厄米算符讲稿.doc

§ 3.2 厄米算符 1§ 3.2 厄米算符设 为厄米算符，其本征问题的解可分为分立谱和Aˆ连续谱两种情况分立谱： ，)()(ˆxann,321例如无限深方势阱中粒子的哈密顿量为厄米算符，本征值问题的解为 nEHˆ)sin(2)(,31,2axxmnad0*1连续谱： )()(ˆxA例如动量是厄米算符，本征值问题的解为)()(ˆpx)e(21)(xip§ 3.2 厄米算符 2)()(*p 一、厄米算符的本征值为实数以连续谱为例证明Aˆ因 为厄米算符，则Aˆ ),ˆ(),(**二、厄米算符的本征波函数正交 分立谱： ，当 ；0),(nmn连续谱： ，当 ．以连续谱为例证明Aˆ因 为厄米算符，则Aˆ ),ˆ()ˆ,(§ 3.2 厄米算符 3),(),(所以 ，当 ．0),(如果把本征波函数归一化或归格化到 函数，那么厄米算符的本征波函数就构成一个正交、归一的函数系分立谱： }{n nmdxnnm,01)(),(*连续谱： }{)()(),(* dx三 、本征波函数构成完备集合1、分立谱情况可以证明：对于分立谱情况，厄米算符的本征波函数构成完备的函数系。

设 为厄米算符Aˆ§ 3.2 厄米算符 4)()(ˆxaAnn任何一个满足适当边界条件和连续性要求的波函数，均可作向 展开)(x)}({xn)(xCn展开系数按下式计算： dxnn)(),(*为证明上式，只要用 与展开式两边作内积mmnnCC,),(),( 综上所述：厄米算符的本征波函数构成一个正交、归一、完备的函数系正交、归一、完备的函数系  基底 }{n矢量代数中的基底： ,kji展开系数  态矢 在基矢 上的投影),(nCn 矢量 在基矢 上的投影iAxi集合  态矢 在基底 上的表示}{n}{n 在基底 上的表示,zyx ,kji§ 3.2 厄米算符 5用展开系数表示态 的归一化)()(ˆxaAnnCx1),(2n证明： nmnmn CC2**,),(),(1模方  态 中包括 的百分比2n用展开系数表示 在态 上的平均值Aˆ)()(xannCxnA2)ˆ,(证明：§ 3.2 厄米算符 6nmnnmmnnaCaA2**,),(ˆ),(模方  在态 上测量 所得结果中 出现的概率2nCAˆ展开系数  概率幅概率幅的集合  态 在 表象上的表示}{nˆ其实，概率幅  在坐标表象上的表示而已！)(x合理的假定：在任意状态上对力学量进行测量，所有可能出现的测量值都是该力学量的本征值。

由 表达的力学量在态 上的平均值用展开系)ˆ(AF数表示为 )()ˆ(2nnaFC§ 3.2 厄米算符 7[例题 1] 证明§1.3 列出的定态特征（3）：在定态上，任何不显含时间的力学量 的测量值的概率分布不随时Aˆ间变化设定态为 tEiEext)(,(力学量 的本征函数系为Aˆ}{n)()(ˆa把定态 中的 向 展开),(txExEn),( )(()EnnntEitinCxeCextx 在定态 上测量 得到的测值为 的概率为tAˆna22),(EnEtinCe显然不随时间变化§ 3.2 厄米算符 8[思考] 如果 不是定态，例如),(txtEitEiexe2211 )(, 那么在 上 的测量值的概率分布如何随时间变化?)(txAˆ封闭关系本征函数系 的完备性用封闭关系表示}{n)()(*xxn因为，如果 完备，则对任意态 都有展开式n)()(Cn代入 ),(nC nnnnxxddxx)()(][)(,(*因态 任意，则有封闭关系)()(*xxnn§ 3.2 厄米算符 92、 连续谱情况在连续谱情况下，要证明一个算符的本征函数系是否完备，有时是很困难的。

但经常用到的坐标和动量算符的本征函数系都是完备的下面列出的是分立谱和连续谱情况的对照表对照分立谱情况，容易推导连续谱情况的计算公式（课下推导）§ 3.2 厄米算符 10分立谱和连续谱对照表分立谱 连续谱本征方程正交归一封闭关系展开式展开系数归一化平均值测量值概率naAˆm,),()(*xnn(Cn),(n12naCA2nAˆ)(),()(*xdC),()12dCA)(d2§ 3.2 厄米算符 11（1）坐标本征方程： )()(00xx本征值为 的本征波函数： 0 )()00x因为: (x正交归一化条件： )()()( 00*00 xdxdx  封闭关系： )()()( 000*00 xxxx 完备性，任何波函数都可以向 “展开”：00)()(dxx（2）动量因为动量算符的本征函数系是定义在整条实轴上的平面波，作为 Fourier 变换的基底，其)(x完备性是显然的 § 3.2 厄米算符 12四 、简并若本征问题的解为 faAn,321ˆ一个本征值 对应一组线性无关的波函数na本征值  度简并f波函数  简并波函数},,{21nfn当 时 ，但当 时 ？m0)(0),(n简并波函数集合 中的波函数不一定正交。

21nfn[例题 2] 设两个态函数 和 不正交，试由它们构造两12个正交的态函数 和 ．221211§ 3.2 厄米算符 13用 代表 在 上的投影121121),(),(),( 由 和 构造21 1212),(容易验证 ．0),(三、量子力学的基本假设1、 物理体系的状态由希尔伯特空间中的态矢量描述，体系的每一个力学量由对这些态矢量作用的线性厄米算符表达2、 在任意状态 上，对力学量 进行足够多次测量，Fˆ所有可能出现的测量值都是 的本征值，所得结果的平均值为．),(ˆF3、 波函数随时间的演化满足薛定格方程4、 全同粒子的全同性假设（第四章讨论）。