实对称矩阵的对角化.ppt

单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,四. 实对称矩阵的对角化,实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化即存在可逆矩阵 , 使得,更可找到,正交矩阵 ，,使得,定理1：,实对称矩阵的特征值为实数.,证：设 是 的任一特征值，（往证 ）,是对应于 的特征向量，,则,设,用 表示 的共轭复数， 表示 的共轭复向量则,又 是实对称矩阵， 且,由(1)(2)有,等号两边同时左乘,左边,右边,即,,考虑,即 为实数定理1的意义：,因为对称矩阵 的特征值 为实数，所以齐次线性方程组,又因为 ，可知该齐次线性方程组一定有实的,,基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量是实系数方程组定理2：,实对称矩阵 的对应于不同特征值的特征向量,正交是依次与之对应的特征向量证：设 是对称矩阵 的两个特征值，且,则,于是,为实对称矩阵，,考虑,即 正交。

定理3：,为 阶实对称矩阵， 是 的 重特征值，,即 的基础解系所含向量个数为,则对应于 的特征向量中，线性无关的向量的个数为,（,则,）,知道结论即可,定理4,：,(实对称矩阵必可对角化),对于任一 阶,实对称矩阵 ，,一定存在,阶,正交矩阵,使得,其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角阵证：设实对称阵 的互不相等的特征值为,它们的重数依次为,则,由定理，特征值 （重数为 ）对应的线性无关的,,特征向量为 个把它们正交化，再单位化，即得 个单位正交的特征向量所以，可得这样的单位正交向量 个又 是实对称阵，,上面得到的 个单位特征向量两两正交以它们为列向量构成正交矩阵 ，有,不同特征值对应的特征向量正交，,其中 的对角元素含有 个,个,个,恰是 的 个特征值求正交矩阵 ，把实对称矩阵 化为对角阵的方法：,1. 解特征方程,求出对称阵 的全部不同的特征值。

即求齐次线性方程组,的基础解系3. 将属于每个 的特征向量先正交化，再单位化2. 对每个特征值 ，求出对应的特征向量，,这样共可得到 个两两正交的单位特征向量,4. 以 为列向量构成正交矩阵,有,,即,必须注意：对角阵中 的顺序,要与特征向量 的排列顺序一致例1：设,求正交矩阵 ，,使得 为对角阵解,：,,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,令,,令,先正交化：,再单位化：令,,当 时，齐次线性方程组为,令,得基础解系,单位化得,,得正交矩阵,有,,例2：设,求正交矩阵 ，,使得 为对角阵解：,,当 时，由,即,得基础解系,只需,把,单位化,，得,（考虑为什么？）,,当 时，由,即,得基础解系,只需,把,单位化,，得,,当 时，由,即,得基础解系,只需,把,单位化,，得,,得正交矩阵,有,,。