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第一篇￿￿￿￿￿知识系统复习￿￿第一章￿￿￿￿￿数与式￿￿￿第一节￿￿￿￿￿实数的有关概念和运算￿￿￿第二节￿￿￿￿￿整式与因式分解￿￿￿第三节￿￿￿￿￿分式￿￿￿第四节￿￿￿￿￿数的开方￿￿￿￿￿二次根式重难点突破一￿￿￿￿￿￿￿数、式的综合计算题第二章￿￿￿￿￿￿方程（组）与不等式（组）￿￿￿第一节￿￿￿￿￿一元一次方程与二元一次方程组￿￿￿第二节￿￿￿￿￿￿分式方程￿￿￿第三节￿￿￿￿￿￿一元二次方程￿￿￿第四节￿￿￿￿￿￿￿一元一次不等式（组）重难点突破二￿￿￿￿￿￿方程（组）与不等式（组）的应用第三章￿￿￿函数￿￿￿￿第一节￿￿￿函数及其图象￿￿￿￿第二节￿￿￿￿￿￿一次函数的图象、性质与应用￿￿￿￿第三节￿￿￿￿￿￿反比例函数的图象与应用重难点突破三￿￿￿￿一次函数与反比例函数的综合运用￿￿￿￿第四节￿￿￿￿￿二次函数的图象与性质￿￿￿￿第五节￿￿￿￿￿二次函数的应用￿￿￿￿￿￿第1课时￿￿￿￿￿几何运用￿￿￿￿￿￿第2课时￿￿￿￿￿￿实际运用重难点突破四￿￿￿￿￿￿￿￿￿二次函数与一次函数的综合运用•第四章￿￿￿￿￿三角形•￿￿第一节￿￿￿￿￿角、相交线、和平行线•￿￿第二节￿￿￿￿￿三角形的基本概念及全等三角形•￿￿第三节￿￿￿￿￿等腰三角形•￿￿第四节￿￿￿￿￿直角三角形•第五章￿￿￿￿￿四边形•￿￿第一节￿￿￿￿￿多边形与平行四边形•￿￿第二节￿￿￿￿￿矩形、菱形、正方形•重难点突破五￿￿￿多边形的变化与证明•第六章￿￿￿￿￿圆•￿￿第一节￿￿￿￿￿圆的有关性质•￿￿第二节￿￿￿￿￿与圆有关的位置关系•￿￿第三节￿￿￿￿￿正多边形与圆￿￿￿圆有关的计算￿￿￿￿￿￿￿￿尺规作图•第七章￿￿￿￿￿图形与变换￿•￿￿￿￿第一节￿￿￿￿￿图形的平移、旋转与对称•￿￿￿￿第二节￿￿￿￿￿相似形•￿￿￿￿第三节￿￿￿￿￿锐角三角函数及解直角三角形•￿￿￿￿第四节￿￿￿￿￿视图与投影•第八章￿￿￿￿￿统计与概率•￿￿￿￿第一节￿￿￿￿￿统计及其应用•￿￿￿￿第二节￿￿￿￿￿概率及其应用第二篇￿￿￿￿￿￿￿重点题型突破•专题一￿￿￿￿数学思想方法•专题二￿￿￿￿规律探索题•专题三￿￿￿￿动手操作与方案设计•专题四￿￿￿￿实际应用型问题•专题五￿￿￿￿图形运动型问题•专题六￿￿￿￿￿代数几何综合题￿￿数学数学2024/9/5第一篇 知识系统复习第一章 数与式•第一节￿￿￿￿￿￿实数的有关概念和运算•第二节￿￿￿￿￿￿整式与因式分解•第三节￿￿￿￿￿￿分式•第四节￿￿￿￿￿￿数的开方￿￿￿￿二次根式•重难点突破一￿￿￿￿￿￿数、式的综合计算题第一节　实数的有关概念和运算负分数无理数分数0———有理数实   数整 数———正整数负整数———正分数———负无理数正无理数有限小数或循环小数无限不循环小数实数的概念1.数轴的三要素:　 　、　 　和单位长度. 2.　 　与数轴上的点一一对应.3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为　 　;若a,b 互为相反数,  则a+b=　 　;非零实数a的倒数为     　(a≠0); 若a,b互为倒数,则ab=　　;实数a的绝对值为|a|=4.乘方:求n个　 　因数a的　 　的运算叫做乘方. 原点原点正方向正方向实数实数-a0 1相同相同乘积乘积1.科学记数法:一般形式为a×10n(　 　≤|a|<　    　,n为整数).2.近似数:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.1.数轴比较法:数轴上的两个数,　 边的数总比　 　边的数大.2.性质比较法:正数>0>负数.3.绝对值比较法:a<0,b<0,若|a|>|b|,则a　 　b. 4.根式比较法:a>b≥0⇔5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b;    (2)a-b<0⇔a0,则(1)       >1⇔a>b;     (2)      <1⇔an).1.因式分解:把一个多项式化成几个整式　　 　的形式,因式分解是　　 　　的逆变形. 2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=　                　. (2)公式法:a2-b2=　　 　, a2±2ab+b2=　　 　. am+nanbnamnam-n积积多项式乘法多项式乘法M（（a+b+c））(a+b)(a-b)(a±b)2知识点知识点4:4:幂的运算幂的运算知识点知识点5:5:因式分解因式分解3.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.实际问题中的代数式甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次性降价30%.那么,顾客到哪家超市买这种商品更合算(　　)A.甲　　　　　　　　B.乙C.丙                          D.一样【分析】设商品的原价为m,用代数式表示出三家超市降价后的价格,然后比较.甲超市的售价为m(1-20%)·(1-10%)=0.72m,乙超市的售价为m(1-15%)2≈0.723m,丙超市的售价为m(1-30%)=0.7m,显然到丙超市合算.【解】C【方法归纳】列代数式的关键是找出问题中的数量关系,能准确地把文字语言转换成数学语言.具体地说:(1)正确理解和、差、积、商、多、少、倍、分等数学术语的意义.(2)要分清数量关系中的运算层次与运算顺序,必要时,要正确地添加括号.(3)分析语句所表达的数量关系时,除了要注意关键词的意义外,还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个量为基准的.(1)如果x=1时,代数式ax3+bx+3的值是5,那么当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值是　　　　. (2)有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入的x值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是　　　　,依次继续下去,第2013次输出的结果是　　　　. 求代数式值的常用方法求代数式值的常用方法【分析分析】(1)将x=1代入代数式ax3+bx+3.由值是5求出a+b的值,再将x=-1代入求值.∵x=1时,ax3+bx+3=5,∴a+b=2,因此,当x=-1时,ax3+bx+3=-a-b+3=-(a+b)+3=-2+3=1.(2)注意x为奇数或偶数的区分.由图可知,输入x=7时,第1次输出7+5=12;第2次输出×12=6;第3次输出×6=3;第4次输出3+5=8;第5次输出×8=4;第6次输出×4=2;第7次输出×2=1;第8次输出1+5=6.归纳得出输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环.∵(2013-1)÷6=335……2,则第2013次输出的结果为3.【解】(1)1　(2)3　3在几何图形中用整式运算求面积在几何图形中用整式运算求面积(2013·宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足　　　　. 【分析分析】表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,∴阴影部分面积之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.【解解】a=3b【方法归纳方法归纳】此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.因式分解因式分解【分析分析】(1)因式分解是把一个多项式化为n个整式的积的形式;(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”.【解解】(1)D　(2)A第三节　分　式1.形如       　(A、B是整式,且B中含有 ,B≠0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母. 2.分式有意义:在分式中,当　             　时,分式有意义;当　            　时,分式没有意义. 3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B≠0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.字母字母分母分母B≠0分母分母B=0知识点知识点1:1:分式的有关概念分式的有关概念知识点知识点2:2:分式的性质分式的性质( (约分、通分约分、通分) )1.分式的乘、除法:3.分式的加减法.4.分式的混合运算.【方法归纳方法归纳】(1)分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.2.分式的乘方:————————————知识点知识点3:3:分式的运算分式的运算分式的意义分式的意义【解】(1)1　(2)6　2分式的化简及求值分式的化简及求值【方法归纳】在最后由x的取值求值时,x要满足使化简前的原分式有意义.  [分析]①先化简分式;②x的取值要使化简前的原分式有意义.第四节　数的开方　二次根式知识点1:平方根、算术平方根与立方根正数a0负数a算术平方根平方根立方根知识点2:二次根式的有关概念(1)被开方数的因数是整数,因式是　　 　; (2)被开方数中不含有　　 　. 整式整式开得尽方的因数或因式开得尽方的因数或因式000没有没有1.形如       (a≥0)的代数式叫做二次根式.2.最简二次根式应满足的两个条件:知识点3:二次根式的性质1.双重非负性:        　 　0(a≥0).                 2.(        )2=　 　(a≥0);=         　       　.3.                                                       =(a≥0,b≥0);(  a   　≥0,     b　 　0).>≥a|a|知识点4:二次根式的计算1.二次根式的加减:　二次根式相加减,先把各个二次根式化成　　 　,再把　　 　分别合并. 2.二次根式的乘法:最简二次根式最简二次根式同类二次根式同类二次根式3.二次根式的除法:【【注意注意】】二次根式运算的结果可以是数或整式二次根式运算的结果可以是数或整式, ,也可以是最简二次根式也可以是最简二次根式, ,如果二如果二次根式的运算结果不是最简二次根式次根式的运算结果不是最简二次根式, ,必须化为最简二次根式必须化为最简二次根式. .知识点5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数　 　的两个能开得尽方的整数,对其进行　 　,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间. 相邻开方二次根式的概念及性质二次根式的概念及性质【解】D实数的估计【解】A2024/9/5重难点突破一　数、式的综合计算题实数的运算【【分析分析】】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简对值进行化简. .再按照从左到右的运算顺序进行计算再按照从左到右的运算顺序进行计算. .【【方法归纳方法归纳】】实数的混合运算是由很多考点综合而成的实数的混合运算是由很多考点综合而成的, ,第一步要化简正确第一步要化简正确, ,第二第二步注意运算顺序步注意运算顺序, ,第三步注意运算结果是否是最简形式第三步注意运算结果是否是最简形式. .计算分式的化简求值【【分析分析】】先将除式的分子、分母因式分解、约分先将除式的分子、分母因式分解、约分, ,再按照运算顺序再按照运算顺序, ,可可先算括号里面的先算括号里面的, ,也可用乘法分配律计算也可用乘法分配律计算; ;求值时求值时,a,a取的值必须使原分取的值必须使原分式有意义式有意义. .【【方法归纳方法归纳】】解决本题分三步走解决本题分三步走: :一化、二选、三代入一化、二选、三代入. . 二次根式的运算与化简求值二次根式的运算与化简求值第二章　方程第二章　方程( (组组) )与不等式与不等式( (组组) )•第一节　一元一次方程与二元一次方程组•第二节　分式方程•第三节　一元二次方程•第四节　一元一次不等式(组)•重难点突破二　方程(组)与不等式(组)的应用2024/9/5第二章　方程第二章　方程( (组组) )与不等式与不等式( (组组) )第一节　一元一次方程与二元一次方程组知识点1:等式的性质知识点2:一元一次方程1.含有　 　的等式叫做方程.使方程两边相等的　 　叫做方程的解. 2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是　 　,且等式两边都是　 　的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的标准形式. 未知数未知数的值1整式3.解一元一次方程的一般步骤是:①去分母,②去括号,③　 　,④　 　,⑤　 　. 移项合并同类项系数化为1知识点3:一次方程(组)及解法1.二元一次方程:含有两个未知数,并且　 　的次数都是一次的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解:使二元一次方程　 　相等的未知数的值叫做二元一次方程的解. 3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.4.解二元一次方程组的基本思想是　 　,将二元一次方程组转化为一元一次方程.有　 　消元法和　 　消元法两种. 未知数项左右两边消元加减代入【拓展】方程ax=b的解有以下三种情况:                 (1)当a≠0时,方程有且仅有一个解;                 (2)当a=0,b≠0时,方程无解;                 (3)当a=0,b=0时,方程有无穷多个解.知识点4:一次方程(组)的应用列一次方程(组)解应用题的一般步骤是:①审:即审清题意,分清题中的已知量和　 　; ②设:即设关键未知数;③列:即找出适当的等量关系　 　; ④解:即解方程(组);⑤检:即检查所得的值是否正确和是否　 　实际情况; ⑥答:即规范作答(包括单位名称).未知量列方程(组)符合二元一次方程组的解【解】②③④方程组的应用(2013·东营)如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂,制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15 000元,铁路运输费97 200元.求:        (1)该工厂从A地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品多少吨?(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?【【分析分析】】等量关系为等量关系为: :从从A A地到工厂公路运费地到工厂公路运费+ +从工厂到从工厂到B B地公路运费地公路运费=15 =15 000;000;从从A A地到工厂铁路运费地到工厂铁路运费+ +从工厂到从工厂到B B地铁路运费地铁路运费=97 200.=97 200.【解】(1)设从A地购买了x吨原料,从工厂运了y吨产品到B地,由题意得出(2)多出“300×8 000-(400×1 000+15 000+97 200)=1 887 800(元).答:(1)从A地购买了400吨原料,运往B地的产品300吨.　(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.【【方法归纳方法归纳】】建立合适的等量关系是解应用题的关键建立合适的等量关系是解应用题的关键. .第二节　分式方程知识点1:分式方程及其解法1.定义:分母中含有　　 　的方程,叫做分式方程. 2.解分式方程的步骤:分式方程                   　　 　→解整式方程→验根→确定原方程的根. 3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母为0的根不是　　 　　的根,叫做原分式方程的增根. 【注意】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母为0的根.字母字母整式方程整式方程原分式方程原分式方程知识点2:分式方程的应用列分式方程解应用题的关键是分析题意、从多角度思考问题、找准　　 　　,设出未知数　　 　　、最后还要注意求出的未知数的值,不但要是所列分式方程的　　 　　,而且还要符合　　 　　.等量关系等量关系列出方程列出方程根根实际意义实际意义分式方程的解法【【分析分析】】首先要确定最简公分母首先要确定最简公分母, ,然后根据等式的基本然后根据等式的基本性质去分母再解整式方程性质去分母再解整式方程, ,最后验根最后验根. .【【方法归纳方法归纳】】分式方程分式方程 整式方程整式方程 验根验根; ;去分母时防漏乘去分母时防漏乘. .分式方程的解分式方程的解【方法归纳】分式方程的解应代入最简公分母,使最简公分母不为0.分式方程的应用(2013·扬州)为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种480棵树,由于青年志愿者的支援,每天比原计划多种       ,结果提前4天完成任务,原计划每天种多少棵树?, 【【方法归纳方法归纳】】解分式方程步骤解分式方程步骤: :审题确定等量关系审题确定等量关系→→设未知数设未知数→→列方程列方程→→解方程解方程→→验根验根, ,判断根是否合理判断根是否合理→→确定根并作答确定根并作答. . 【【分析分析】】等量关系等量关系: :原计划时间原计划时间- -实际时间实际时间=4(=4(天天).).第三节　一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有　 　个未知数,并且未知数的最高次数是　 　的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是　 　. 2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是　 　,将一元二次方程转化为 　方程来解.主要有:①直接开平方法;②　 　——　 　法;④　 　法.3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:x=　 　 . 21ax2+bx+c=0(a≠0)降次配方公式一元一次因式分解知识点2:一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4ac.(1)Δ>0⇔方程有　 　; (2)Δ=0⇔方程有　 　; (3)Δ<0⇔方程　 　. 知识点3:一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=　 　,x1x2=　 　. 两个不相等的实根两个相等的实根没有实数根知识点4: 一元二次方程的应用步骤:①审;②设;③列;④解;⑤验;⑥答. 【【注意」列一元二次方程解应用题中，增长率注意」列一元二次方程解应用题中，增长率( (或下降率或下降率) )和利润问题是常考内容和利润问题是常考内容: : (1) (1)增长率等量关系增长率等量关系: : ① ①增长率增长率= =增长量增长量: :基础量基础量x 100%;x 100%; ② ②设设a a为原来量，为原来量，m m为平均增长率，为平均增长率，n n为增长次数，为增长次数，b b为增长后的量，则为增长后的量，则a (l +m)n a (l +m)n =b; =b;当当m m为平均下降率，为平均下降率，n n为下降次数时，则有为下降次数时，则有a(la(l一一m)n =b.m)n =b.(2)(2)利润等量关系利润等量关系: :①①利润利润= =售价一成本售价一成本; ;②②利润率利润率= =利润利润/ /成本成本××100%100%一元二次方程的解法解方程(x-1)(2x-1)=3(x-1).【【分析分析】】方程两边都含有因式方程两边都含有因式x-1,x-1,如果在方程两边同时约去如果在方程两边同时约去x-1,x-1,就就会导致方程失去一个根会导致方程失去一个根x=1.x=1.本题可先移项本题可先移项, ,利用因式分解法求解利用因式分解法求解. .【解】方程化为(x-1)(2x-1)-3(x-1)=0,即(x-1)(2x-1-3)=0,所以x-1=0或2x-4=0,所以方程的解为x1=1,x2=2.【【方法归纳方法归纳】】解一元二次方程时解一元二次方程时, ,不能随便在方程两边约去含未知数的代不能随便在方程两边约去含未知数的代数式数式, ,否则否则, ,可能导致方程失去一个根可能导致方程失去一个根. .一元二次方程的应用新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2 500元,市场调研表明:当销售价为2 900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5 000元,每台冰箱的定价应为多少元?【【方法归纳方法归纳】】解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上, ,寻求问题中的等量关系寻求问题中的等量关系, ,从而建立方程从而建立方程, ,本题采用灵活的间接设本题采用灵活的间接设未知数的方法未知数的方法. .【【分析分析】】每件利润每件利润××每天的销售量每天的销售量= =每天的利润每天的利润. .第四节　一元一次不等式(组)知识点1:一元一次不等式1.不等式的基本性质:不等式的性质1:若a>b,则a±c　 　b±c.不等式的性质2:若a>b,c>0,则ac　 　bc或        　     不等式的性质3:若a>b,c<0,则ac　 　bc或       　  2.解一元一次不等式的一般步骤:　　去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.>>><<知识点2:一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的　 　部分. 2.几种常见的不等式组的解集(a2×1 800.∴可多买两台冰箱.答:能多购买两台冰箱.我的想法:可以拿财政补贴款3 250元,再借350元,先购回两台冰箱,再从总价3 600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于还借款,这样不会增加实际负担.【【方法归纳方法归纳】】本题探求二元一次方程的特殊解本题探求二元一次方程的特殊解( (正整数解正整数解).).　甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动,已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20 800元,若两校联合组团只需花费18 000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?应用题中的分类思想人数m0200收费标准(元/人)908575某旅行社拟在暑假期间面向学生推出“大别山龙井峡一日游”活动，收费标准如下:【【分析分析】】(1)(1)人数可能大于人数可能大于200200人人, ,可能小于可能小于200200人人. .(2)(2)分甲校人数大于分甲校人数大于100100人小于人小于200200人人, ,或大于或大于200200人两种情况人两种情况. .∴甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人. 【解】(1)超过.理由如下:设两校人数之和为a,若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人，则a=18 000÷85≈211. 76. ∵a不是整数，∴两校报名人数之和超过200人.又∵报名人数之和超过200人时，有a=18 000 ÷75 = 240 , a为整数.∴两校报名参加旅游的学生人数之和超过200人. (2)设甲校报名参加旅游的学生有x人，乙校报名参加旅游的学生有y人，则:【【方法归纳方法归纳】】这道应用题这道应用题, ,由于题目所给条件比较隐蔽由于题目所给条件比较隐蔽, ,符合题符合题意的情况有多种意的情况有多种, ,解这类应用题时要考虑周全解这类应用题时要考虑周全, ,把各种情况下的把各种情况下的解全求出来解全求出来, ,这样不至于失解这样不至于失解, ,否则会造成解答不完整否则会造成解答不完整, ,犯以偏概犯以偏概全的错误全的错误. .方程与不等式的综合应用某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.(1)两种跳绳的单价各是多少元?(2)若学校准备用不超过2 000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?【【分析分析】】(1)(1)找两个等量关系找两个等量关系, ,列二元一次方程组求列二元一次方程组求解解.(2).(2)用用““不超过不超过””建立两个不等量关系建立两个不等量关系, ,求不等式求不等式组的整数解组的整数解. .【【方法归纳方法归纳】】方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案的个数方案的个数. .第三章　函　数第三章　函　数2024/9/5•第一节　函数及其图象•第二节　一次函数的图象、性质与应用•第三节　反比例函数的图象与性质•重难点突破三　一次函数与反比例函数的综合运用•第四节　二次函数的图象与性质•第五节　二次函数的运用• 第1课时　几何运用•     第2课时 实际运用第三章　函　数第三章　函　数第一节　函数及其图象知识点1:平面直角坐标系及点的坐标1.在平面内两条　 　且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.在平面直角坐标系中,一对有序实数P(x,y),即为点P的坐标. 2.平面直角坐标系内点的特征点P(x,y)(1)在第一象限,x　 　0,y　 　0;在第二象限,x　 　0,y　 　0;在第三象限,x　 　0,y　 　0;在第四象限,x　 　0,y　 　0.                                                                                                                                (2)在x轴上,　 　=0;在y轴上,　 　=0. (3)在第一、三象限角平分线上,则　 　;在第二、四象限角平分线上,则　 　. (4)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为　 　;点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为　 　;点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为　 　. 互相垂直>><＞<<>0,x+3>0,解得解得x>-3.x>-3.【解】x>-3分析实际问题中函数图象小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图),若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3,且v1减小3.一次函数y=kx+b的图象经过的象限:(1)当k>0时　　(2)当k<0时b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限b＞0，则过__________________象限b=0，则过__________________象限b＜0，则过__________________象限一、二、三一、二、三一、三一、三一、三、四一、三、四一、二、四一、二、四二、四二、四二、三、四二、三、四知识点3:函数解析式的确定:待定系数法步骤如下:(1)设出函数解析式的一般形式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程或方程组,求出待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设解析式.知识点4:一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系:(1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标⇔一元一次方程kx+b=0的解;一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)对应的x的取值范围⇔不等式kx+b>0(kx+b<0)的解集.(2)在同一坐标平面内有两个一次函数y1与y2的图象,若y1的图象在y2图象的上方(或下方),则y1>y2(或y10,k>0,∴∴-k<0,-k<0,∴∴一次函数一次函数y=kx-ky=kx-k的图象经过第一、三、四象限的图象经过第一、三、四象限. .【解】C【【方法归纳方法归纳】】根据正比例函数的性质判断出根据正比例函数的性质判断出k k的取值范围是解题的关键的取值范围是解题的关键. .一次函数与几何知识的综合运用如图，一次函数y=-2/3x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A,B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC , ∠BAC=90°,求过B,C两点直线的解析式. 【【分析分析】】利用三角形全等求出利用三角形全等求出C C点的坐标，然后点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式利用待定系数法求出直线的解析式. .【【方法归纳方法归纳】】求点的坐标就是求点到坐标轴的距离求点的坐标就是求点到坐标轴的距离, ,转化为在几何图形中求线段长转化为在几何图形中求线段长. .2024/9/5第三节　反比例函数的图象与性质知识点1:反比例函数的定义形如y=      (　 　,k为常数),其中k是　 　,x是自变量,y是x的反比例函数.图象的形状是　 　,且关于　 　对称. 知识点2:反比例函数的图象与性质函数图象所在象限性质Y=k/x（k≠0）k>0一、三象限(x,y同号)在每个象限内，y随x增大而______k<0二、四象限(x,y异号)在每个象限内，y随x增大而______k≠0常数双曲线原点减小增大知识点3:反比例函数的应用1.反比例函数中系数的几何意义.设P(x,y)是反比例函数y=       图象上任一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A,则△OPA的面积=     OA·PA=   　　 　　=    　　 　　.2.用待定系数法确定反比例函数.3.要善于运用数形结合思想解答与反比例函数有关的实际问题.|xy||k|反比例函数的图象与性质【【分析分析】】(1)(1)由反比例函数性质易求由反比例函数性质易求. (2). (2)反比例函数图象性质反比例函数图象性质:k>0:k>0时在每一时在每一象限象限y y随随x x增大而减小增大而减小, ,很显然很显然(x(x1 1,y,y1 1),(x),(x2 2,y,y2 2) )两点在第三限两点在第三限.0>y.0>y1 1>y>y2 2,(x,(x3 3,y,y3 3) )在第一象限在第一象限, ,则则y y3 3>0,>0,因此因此y y3 3>y>y1 1>y>y2 2. .【【方法归纳方法归纳】】当点在双曲线上不同象限时当点在双曲线上不同象限时, ,用点的坐标的符号分析出大小用点的坐标的符号分析出大小. .(1)已知点A(-1,y1) ,B(2 ,Y2)都在双曲线y= 上，且y1 > y2，则m的取值范围 是___________.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是反比例函数y= 图象上的点，且x1y2时,自变量x的取值范围.【【分析分析】】(1)(1)由点由点A A在正比例函数在正比例函数y y1 1=x=x图象上求点图象上求点A A的坐标的坐标, ,再代再代入入y y2 2= = 中求得中求得k.k.(2)(2)由图象性质得点由图象性质得点B B坐标坐标, ,当当y y1 1>y>y2 2时时, ,从两交点处看自变量从两交点处看自变量x x的取值的取值范围范围, ,考虑全面考虑全面. .(2)当y1=y2时,x= .解得x=±2.∴点B的坐标为(-2,-2).或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(-2,-2).由图象可知,当y1>y2时,自变量x的取值范围是:-22.[解】(1)设A点的坐标为(m,2)，代入y1 = x得:m =2，所以点A的坐标为(2,2).∴k=2x2=4.∴反比例函数的解析式为：y2= .【【方法归纳方法归纳】】本题考查了待定系数法及正比例函数与本题考查了待定系数法及正比例函数与反比例函数图象的性质反比例函数图象的性质, ,在写取值范围时在写取值范围时, ,分分x>0x>0与与x<0,x<0,再结合图象考虑全面再结合图象考虑全面. .由函数图象的性质求交点坐标及几何图形面积(2013·德阳)已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2= 的图象交于A、B两点.已知当x >1时,y1>y2;当00时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而　      　;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而　         　;当x=-    时,函数有最小值y=   减小增大4.当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-      )时,y随x的增大而　        　;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而　         　;当x=-   时,函数有最大值y=                    　. 增大减小【【注意注意】】二次函数中如果自变量的取值范围为全体实数二次函数中如果自变量的取值范围为全体实数, ,那么最大值或最小值就那么最大值或最小值就是顶点纵坐标是顶点纵坐标. .如果自变量取值有范围如果自变量取值有范围, ,那么二次函数的最大值或最小值由它的图那么二次函数的最大值或最小值由它的图象及性质确定象及性质确定. .知识点3:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置与a、b、c的关系1.a>0,开口　 　;a<0,开口　 　.|a|越大抛物线开口越小. 2.b=0,对称轴为　 　.a与b同号,对称轴在y轴左侧;a与b异号,对称轴在y轴右侧. 3.c=0,图象经过原点;c<0,与　 　相交;c>0,与y轴的正半轴相交. 4.b2-4ac=0,顶点在x轴上;b2-4ac>0,与x轴有　 　的交点;b2-4ac<0,与x轴没有交点. 向上向下y轴y轴负半轴两个不同知识点4:二次函数的解析式1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),已知图象上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.2.顶点式:y=a(x-h)2+k,已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2),已知图象与x轴的交点的横坐标x1、x2,通常选择交点式.1.b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有　 　个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根. 2.当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有　 　个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根. 3.当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴　 　交点,方程ax2+bx+c=0无实数根.21没有知识点5:二次函数与一元二次方程的关系移动方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减向上y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k-m下减【【注意注意】】二次函数图象的平移实质是顶点坐标的平移二次函数图象的平移实质是顶点坐标的平移, ,因此只要找出原因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式. .知识点知识点6:二次函数图象的平移二次函数图象的平移(设平移设平移m个单位个单位)知识点7:抛物线常见的几种变换1.绕顶点旋转180°.变换后与变换前a的符号相反,顶点坐标不变.2.将抛物线沿x轴翻折.变换后与变换前的a符号相反,顶点关于x轴对称.3.将抛物线沿y轴翻折,变换后与变换前的a相同,顶点关于y轴对称.二次函数的图象及性质已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0　②b0　④2c<3b　⑤a+b>m(am+b)(m为不等于1的实数).其中正确的结论是　　　       . ③④⑤③④⑤二次函数的增减性(2013·镇江)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;(2)点(x1,y1)、(x2,y2)在抛物线上,若x1y2.(3)∵对称轴是x=1,点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.∴点C的坐标是(3,2).设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则【【方法归纳方法归纳】】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和二次函数图象上点的坐本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征标特征. .解答该题时解答该题时, ,需要熟悉二次函数图象的对称性需要熟悉二次函数图象的对称性. .∴直线AC的解析式是y = 2x-4.2024/9/52024/9/5第五节　二次函数的运用第1课时　几何运用二次函数图象与三角形二次函数图象与三角形二次函数图象与平行四边形如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.【分析】(1)可设一般式,也可设交点式.(2)平行四边形分类:AB为边或AB为对角线.2024/9/5二次函数图象与平行四边形如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.【【分析分析】】(1)(1)可设一般式可设一般式, ,也可设交点式也可设交点式. .(2)(2)平行四边形分类平行四边形分类:AB:AB为边或为边或ABAB为对角线为对角线. .【【方法归纳方法归纳】】二次函数二次函数的解析式有三种常见形的解析式有三种常见形式式, ,根据题意选择一个根据题意选择一个最简便的形式求解最简便的形式求解; ;对对于平行四边形要考虑到于平行四边形要考虑到多种情形多种情形, ,线段线段ABAB可为可为一边一边, ,可为对角线可为对角线. . 二次函数图象与全等三角形、相似三角形的综合(2013·徐州)如图，二次函数 y=        + bx-     的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标:___________.(2)当点P段AO(点P不与A,0重合)上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值; (3)是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形?若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在，请说明理由.【【分析分析】】(2)(2)由由△△ADPADP∽△∽△OPEOPE可建立二次函数关系式可建立二次函数关系式, ,由二次函数图象性由二次函数图象性质求最大值质求最大值.(3).(3)由由△△PDEPDE是等腰直角三角形是等腰直角三角形, ,∠∠DPEDPE是直角及点是直角及点P P在在x x轴的位轴的位置置, ,可分析出有两种情况可分析出有两种情况, ,由由DPDP⊥⊥PE,DP=PE,PE,DP=PE,建立全等三角形建立全等三角形, ,易求点易求点P P坐标坐标, ,再由重叠图形的形状再由重叠图形的形状, ,求出对应的面积求出对应的面积. .第2课时　实际应用二次函数在求几何图形面积中的应用用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长12 m,这个矩形的长、宽各为多少时,菜园的面积最大,最大面积是多少?【解】设矩形垂直于墙面的边长为x m,则平行于墙面的一边长为(30-2x)m,设矩形菜园的面积为S,根据题意,得S=x(30-2x),即S=-2(x-7.5)2+112.5.∵矩形平行于墙的边长30-2x需满足条件:0<30-2x≤12,∴9≤x<15,又图象开口向下,对称轴为x=7.5,当x>7.5时,函数值y随x的增大而减小,∴当x=9时,S最大值=-2×(9-7.5)2+112.5=108.∴当长为12 m,宽为9 m时,菜园的面积最大,最大面积为108 m2.【方法归纳】解答本题容易忽视自变量的取值范围而误以为取x=7.5时得最大面积.【分析】根据矩形面积公式可以列出面积与宽之间的函数关系式,但是,在实际问题中要注意自变量的取值要与实际吻合.二次函数在求销售利润中的应用(2013·聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?【分析】(1)根据每月的利润z=(x-18)y,再把y=-2x+100代入即可求出z与x之间的关系式;(2)把z=350代入z与x的函数关系式中,解这个方程即可.将该关系式配方,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得的最大利润.(3)结合(2)及函数的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350,再根据限价32元,得出25≤x≤32,最后根据一次函数y=-2x+100中y随x的增大而减小,即可得出当x=32时,每月制造成本最低.【解】(1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x-1 800,∴z与x 之间的函数解析式为z=-2x2+136x-1 800.(2)由z=350,得350=-2x2+136x-1 800,解得x1=25,x2=43.∴销售单价定为25元或43元,每月能获得350万元利润.将z=-2x2+136x-1 800配方,得z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800的图象(如图所示)可知,当25≤x≤43时z≥350,又由限价32元,得25≤x≤32,根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小.当x=32时,每月制造成本最低(即销量最少),最低成本是18×(-2×32+100)=648(万元),因此,每月最低制造成本为648万元.【方法归纳】本题考查二次函数最大值在解决实际问题中的应用,求解的关键是从实际问题中列出利润与销售单价之间的函数关系式,并确定函数的最大值.2024/9/52024/9/5重难点突破四　二次函数与一次函数的综合运用利用抛物线轴对称性求三角形周长最小值,利用二次函数性质求面积最大值(2013·新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点的坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式.(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.(3)若点E是抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【【分析分析】】(1)(1)把把A(1,0),C(4,3)A(1,0),C(4,3)代入代入y=axy=ax2 2+bx+3+bx+3得到关于得到关于a,ba,b的二元一次方程组的二元一次方程组, ,求出求出a,ba,b的值的值, ,确定抛物线的解析式确定抛物线的解析式.(2).(2)根据轴对称的性质根据轴对称的性质, ,因为点因为点A A与点与点B B关于抛物线的对称轴对称关于抛物线的对称轴对称, ,所以抛物线的对称轴与直线所以抛物线的对称轴与直线ACAC的交点就是所求的点的交点就是所求的点D.(3)D.(3)在在直线直线ACAC的下方且在抛物线上找到一点的下方且在抛物线上找到一点E,E,设出点设出点E E的坐标为的坐标为(x,x(x,x2 2-4x+3),-4x+3),列出列出△△ACEACE的面积的面积S S与与x x的函数解析式的函数解析式, ,根据函数根据函数的性质求出的性质求出△△ACEACE的最大面积及的最大面积及x x的值的值, ,最后确定点最后确定点E E的坐标的坐标. .【方法归纳】(1)用待定系数法确定函数的解析式时,首先设出包含待定系数的函数解析式,根据已知条件列出关于待定系数的方程(组),通过解方程(组)求出待定系数的值,从而确定函数的解析式.(2)求一直线同侧的两线段的和的最小值问题,一般利用对称的性质转化为三点共线问题进行解决.(3)求实际问题中的最大值或最小值时,一般应先列出所求问题的函数解析式,再根据函数的性质进行求解.二次函数图象与特殊四边形及相似三角形的综合【【方法归纳方法归纳】】(1)(1)存在存在型问题一般先假设结论型问题一般先假设结论成立成立, ,把结论作为已知把结论作为已知条件参与推理计算条件参与推理计算, ,根根据计算结果作出判断据计算结果作出判断. .(2)(2)复杂问题求解时要复杂问题求解时要注意分类讨论思想的运注意分类讨论思想的运用用, ,防止漏解防止漏解. .2024/9/52024/9/5【【方法归纳方法归纳】】(1)(1)存在型问题一般先假设结论成立存在型问题一般先假设结论成立, ,把结论作为已知条件参与推理计把结论作为已知条件参与推理计算算, ,根据计算结果作出判断根据计算结果作出判断. .(2)(2)复杂问题求解时要注意分类讨论思想的运用复杂问题求解时要注意分类讨论思想的运用, ,防止漏解防止漏解. .•第一节￿￿￿￿角、相交线、和平行线•第二节￿￿￿￿三角形的基本概念及全等三角形•第三节￿￿￿￿等腰三角形•第四节￿￿￿￿直角三角形第四章￿￿￿￿三角形第四章　三角形第一节　角、相交线和平行线     知识点1:直线、射线、线段AC=BC=   AB⇔点C为线段AB中点.3.两点间的距离:连接两点的           　　的          　　. 1.定义:具有公共　　    　　的两条　　      　　组成的图形. 2.角平分线    角平分线上的点到角两边的距离　       　. 3.圆角、平角、直角4.两个角的和为　　       　　,则这两个角互为余角;两个角的和为　　     　　,则这两个角互                                 为补角. 5.同角(或等角)的　　   　　角或　　   　　角相等. 有且只有有且只有线段线段线段线段长度长度端点端点射线射线相等相等直角直角平角平角补补余余1.性质:过两点　               　一条直线;两点之间　　       　　最短. 2.线段的中点:      知识点2:角1.对顶角、邻补角、垂直的定义.2.同位角、内错角、同旁内角的定义.3.垂线的性质:   (1)在　　                  　　内,经过一点　　                               　　与已知直线垂直.    (2)垂线段最短.   (3)必须强调“在同一平面内”,否则,在空间里,经过一点与已知直线垂直的垂                                                                                                                                                          有无数条.4.点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的　　            的长度叫做点到直线的        离.“距离”是一个数量,而不是一条线段. 同一个平面同一个平面有且只有一条直线有且只有一条直线垂线段垂线段知识点3:相交线、垂线及其性质1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线　　       　　,必须强调过直线           外一点. 2.性质与判定:两直线平行⇔同位角　　       　　;两直线平行⇔内错角　　     　　;两直线平                   行⇔同旁内角　　       　　. 3.平行于同一条直线的两直线平行.4.两条平行线中,一条直线上的任意一点到另一条直线的　       　,叫做这两条平行线                     间的距离,夹在两条平行线间的平行线段　        　. 平行平行相等相等相等相等互补互补距离距离相等相等知识点4:平行线1.命题、真命题、假命题、逆命题、定理、逆定理的概念.2.证明一个命题是假命题时,只要举出　　     　　说明命题不成立就可以了. 3.反证法的含义:不是直接从　　      　　推出结论,而是从命题　　               　　出发,引出与　　                                                                                    　　,从而证明命题成立. 反例反例题设题设结论的反面结论的反面已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结果已知条件、定义、公理、定理相矛盾的结果知识点5:命题与证明线段、角的计算点A、B、C在一条直线上,AB=4 cm,BC= 6 cm,AB中点为M,BC中点为N,则MN=　　　　. 【分析】有两种情况:MN=    (AB+BC)或MN =    (BC-AB).【解】5 cm或1 cm平行线的性质与判定的综合运用如图,AB∥CD,分别探讨下面四个图形中∠APC与∠PAB、∠PCD的关系,请你从所得到的关系中任选一个加以证明.【分析】过点P作PE∥AB,由AB∥CD得AB∥PE∥CD,由平行线的性质可证明三个角 之间的关系.【解】①∠APC=∠PAB+∠PCD;                           ②∠APC=360°-(∠PAB+∠PCD);             ③∠APC=∠PAB-∠PCD;                            ④∠APC=∠PCD-∠PAB.证明:①过p作PE∥AB,∵AB∥CD,∴PE∥CD, ∴∠PAB=∠APE,∠PCD=∠CPE,∵∠APC=∠APE+∠CPE,∴∠APC=∠PAB+∠PCD.两点确定一条直线的探究问题阅读下列材料并填空:(1)探究:平面上有n个点(n≥2)且任意3个点不在同一条直线上,经过每两   点画一条直线,一共能画多少条直线?       我们知道，两点确定一条直线，平面上有2个点时，可以画         =1条直线；平面上有3个点时，一共可以画          =3(条)直线;平面上有4个点时，一共可以画         =6(条)直线;平面上有5个点时，一共可以画________条直线; ……平面上有n个点时,一共可以画_____条直线.      (2) 迁移:平面上有n条直线两两相交,最多有　　　个交点,最多有　　　对顶 角,　　　　对邻补角.        (3) 迁移:某足球比赛中有n个球队(n≥2)进行单循环比赛(每两队之间必须比赛一 场),一共要进行多少场比赛?      【分析】此题给出了几种特殊情况,可通过究结果.【方法归纳】平面上n个点，作图分析出结果,也可从分子、分母数字的变化规律得到探连接任意两点的线段有 条，探究过程与此题方法类似.                (2)按角分类:直角三角形、　                     　、　                        . 锐角三角形锐角三角形 钝角三角形钝角三角形知识点1:三角形的分类第二节　三角形的基本概念及全等三角形1.分类:按   边   分   类不等边三角形等腰三角形腰与底不相等腰与底相等即三边相等(等边三角形)2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和　　         　　第三边,任意两边之差　　        　　第三边.判断三条线段是否能够成一个三角形三边时,只需看较小两边的和是否大于第三边. 3.三角形的内角和与三角形的外角和(1)三角形的内角和等于　　        　　. (2)三角形的外角和等于　　        　　. (3)三角形的一个外角　　         　　与它不相邻的两个内角之和,大于　　                                                　　. 求三角形内角或外角时,要明确所求的角属于哪个三角形的内角或外角,注意题中的等量关系.大于大于小于小于180°360°等于等于任何一个不相邻的内角任何一个不相邻的内角1.三角形具有稳定性2.三角形中的重要线段:(如表)　　名称性质角平分线角平分线上的点到角　 　的距离相等,逆命题也成立;三角形的角平分线的交点到　 　的距离相等,这个交点叫三角形的　 　 中线直角三角形斜边上的中线等于斜边　 　 三角形的中线　 　三角形的面积 高线高线可能在三角形内、三角形外或边上垂直平分线三边垂直平分线的交点到三角形各个顶点距离相等,这个交点叫三角形的　 　 中位线三角形的中位线　 　于第三边,并等于　 　 两边两边三边三边内心内心一半一半等分等分外心外心平行平行第三边的一半第三边的一半【注意】三角形的中线、高线、角平分线都是线段而不是直线. 知识点2:一般三角形的性质1.判定三角形全等的条件有　　                                       　　,没有SSA,直角三角形全等的条件还有　　    　　. 2.全等三角形的对应边　　        　　,对应角　　     　　,对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线)　　      　　,周长　　        　　 ,面积　　        　　. SAS、、ASA、、AAS、、SSSHL相等相等相等相等相等相等相等相等相等相等知识点3:三角形全等三角形的分类已知a、b、c为三个正整数,如果a+b+c=12,那么以a、b、c为边能组成的三角形是:①等腰三角形.②等边三角形.③直角三角形.以上符合条件的正确结论是　　　　(只填序号). 【解】①②③【分析】题中对a、b、c有两个要求:一是a、b、c均为正整数,二是满足关系式a+b+c=12.那么当a =b =5,c =2时,该三角形就是等腰三角形;当a=b=c=4时,即为等边三角形;当a =3,b =4,c =5时,即为直角三角形.这就充分说明了三个结论都正确.角平分线的性质定理及逆定理的应用如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于P,若∠BPC=40°,则∠CAP=　　　　. 【解】 500【分析】点P是△ABC一个内角与一个外角平分线交点，点P一定在第三个内角的外角平分线上，则PA平分∠BAC的外角，求出∠BAC问题就迎刃而解.如图，过P作PG AB交BA延长线于G，作PH AC于H,PQ BC交BC延长线于Q，由题意知∠ 1= ∠ 2，∠ 3= ∠ 4, PG = PQ,PQ=PH, PG=PH, ∠ 5= ∠ 6, 又∠ BPC = ，易求出∠ BAC = ,∠ 5= ∠ 6=全等三角形的判定与性质和三角形中位线定理的综合(2013·永州)如图,M是△ABC的边BC的中点,AN平分∠BAC,BN⊥AN于点N,延长BN交AC于点D,已知AB=10,BC=15,MN=3.       【分析】先用ASA证明△ABN≌△AND,从而证明出BN=DN;再运用三角形中位线定理求出CD的长,运用全等三角形的性质求出AD的长即可求周长.       【解】(1)证明:∵AN平分∠BAC,∴∠BAN=∠DAN.∵BN⊥AN,∴∠ANB=∠AND=90°,又∵AN=AN,∴△ABN≌△ADN,∴BN=DN.(2)∵BM=CM,BN=ND,MN=3,∴CD=2MN=6.∵△ABN≌△ADN,AB=10,∴AD=AB=10.∴△ABC的周长=10+10+6+15=41.(1)求证:BN=DN.(2)求△ABC的周长.第三节　等腰三角形1.定义:有　　      　　相等的三角形叫做等腰三角形. 2.性质:(1)等腰三角形的两个　　        　　相等(简称“等边对　　         　　”). (2)等腰三角形的顶角　　        　　线、底边上的　　    　　线、底边上的　　   　　线互相重合(                                                        简称“三线合一”). (3)等腰三角形是　　   　　对称图形,有　　  　　条对称轴. 3.判定:如果一个三角形有两个　　    　　相等,那么这两个角所对的　　   　　也相等(简称“等角对等边”). 【注意】(1)“等边对等角”、“等角对等边”仅限于同一个三角形中边与角的关系.(2)如果等腰三角形的腰不明确时,注意分类思考.两边两边底角底角等角等角平分平分中中高高轴轴1角角边边 知识点1:等腰三角形1.定义:　　      　　都相等的三角形叫做等边三角形. 2.性质:等边三角形的三个　　    　　都相等,且都等于　　     　　. 3.判定:①三条　　   　　都相等的三角形是等边三角形; ②有一个角是　　   　　的　　     　　三角形是等边三角形. 1.定义:　　               　　一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段　　         　　的距离相等. 3.逆定理:到一条线段　　           　　距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三边三边角角60°边边60°等腰等腰垂直平分垂直平分两端点两端点两端点两端点知识点3:线段的垂直平分线 知识点2:等边三角形在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,则底角∠B=　　　. 【分析】按照题意我们可以画出如图①和如图②所示的两种图形.如图①,当交点在腰AC上时,△ABC是锐角三角形,此时可求得∠A=40°,所以∠B=70°;如图②,当交点在腰CA的延长线上时,△ABC为钝角三角形,此时可求得∠BAC=140°,所以∠B=20°.故这个等腰三角形的底角为70°或20°.【解解】70°或20°【方法归纳方法归纳】在等腰三角形中,只要知道其中一个内角的度数,就能算出其他两个内角的度数,如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角,必须分成两种情况来讨论.等腰三角形的分类思想等腰三角形、等边三角形的判定与性质等腰三角形、等边三角形的判定与性质【分析分析】如图,延长AD交BC于M,由AB=AC,AD是∠BAC的平分线可得AM⊥BC,BM=MC=    BC,延长ED交BC于N,则△BEN是等边三角形,故EN=BN=BE=6 cm,∴DN=6 cm-2cm=4cm,在Rt△DMN,∵∠MDN=30°,∴MN=     DN=   2 cm,∴BM=6 cm-2 cm=4 cm, ∴BC=2BM=8 cm.如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC, ∠EBC=∠E=60°,若BE=6 cm,DE=2 cm,则BC=　　　　cm. 【解解】8第四节　直角三角形在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c.(1)边与边的关系:(勾股定理)a2+b2=　　    　　; (2)角与角的关系:∠A+∠B=　　      　　; (4)斜边上中线等于斜边的　         　. c290°一半一半知识点1:直角三角形的性质1.有一个角是直角的三角形是直角三角形.2.勾股定理逆定理:如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.3.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三             角形.【注意注意】勾股定理逆定理是判断一个三角形是否是直角三角形的重要方法,应先确定最大边,然后验证两条短边的平方和是否等于最大边的平方.知识点知识点2:直角三角形的判定直角三角形的判定直角三角形中的计算问题A等腰直角三角形的性质的运用①②③④①②③④第五章  四边形•第一节￿￿￿￿多边形与平行四边形•第二节￿￿￿￿￿矩形、菱形、正方形•重难点突破五￿￿￿多边形的变化与证明第五章　四边形第一节　多边形与平行四边形1.多边形的内角和与外角和:任意n边形(n≥3)内角和等于　　               　　;外角和等于　　      　　. 2.从n边形的一个顶点出发可以引　　    　　条对角线,n边形对角线总条数为　　       　　条. 3.正多边形的定义:　　                                                  　　多边形.4.正n边形每个内角为　　            　　.  (n-2)·180° 360°n-3各边都相等各边都相等,各内角都相等的各内角都相等的知识点1:多边形的有关概念及性质  1.定义定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形.如图,当四边形ABCD为平行四边形时,(1)边的关系:AB∥CD,　　                 　　;AB=CD,　　         　　. (2)角的关系:∠ABC=　　          、∠BAD=　　            　　;     ∠ABC+　　               =180°. (3)对角线的关系:AO=CO,　　            　　; (4)是　　        　　对称图形. 　2.根据上述结论写出平行四边形的判定根据上述结论写出平行四边形的判定:(1)若AB∥CD,AD∥BC,则四边形ABCD为平行四边形;(2)若AB=CD,AD=BC,则四边形ABCD为平行四边形;(3)若AB=CD,　　 　　,则四边形ABCD为平行四边形; (4)若∠ABC=　　           　　、∠BAD=　　              ,则四边形ABCD为平行四边形; (5)若AO=CO,　　         　　,则四边形ABCD为平行四边形. AD∥∥BCAD=BC∠∠ADC　　∠∠BCD∠∠BCDBO=DO中心中心AB∥∥CD　　∠∠ADC∠∠BCDBO=DO知识点知识点2:平行四边形的性质和判定平行四边形的性质和判定•1.平行四边形的面积=　　         　　. •2.同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等.•3.过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及                                                                                                            周长.底底×高高知识点3:平行四边形的面积多边形的内角和与外角和定理(1)一个多边形的内角和是720°,这个多边形的边数是        (　　)      A.4　　　      B.5　　 　     C.6　　 　    D.7(2)若凸n边形的内角和为1  260°,则该多边形的对角线条数是________.　　        【分析】(1)由多边形的内角和公式:180°(n-2)=720°,n=6.(2)凸n边形对角线条数为:【解】(1)C　(2)27【方法归纳】熟练掌握多边形内角和公式:180(n-2).灵活运用公式计算多边形的内角和或已知内角和求边数.平行四边形的判定与性质综合运用【方法归纳方法归纳】本题考查平行四边形的判定与性质、勾股定理.平行四边形的判定方法共有五种,应用时要认真领会它们之间的联系与区别,同时要根据条件合理、灵活地选择方法.第二节　矩形、菱形、正方形知识点1:矩形的性质与判定名称性质定义与判定矩形1.四个角都是　 　 2.对角线相等3.既是　 　图形又 是轴对称图形 4.S=ab(a、b表示长和宽)1.有一个角是 　的平行四 边形 2.有三个角是        　的四边 形 3.对角线　       　的平行四 边形 直角直角中心对称中心对称直角直角直角直角相等相等名称性质定义与判定菱形1.四条边都相等2.对角线互相垂直,并且每条对角 线　 　一组对角 3.菱形的面积等于两条对角线乘积 的　 　 4.既是中心对称图形,又________　 　图形 1.有一组邻边________　 　 的平行四边形 2.四条边都相等 的　   3.对角线互相垂直 的 　 平分平分一半一半轴对称轴对称相等相等平行四边形平行四边形平行四边形平行四边形      知识点2:菱形的性质与判定名称性质定义与判定正 方 形1.四条边都相等,四个角都 是　 　 2.对角线相等且互相___________. 每条对角线平分一组对角 3.面积等于边长的_______1.有一个角是直角,一组邻边 相等的　 　 2.一组邻边相等的_______3.一个角是直角的_______4.对角线相等____________　 　 的平行四边形 直角直角垂直平分垂直平分平方平方平行四边形平行四边形矩形矩形菱形菱形互相垂直平分互相垂直平分知识点3:正方形的性质与判定【总结】平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系矩形、菱形的性质及判定正方形的判定和性质【方法归纳】寻找与正方形有关的线段之间关系常作辅助线构造全等形. 【分析】用正方形性质四边都相等、四角都是直角证三角形全等,可得到线段之间的关系.重难点突破五　多边形的变化与证明矩形、菱形、平行四边形与轴对称及动点的综合已知,在矩形ABCD中,AB=4 cm,BC=8 cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F,垂足为O.(1)如图①所示,连接AF、CE.求证:四边形AFCE为菱形,并求AF的长.(2)如图②所示,动点P、Q分别从A、C两点同时出发,沿△AFB和△CDE各边匀速运动     一周,即点P自A→F→B→A停止,点Q自C→D→E→C停止.在运动过程中,已知点P的速度为每秒5 cm,点Q的速度为每秒4 cm,运动时间为t秒,当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t的值.三角形的中位线与特殊四边形之间的关系第六章￿￿￿￿￿圆•第一节￿￿￿￿￿圆的有关性质•第二节￿￿￿￿￿与圆有关的位置关系•第三节￿￿￿￿￿正多边形与圆￿￿￿圆有关的计算￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿尺规作图第六章　圆第一节　圆的有关性质圆是平面内到定点的距离等于　      　的点的集合.1.圆是　        　图形,其对称轴是　                                         　. 2.圆是中心对称图形,对称中心为　        　. 3.圆具有旋转不变性,即圆绕着它的圆心旋转　                     　角度,都能与             原来的图 形重合. 定长定长轴对称轴对称任意一条过圆心的直线任意一条过圆心的直线圆心圆心任意一个任意一个      知识点1:圆的概念: 知识点2:圆的性质:半径的长度半径的长度无数无数不在同一直线上不在同一直线上1.垂径定理:垂直于弦的直径　       　这条弦,并且平分弦所对的两条弧. 2.推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.(2)弦的垂直平分线经过　       　,并且平分弦所对的两条弧. (3)平分弦所对的一条弧的直径　               　弦,并且平分弦所对的另一条弧. 平分平分圆心圆心垂直于垂直于圆的位置由圆心确定,圆的大小由　                   　确定. (1)过一点和两点均可作　       　个圆. (2)过　                               　的三点确定一个圆,“确定”指的是有且只有的意思. (3)过四点或四点以上作圆:当各点中每两点连线的垂直平分线相交于一点时,过各点的圆有一个,圆心为各垂直平分线的交点,否则过各点的圆不存在. 知识点4:垂径定理及推论 知识点3:圆的确定条件3.3.垂径定理与推论的延伸垂径定理与推论的延伸: :知识点知识点5:5:圆心角与圆周角圆心角与圆周角_________________________.∠ ACB=90°知识点知识点6:6:圆内接四边形及其性质圆内接四边形及其性质_________∠D1.定理:　　      　　或　　       　　中,相等的圆心角所对的弧　　       　　,所对的弦　　          . 2.推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弦和两条弧(同是优弧或劣弧)中有一组量相等,那么它们对应的其余各组量也分别　　         　　. 　　同圆同圆等圆等圆相等相等相等相等相等相等知识点知识点7:弦、弧、圆心角的关系弦、弧、圆心角的关系　【注意】(1)有关半径、弦、弦心距、弓形高的计算一般应通过构造由半径、弦长一半、弦心距所组成的直角三角形来解决.具体方法是用三边关系、锐角关系、边角关系来求解.(2)常见辅助线作法:与弦有关的问题,作弦心距;与直径有关的问题,常常依据直径所对的圆周角为直角构造直角三角形;反之有90°的圆周角考虑作它所对的弦得到直径.圆中有关概念的理解圆中有关概念的理解(2013·茂名)下列语句中正确的有　　. ①相等的圆心角所对的弧相等②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦③长度相等的两条弧是等弧④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴【分析分析】①③错误,遗漏了“同圆或等圆”这一条件.【解解】②④垂径定理及推论的运用垂径定理及推论的运用(2013·莱芜)如图,在☉O中,已知∠OAB=22.5°,则∠C的度数为                                                                                      (　　　　)A.135°　　　                     　B.122.5°C.115.5°                        D.112.5°圆周角定理运用圆周角定理运用【解解】D第二节　与圆有关的位置关系1.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,是三角形　　                           　的交点,到                　　          　的距离相等.2.三角形的内心:三角形内切圆的圆心,是三角形　　                         　的交点,到                           　的距离相等. 点P在☉O上⇔　  　; 点P在☉O外⇔　       　; 点P在☉O内⇔　        　.(r为☉O半径,d=OP) 三边垂直平分线三边垂直平分线三角形三个顶点三角形三个顶点三条角平分线三条角平分线三角形三边三角形三边d=rd>rdr知识点知识点3:3:直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系2.2.切线的性质切线的性质. .(1)切线的性质定理:圆的切线　　         　经过切点的半径. (2)推论1:经过切点且垂直于切线的直线必经过　　        　. (3)推论2:经过圆心且垂直于切线的直线必经过　　　           . 3.3.切线的判定定理切线的判定定理: :经过半径的外端并且            　　 这条半径的直线是圆的切线.4.4.证明直线和圆相切的方法证明直线和圆相切的方法: :(1)当已知直线与圆有公共点时,连半径,证　          　. (2)当不知道直线与圆是否有公共点时,过圆心作直线的垂线,证圆心到直线的距离等于　        　. 垂直垂直圆心圆心切点切点垂直垂直垂直垂直半径半径 图1PA=PB　　∠∠APO=∠∠BPO5.5.切线长定理切线长定理. .　　          　　,                                　　. ____________pr2.直角三角形的内切圆直角三角形的内切圆(如图如图2)    设AB=c,BC=a,AC=b,∠C=90°,内切圆半径为r,则r=                             　. 圆与圆的位置关系有下列5种情况:知识点知识点5: 5: 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系图2点与圆的位置关系的判定与性质点与圆的位置关系的判定与性质切线的判定切线的判定切线长定理的运用切线长定理的运用第三节　正多边形与圆　圆有关的计算　尺规作图1.半径为R,则C周长=　　        　. 2.n°的圆心角所对的弧长:l弧长=　　    　. 3.n°的圆心角所对的扇形面积:S扇形=　　         　或S扇形=　　                 . 1.圆柱的侧面展开图是　　      　,这个矩形的长等于圆柱的__________　　                 　C,宽是圆柱的　　    　l,如果圆柱的底面半径是r,则S圆柱侧=Cl=2πrl.(如图1) 矩形底面周长高知识点2:圆锥的侧面积和全面积知识点1:弧长与扇形面积的计算　【注意】(1)一些不规则阴影的面积的求法:采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积.(2)求曲面上二点间的最短距离应画出侧面展开图,在平面内利用“两点之间线段最短”解决.2.圆锥的侧面展开图是　　       　,这个扇形的　　        　等于圆锥的底面周长C,　　                  　等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r,这个扇形的圆心角为α,则α=           ·360°,S圆锥侧=    Cl=πrl.(如图2)扇形半径扇形弧长只用　　     　　和　　       　　来完成的图形,称为尺规作图. 圆规圆规直尺直尺作图痕迹作图痕迹知识点3:尺规作图知识点4:尺规作图的基本步骤(1)已知:写出已知的线段和角,画出图形.(2)求作:求作什么图形,使它符合什么条件.(3)作法:运用五种基本作图,保留　　                　　. (4)证明:验证所作图形的正确性.(5)结论:对所作的图形下结论.(1)作一条线段等于已知线段.(2)作一个角等于已知角.(3)作一个角的平分线.(4)经过一已知点作直线的垂线:①经过已知直线　　    　　一点作这条直线的垂线; ②经过直线　　    　　一点做已知直线的垂线. (5)作已知线段的垂直平分线.【注意注意】运用基本作图法作图时,一般先画出草图,分析作图步骤以及相应的字母表示,选择正确的作图程序,再按分析后编排的字母写出已知、求作,按步骤一边画图一边写好作法.上上外外知识点5:五种基本作图扇形的弧长扇形的弧长(1)(2013·淮安)若扇形的半径为6,圆心角为120°,则此扇形的弧长是　　　　. (2)(2013·徐州)已知扇形的圆心角为120°,弧长为10π cm,则扇形的半径为　　　cm. (3)(2013·黄冈)如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,边CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,点A经过的路线长为　　　　. 【解】(1)4π　       (2)15　            (3)6π扇形面积扇形面积【分析分析】根据旋转的性质可以判断△ACO≌△A'C'O,∴S阴影=S扇形AA'O-S扇形CC'O=×(652-152)=1 000π cm2.【解解】1 000π        (2013·朝阳)如图,AC是汽车挡风玻璃前的刮雨刷,如果AO=65 cm,CO=15 cm,当AC绕点O旋转90°时,则刮雨刷AC扫过的面积为　　　cm2. 圆锥侧面展开图圆锥侧面展开图一个圆锥的侧面展开图是一个半圆,则此圆锥母线长与底面半径之比为                                                                                                                    (　　)A.2∶1　　B.1∶2　　C.3∶1　　D.1∶3【解】A【方法归纳方法归纳】有关圆锥的侧面展开图中经常使用的等量关系式:圆锥底面周长等于侧面展开后扇形的弧长.线段垂直平分线和角平分线的作法线段垂直平分线和角平分线的作法(2013·平凉)两个城镇A、B与两条公路l1,l2位置如图,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?请在图中用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)题图【分析分析】仔细分析题意,寻找问题的解决方案.极据题意,可知点C应满足两个条件,一是段AB的垂直平分线上;二是在两条公路夹角的平分线上,所以点C应是它们的交点.即到城镇A、B距离相等的点段AB的垂直平分线上,到两条公路距离相等的点在两条公路所夹角的角平分线上,因此分别作出垂直平分线与角平分线,它们的交点即为所求作的点C.由于两条公路所夹角的角平分线有两条,因此点C有2个.【解】如图所示.【方法归纳方法归纳】本题借助实际场景考查了几何基本作图“作线段垂直平分线”和“作角平分线”以及它们性质的应用.题中符合条件的点C有2个,注意避免漏解.数学数学第七章￿￿￿￿￿￿￿￿图形与变换￿2024/9/5第一节￿￿￿￿￿图形的平移、旋转与对称第二节￿￿￿￿相似形第三节￿￿￿￿锐角三角函数及解直角三角形第四节￿￿￿￿视图与投影第七章　图形与变换第七章　图形与变换第一节　图形的平移、旋转与对称知识点1:图形的对称1.轴对称与轴对称图形的区别:轴对称图形是对于　 　个图形而言,轴对称是对于　 　个图形而言. 2.中心对称与中心对称图形区别:中心对称图形是对于　 　个图形而言,中心对称是对于　 个图形而言. 一两两一3.中心对称的性质:在成中心对称的两个图形中,连接对应点的线段都经过　              　且被　              　平分. 4.常见的轴对称图形有　 　、　 　、　 　、　 　、　 　等;常见的中心对称图形有　 　、　 　、　 　、　 　的正n边形等;有些图形既是轴对称图形也是中心对称图形,如　 　、　 　、　 　、　 　等. 对称中心对称中心等腰三角形矩形菱形等腰梯形正多边形平行四边形矩形菱形边数为偶数圆矩形菱形正n边形(n为偶数)知识点2:图形的平移与旋转1.图形的平移是由　                     　和　 　所决定. 2.图形的旋转是由　 　、　 　和　          　所决定. 3.平移、旋转、轴对称的联系与区别.(1)联系:这三种变换都是全等变换.(2)平移、旋转、轴对称的区别:平移变换旋转变换轴对称运动方式将图形沿某一个方向平行移动一定的距离将图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度将图形沿着某条直线折叠对应线段、对应角之间的关系平移变换前后图形的对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应点所连的线段平行且相等;对应角相等旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角轴对称的对应线段或延长线相交,交点在对称轴上,成轴对称的两个图形对应点连线被对称轴垂直平分平移的方向平移的距离旋转中心旋转方向旋转角知识点3:图形变换与坐标1.横(纵)坐标不变,纵(横)坐标按照比例增大或减小时,图形“拉长”或“压缩”.2.纵坐标不变,横坐标增加(减少),则图形沿x轴方向向　 　平移;反之,横坐标不变,纵坐标增加(减少),图形沿y轴方向向　 　平移. 知识点4:网格作图(对称、平移、旋转)1.对称作图的方法和步骤:(1)找出原图形的关键点;(2)作出关键点关于对称轴(或对称中心)的对称点;(3)按照原图形依次连接得到的各关键点的对应点,即得到对称后的图形.2.平移作图的方法和步骤:(1)确定平移的方向和平移的距离;(2)确定关键点,将各关键点按照要求的平移方向与距离作图;(3)按原图形的顺序连接平移后的关键点即得到平移后的图形.3.旋转作图的方法和步骤:(1)根据题意,确定旋转中心及旋转方向、旋转角;(2)找出原图形的关键点;(3)连接关键点与旋转中心,按旋转方向与旋转角将它们旋转,得到各关键点的对应点;(4)按原图形依次连接得到的各关键点的对应点,得到旋转后的图形.右(左)上(下)轴对称图形与中心对称图形的概念(2013·泰州)下列标志图中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(　　)【【分析分析】】(1)(1)把所要判断的图形沿一条直线折叠后把所要判断的图形沿一条直线折叠后, ,直线两旁的部分能够互相直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形重合的图形是轴对称图形. .(2)(2)把所要判断的图形绕着某个点旋转把所要判断的图形绕着某个点旋转180180°°后能与自身重合的图形是中心对后能与自身重合的图形是中心对称图形称图形. .【解】B图形的折叠与轴对称【【分析分析】】有两种情况有两种情况, ,△△CEB'CEB'中中, ,很显然很显然∠∠ECB'ECB'为锐角为锐角, ,当当∠∠EB'C=90EB'C=90°°时时, ,∠∠AB'E=90AB'E=90°°, ,则则A A、、B'B'、、C C共线共线, ,点点B'B'在对角线在对角线ACAC上上, ,可得可得B'C=2.RtB'C=2.Rt△△CEB'CEB'中由勾股定理可求中由勾股定理可求B'E=BE= ,B'E=BE= ,当当∠∠B'EC=90B'EC=90°°时时, ,可得四边形可得四边形ABEB'ABEB'为为矩形矩形, ,又又AB=AB',AB=AB',则四边形则四边形ABEB'ABEB'为正方形为正方形, ,则则EB=3.EB=3.【解】 1.5 或3(2013·河南)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是BC边上一点,连接AE,把∠B沿AE折叠,使点B落在点B'处.当△CEB'为直角三角形时,BE的长为　　　　. 如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF、CF.(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形;(2)如图②,当点P段BC上时,四边形PCFE是否是平行四边形,说明理由;(3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP的长;若没有,请说明理由.【分析】(1)通过△FBC≌△PBA易证FC=AP=PE,FC∥EP.(2)与(1)方法类似.(3)设BP=x,则BF=x,CP=3-x,设面积为y,可得y=x(3-x)=-x2+3x(0

 2.在平面直角坐标系中,如果以原点为位似中心,新图形与原图形的相似比为k,那么与原图形上的点(x,y)对应的位似图形上的点的坐标为_________或 _________相等相等成比例成比例相似比相似比相似比相似比相似比相似比相似比的平方相似比的平方相似相似相交于一点相交于一点互相平行互相平行位似中心位似中心位似位似(kx,ky)(-kx,-ky)比例的性质相似多边形的性质相似三角形的判定与性质【【[ [分析分析】】(1)(1)由两角对应相等的两三角形是相似三由两角对应相等的两三角形是相似三角形可得角形可得;(2);(2)由相似三角由相似三角形性质求形性质求BGBG长，由长，由ABAB长，可求长，可求AC,BCAC,BC长，在长，在Rt△ FCGRt△ FCG中由匀股定理求中由匀股定理求FGFG长长. .【【方法归纳方法归纳】】此题是由相似三角形性质与勾股定理相结合求边的长度此题是由相似三角形性质与勾股定理相结合求边的长度. . 位似图形的作图及位似图形的性质位似图形的作图及位似图形的性质如图,在所给网格图(每小格均为边长是1的正方形)中完成下列各题.(1)图形ABCD与图形A1B1C1D1关于直线MN成轴对称,请在图中画出对称轴并标注上相应字母M、N;(2)以图中O点为位似中点,将图形ABCD放大,得到放大后的图形A2B2C2D2,则图形ABCD与图形A2B2C2D2的对应边的比是多少?(注:只要写出对应边的比即可)(3)求图形A2B2C2D2的面积.第三节　锐角三角函数及解直角三角形知识点1:锐角三角函数1.锐角三角函数的定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c,则sinA=　　　　,cosA=　　　　,tanA=　　　　. 2.特殊角的三角函数值αsin αcos αtan α30°45°160°　3.直角三角形的边角关系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边分别是a,b,c.(1)三边关系:勾股定理　　 　　; (2)三角关系:　　 ; (3)边角之间的关系:　　sinA= =cosB,cosA= =sinB,tanA=　　. a2+b2=c2　　∠∠A+∠∠B=∠∠C=90°知识点2:解直角三角形在直角三角形中,由已知元素求 的过程叫做解直角三角形.其余未知元素其余未知元素 常见类型:已知条件解法一边一角已知斜边c和一个锐角A①∠B=90°-∠A②a=③b=已知一条直角边a和一个锐角A①∠B=90°-∠A②c=③b=两边已知斜边c和一条直角边a①b=②利用sinA= ,求∠A③∠B=90°-∠A已知两条直角边a,b①c=②利用 ,求∠A③∠B=90°-∠Ac·sinAc·cosAa/sinAtanA=知识点3:解直角三角形的实际应用1.仰角、俯角2.坡角、坡度(1)坡角即α;(2)坡比(坡度):i=　　 　　=       . 3.有关方位角问题(航海问题)的表示方法(如图)tanα知识点4:解直角三角形实际应用的方法　　解直角三角形或构造直角三角形解决实际问题一般先把实际问题转化为数学问题,若题中无直角三角形,需要添加辅助线构造直角三角形,再利用解直角三角形的知识求解,而需要注意的是在解直角三角形中,锐角三角函数起着桥梁作用.锐角三角函数及特殊角三角函数值由已知条件解直角三角形如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,∠BAC的平分线AD=        ,求∠B的度数及边长BC、AB的长.【【分析分析】】在在RtRt△△ABCABC中中, ,已知已知AC,AC,则需再设法找出另一条件则需再设法找出另一条件. .可先解可先解RtRt△△ACD,ACD,求出求出∠∠DAC,DAC,从而求出从而求出∠∠BAC,BAC,这样就可解直角三角形这样就可解直角三角形ABC. ABC. 【【方法归纳方法归纳】】在解直角三角形时在解直角三角形时, ,要注意灵活地运用已知的边和角求要注意灵活地运用已知的边和角求未知的边和角未知的边和角. .解直角三角形的实际应用2013·眉山)如图,某防洪指挥部发现长江边一处长500 m,高10 m背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固.经调查论证,防洪指挥部专家组制定的加固方案是:背水坡面用土石进行加固,并使上底加宽3 m,加固后背水坡EF的坡比i=1∶     .(1)求加固后坝底增加的宽度AF.(2)求完成这项工程需要土石多少立方米?(结果保留根号)【分析】(1)分别过点E、D作AB的垂线,设垂足分别为G、H.在Rt△EFG中,根据坡面的铅直高度(即坝高)及坡比,即可求出水平宽FG的长;同理可在Rt△ADH中求出AH的长;由AF=FG+GH-AH求出AF的长.(2)已知梯形AFED的上下底和高,易求得其面积.梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积.2024/9/5第四节　视图与投影知识点1:三视图1.三视图:从正面看到的图形称为　 　;从上面看到的图形称为　 　;从左侧面看到的图形称为　 　. 2.画三视图方法:(1)观察方向:正面、左侧面、上面;(2)视图特点:　 　对正,　 　平齐,　 　相等; (3)注意实线与虚线的画法.知识点2:平行投影中心投影平行投影中心投影性质(1)投射线相互平行;(2)得到的投影能够反映物体实际的形状和大小.(1)投射线相交于一点;(2)得到的投影放大(位似变换).主视图俯视图左视图长高宽判断方法分别自物体的两个边界点及其影子的对应两个边界点作两条直线,若两直线平行,则为平行投影.分别自物体的两个边界点及其影子的两个对应边界点作两条直线,若两直线相交,则为中心投影,其交点是光源的位置.常见例子阳光下物体的影子　 灯光下的影子知识点3: 立体图形的展开与折叠1.正方体的展开图是　 　个正方形(如图所示,共有11种展开图,自己试试看). 2.圆柱的展开图是两个　 　与一个　 　. 3.圆锥的展开图是一个　 　与一个　 　. 六圆矩形圆扇形投影的识别(1)小华拿一个矩形木框在阳光下玩,矩形木框在地面上形成的投影不可能的是(　　)(2)在同一时刻的阳光下,小明的影子比小强的影子长,那么在同一路灯下(　　)A.小明的影子比小强的影子长B.小明的影子比小强的影子短C.小明的影子和小强的影子一样长D.无法判断谁的影子长【分析】运用平行投影性质及变化规律.(1)矩形木框在地面上形成的投影是平行投影,应是平行四边形或一条线段,即相对的边平行或重合,故不会是梯形;(2)路灯下形成的投影是中心投影.在同一路灯下由于位置不同,影长也不同,所以无法判断谁的影子长.【解】(1)A　(2)D(2013·扬州)如图,下列四个几何体中,它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)中有两个相同,而另一个不同的几何体是(　　)【【分析分析】】本题考查根据几何体判断三视图本题考查根据几何体判断三视图. .正方体的三个视图均为正方形正方体的三个视图均为正方形; ;圆柱的主视图和左视图都是长方形圆柱的主视图和左视图都是长方形, ,俯视图是圆俯视图是圆; ;圆锥的左视图和主视图圆锥的左视图和主视图都是三角形都是三角形, ,俯视图是带圆心的圆俯视图是带圆心的圆; ;球的三个视图都是圆球的三个视图都是圆. .【解】B几何体的三视图A.①②　　B.②③　　C.②④　　D.③④由三视图推测数量及计算面积或体积下图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三视图.(1)请在几何体的俯视图中用数字标上各个位置上的小立方体的个数,并说明原几何体中小立方体的总个数;(2)若以上每一个小正方形的面积为1,则整个几何体的表面积为多少?【【分析分析】】由俯视图确定几何体的上、下底面积由俯视图确定几何体的上、下底面积, ,再由主视图、左视图确定前、再由主视图、左视图确定前、后侧及左、右侧的表面积后侧及左、右侧的表面积. .【解】(1)该几何体的俯视图上每个小立方体的个数应如图所示,搭成这个几何体的小立方体的个数为8;(2)整个几何体的表面积为30.【【方法归纳方法归纳】】确定一个几何体由多少个小立方体组成确定一个几何体由多少个小立方体组成, ,往往往需要把三个视图组合起来综合考虑往需要把三个视图组合起来综合考虑, ,并把结果在某一视并把结果在某一视图中表现出来图中表现出来. .此类型题考查空间想象能力和分析问题的此类型题考查空间想象能力和分析问题的能力能力. .第八章￿￿￿￿￿￿￿￿统计与概率•第一节￿￿￿￿￿￿￿￿统计及其应用•第二节￿￿￿￿￿￿￿￿概率及其应用2024/9/5第八章　统计与概率第八章　统计与概率第一节　统计及其应用知识点1:数据的收集方式数据的收集方式有　 　、　 　.知识点2:总体、个体、样本和样本容量1.所要考察对象的　 　称为总体,而组成总体的　 　称为个体,从总体中抽取的　 　叫做总体的一个样本,样本中　 　叫做样本容量. 2.用样本估计总体时,样本容量越大,样本对总体的估计也就越精确.3.用样本估计总体实际调查中常常采用抽样调查的方式获取数据,用　 　估计总体是统计的基本思想.  抽样调查全面调查(普查)全体每一个考察对象一部分个体个体的数目样本知识点3:频数　频率1.频数:对总的数据按某种标准进行分组,统计各组内含有的　 　叫做频数. 2.频率:每个小组的频数与数据总数的比值叫做这组数据的频率,即:频率= 　             ,频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量,所有频率之和等于　 　. 知识点4:统计图1.常见的统计图有:　                  　、　                　、　               　,　                            　. 2.统计图的选择(1)条形图能够显示　 　; (2)扇形图能够显示 ;(3)折线图能够显示　 　; (4)直方图能够显示　 　. 数据的个数1条形统计图折线统计图扇形统计图频数分布直方图每组中的具体数据部分在总体中所占的百分比数据的变化趋势数据的分布情况3.统计图表中信息的获取条形统计图与扇形统计图是统计图综合考查的常见形式,它主要体现的是:频数、频率、总数三者之间的关系.从条形统计图中可显示每组的具体数据(即频数);从扇形统计图中可以看出部分在总体中所占的百分比(即频率).知识点5:数据的分析(如表)平均数、众数、中位数的意义及计算(1)(2013·滨州)如表是晨光中学男子篮球队队员的年龄统计,他们的平均年龄是　              . 年龄13141516人数1551(2)小明在九年级进行的六次数学测验成绩如下(单位:分):76、82、91、85、84、85,则这六次数学测验成绩的众数和中位数分别为(　　)A.91,88　　B.85,88        C.85,85D.85,84.5【【分析分析】】(1)(1)按加权平均数的算法算出平均年龄按加权平均数的算法算出平均年龄. .他们的平均年龄是他们的平均年龄是:(13:(13××1+141+14××5+155+15××5+165+16××1)1)÷÷12=14.5(12=14.5(岁岁).).(2)在一组数据中,出现次数最多的数叫做这组数据的众数;若x1