可得,j＝2时，k＝1，k＝2，又可以写出2项,因为,，所以,,,3.6.2 磁场的能量,把J=×H代入（3.117）式可得,,V是磁场≠0的整个空间区域，S是包围V的曲面，可取为无限大，在∞ 处，A、H都趋近于0，所以磁场的能量为,,磁场的能量密度为,对于各向同性的线性介质，磁场的能量密度可以写为,电流系统的总能量:,,,例题3.16 长同轴线的横截面如图3.31所示，设内、外导体的横截面上电流均匀分布，求单位长度内的磁场能量和电感解：先用安培环路定理求各区域内的磁场. 在r≤a的区域内,在a≤r≤b的区域内,图3.31 例题3.16,,在b≤r≤c的区域内,在r＞c的区域内磁场为零,即,,由磁场的能量密度,可以算出各区域单位长度内的磁场能量分别为,,,,,,,1,同轴线单位长度内的总磁能,所以单位长度的电感为,其中第一项是内导体单位长度的内自感，与（3.106）式相同；第二项是内外导体间单位长度的电感，称为主电感；第三项是外导体筒单位长度的内自感。

3．6．3 磁场力,1． 利用安培力和洛伦兹力公式计算磁场力 ⑴ 载流导线在磁场中受的力——安培力 一个电流元在磁场中受的安培力为,一个载流回路在磁场中受的安培力为,体电流和面电流在磁场中受的安培力分别为,⑵ 载流回路之间的相互作用力 电流元I1dl1对电流元I2dl2的作用力为,,其中r是两电流元之间的距离，er是由电流元I1dl1指向电流元I2dl2的单位矢量两载流回路之间的相互作用力可以写为,（3.128）式是确定电磁单位制中的基本单位――电流单位的依据3.129）式中，,，当d＝1m，每米导线受的力为,f=2×10-7牛顿时，导线上的电流即为1安培，这就是国际单位制（SI）中电磁基本单位安培的定义图3.32 电磁基本单位安培的定义,设有两条载有恒定电流I的无限长平行直导线，距离为d，如图3.32所示，作用在单位长度一段导线上的力可由（3.128）式计算得到,⑶ 运动电荷在磁场中受的力――洛伦兹力运动电荷在磁场中受的洛伦兹力为,其中v是q在磁场B中运动的速度根据（3.128）式可以制成一种绝对电流计，又称为安培秤，可以通过单纯力学量的测量确定电流的值图3.6.4 安培秤,,2． 利用虚位移原理计算磁场力,两个电流回路之间的作用力或一个电流回路在磁场中所受的力都可以用安培定律来计算。

事实上，磁场中的孤立电流回路、电流回路之间、磁铁之间以及电流回路与磁铁之间都会出现这种作用力，统称为磁场力原则上，磁场力都可以归结为磁场对电流元的作用力，但这种矢量积分很繁难如同计算电场力的情形一样，应用虚位移法计算磁场力在许多问题中要比用安培定律简捷很多 在电流回路系统中，我们假设某个电流回路在磁场力的作用下发生了一个小的虚位移，这时磁场力要做功，磁场能量也会产生变化根据能量守恒原理应有: 磁场力所做的功+磁场储能的增量＝外电源所提供的能量,几个电流回路的系统，设除第i个回路外，其余都固定不动，第i个回路（在磁场力的作用下）也只有一个广义坐标g变化（即移动dg距离，或转动角度，这时整个系统的磁场能量将发生改变 ），（按照能量守恒定律）则所有电源给系统提供的能量dW等于系统磁场能量的增量dWm再加上广义磁场力做的功fdg ，可以表示为,上式中f是广义磁场力，g是广义坐标f若是力，g就是在力的方向上移动的距离；f若是力矩，g就是在力矩的作用下转动的角度1．若各回路的磁链不变，各回路中没有感应电动势(各回路的感应电动势为零)，电源不需要克服感应电动势做功，dW＝0，第i个回路在磁场力的作用下移动dg距离，或转动角度，磁场力要做功,磁场力做功所消耗的能量必来源于磁场的储能(磁场能量减少),所以由,得,2．若各回路中的电流不变Ij＝C，电流回路与电源相连,第j个回路在磁场力的作用下移动dg距离，或转动角度，此时电源做功，各回路的电流不变，而磁链发生变化。

电源除了提供磁场力做功所消耗的能量，还使得磁场储能增加，由（3.111）式，dt时间内电源对各回路作的功为,由（3.115）式，电流回路系统的能量为,所以,自感系数L只与线圈的大小、形状、匝数及周围的介质等因素有关，互感系数M只与两线圈的大小、形状、匝数、周围的介质及相对位置有关dt 时间内电源对整个系统（设有N个回路）作的功为,,,,,,把（3.133）式和（3.134）式代入（3.131）式可得,所以磁场力为,对于两个电流回路的系统，系统的磁场能量为,若一个回路发生位移dg时，L1、L2不变，磁场力为,,,,例题3.17 图3. 34表示一个电磁铁，线圈的匝数为N，电流为I，铁芯中磁通为Φ，铁芯的横截面为S，求对衔铁的举力 解法一：令衔铁产生一虚位移dy（向下），调节电源的电压保持磁路中的Φ恒定，衔铁位移将引起空气隙中磁能的改变（铁芯与空气隙中的B相等，由wm=B2/(2)可知铁心中磁能密度远小于空气隙中的磁能密度，所以铁芯中的磁能改变可以忽略），所以磁能的改变为,,所以保持磁路中的Φ恒定，对衔铁的举力为,负号表示方向与ey方向相反，即为吸引力图3.34 例题3.17,密度,体积,,,,解法二：令线圈中的电流不变，用Wm=LI2/2表示线圈总的磁能，衔铁产生一个虚位移dy（向下），将引起Φ和L的改变。

由磁路的欧姆定律可以写出,,铁芯的磁阻,,两个空气隙的磁阻,,与解一中的结果相同移动的距离,,,例题3.18 一平面载流线圈中的电流为I1，面积为S，置于均匀外磁场B中，线圈的法线矢量与B的夹角为 ，求线圈受的力矩 解法一：设均匀外磁场是由电流I2 产生的，线圈与磁场的互感磁能为,线圈受的力矩为,用矢量可以表示为,图3.35 例题3.18,,,转动的角度,,解法二：线圈与外磁场的互感系数为,线圈受的力矩为,磁场力,。