巧在立意 妙在链接.pdf

中小学数学 2014年1、2月中旬(初中) 笔者担任了2013北京市中考西城阅卷点第25题 的阅卷工作，整理了对该压轴题的认识和部分学生的 精彩解法，希望编辑老师批评指正． 【原题再现】(北京中考第25题) 对于平面直角坐标系xoy中的点P和oC，给出如 下定义：若oC上存在两个点A、B，使得AAPB=60则 称P为④C的关联点． 1 1 已知点D(去，去)，E(0，--2)，F(2√3，0)． (1)当oO的半径为1时， ①在点，)，E，F中，0O的关联点是——； ②过点F作直线z交Y轴正半轴于点G，使／_GFO= 3O若直线?上的点P(m，n)是o0的关联点，求m的 取值范围； (2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点， 求这个圆的半径r的取值范围． 本题以新定义的“关联点”为背景，设置情境新 颖，设问逐层深入，学生入手容易推进难．不是简单的 高中知识的下放，而是关注高中所需要的数学思想方 法，体现初中高中衔接，是一道能力立意的好题 值 得一提的是，在2012年北京市中考第25题，考察的也 是从新定义的“非常距离”出发，理解概念，解决与此 概念有关的问题，和本题的考察方式类似．因此，这类 试题是北京市近两年的特色试题． 一、以新定义立意，关注试题的“公平性” 纵观很多省市的中考压轴题，命制途径主要来源 以下两个方面： 1．竞赛试题的改编．对于复杂的数学竞赛试题搭 设合理的“台阶”．例如：把竞赛题的某种特殊情况设计 成简单的一问，一般情况设计成较难的一问，希望考 生能从解决特殊的问题中发现解决一般问题的方法． 2．通过阅读材料实现对于高中知识的下放．例如： 很多省市的一些压轴题本质上用到的是抛物线到焦 点的距离等于到准线的距离相等． 但是，这样的考察方式确有其弊端．对于前一类， 我们很难保证高水平的回学没有见过竞赛题的原题， 如果是这样就损失了一定的公平性．对于后者，我们也 会发现有些同学超前学习了高中知识，解决这类问题 第4O页 就变得非常容易，或者方法上显得占有优势，这也不 是中考命题的初衷． 我们发现北京市的压轴题与上述两种命题途径 不同．它给出的是一个在任何地方都见不到的新定义， 这种定义不是知识超前就可以遇到的，阅读理解新定 义的本身也是一种数学能力，此后自然地设计和此定 义有关的问题，对于每个在考场上解决问题的同学是 “公平的”． 二、以能力立意。

关注试题的“发展性” 之所以说本题是能力立意原因在于，试题的每一 问的解决都蕴含着对于数学能力的考察． 第(1)题①是通过具体的例子考察学生的数学阅 读能力．在本问题中，考察学生对于关联点概念的理 解，体现了学生的现场学习能力． 第(1)题②考察的是运用新定义和原有知识链接 解决问题的能力．这其中不仅包含着知识的运用还包 含诸如轨迹等思想的运用．例如：通过切线等知识，计 算关联点的临界点的位置，同时还需要发现(1)中所 有o0的关联点的轨迹是在半径等于2的圆的内部以 及圆周，从而确定直线Z上的关联点，只需要求Z与上 述轨迹的公共部分． 第(1)题的两小问从理解问题到解决问题，体现 了问题的“发展性”． 第(2)题用对称的思想去思考问题，用不等式的 语言去描述解法． 在思考的时候，首先发现圆心到EF两点的距离 的最大值，是决定圆的半径的因素．其次，比较容易的 可以想到，如果圆心不在E，中垂线上的时候，可以调 整到圆心到EF中垂线上使得圆心到E，F两点的距离 的最大值的变小．再次，发现如果圆心没有落到线段 EF上的时候，圆心到线段E、F的距离的最大值也不可 能取到最小，从而半径也不可能最小，因此，半径，的 下界一定是圆心在 中点的圆取得的． 而对于上述思考过程的，严格化说理，则是需要 不等式的语言才能进行．对于学生能力要求也比较高． 从这里我们可以看出对于学生能力的要求也是具有 “发展性”的． 中小学数学 2014年1、2月中旬(初中) 三、层层递进，关注了设问的“链接” 仔细推敲，每一问的设问和设问之间的联系，发 现“链接”非常紧密． 第(1)题的①给出的D,E、，三个点目的在于让学 生理解关联点的定义．如点D是圆内的点，学生会思考 在圆内的点是否是关联点．点E是关联点的临界位置， 学生会体会到E点与圆的两条切线的夹角是6O。

时是 关联点的临界位置．点F离圆心比较远，让学生体会F 与圆的两条切线的夹角是小于60时，点F不是关联 点． 第(1)题②给定圆的半径确定满足条件的关联点 是“正向”的利用定义和已有知识解决问题，第(2)题 则是给定关联点去确定半径的取值范围是“反向”利 用定义和已有知识解决问题，实现了问题串很好的 “链接”． 四、一题多解关注了方法的“链接” 判定一个题目是否有很好的教学功能，解法的多 样是其中的一条重要指标．从某种意义上讲，单一解法 的题目教学价值和推广价值都受到相应限制． 但是本题中第1问②，第2问除了评分标准中给 出的是偏向几何的方法1．事实上，对于我们也可以给 出解法2，是偏向解析的做法的，可以作为初高衔接的 很好素卡才． 这里的代数和几何方法的交相呼应也体现了方 法的“链接”． ． 第1问②【方法1】：当OP----2时， 过点P向o0作两条切线 ，P (A，日 为切点)，则厶4PB=60o， ．·．点P为o0的关联点． 事实上，当O≤OP≤2时，点P是o0的关联点；当 OP>2时，点P不是o0的关联点． -．’Ff2 ，0J，R／_GFO=30 ．·．／_OGF=6Oo，OF=2 ，OG=2． 如图，以D为圆心，OG 为半径作圆，设该圆与f的 另一个交点为 当点P段GM上 时，OPt2，当P是O0的关 联点． 当点P段GM的延 ^ _ 长线或反向延长线E时，OP>2，当P不是O 0的关联点．． 连接OM，可知△GO 为等边三角形． 过点 作删上 轴于点Ⅳ，可得／_MON=3O。

ON： ，．·．0≤m≤、 ． 【方法2】：若点P是0O的关联点， 过P向圆引切点PM， ，切点分别为M， Ⅳ，则有AMPN>~AAPB=60连接OP，OM， ‘．‘在Rt△PMO甲， 厶Mp0／>30o． ·．sin AMPO OM≥ ，由于伽=1， ．．DP≤2， ·． ：，，t一 +2， ● l G ， 口 ‘ i ● i~P(m，一孚m+2J，脯 一、 卯=Jm2+(一警m+2) ≤2， 化简，得：m m一 O， ．·．O≤m≤、压， ● …… C 、 卜J一．．．．． 一； J 暑 _ 第2问【方法1】：设该圆圆心为c 根据②可得，若点P是OC的关联点，则O≤Pc≤ 2 由题意，点E，F都是oC的关联点， ．’．EC<~2r，FC≤2r，．‘．EC+FC<~4r， 又 ．‘EC+FC≥EF(当点C段EF上时，等号 成立)， ．4 EF． ． ‘ E(o，一2)，F(2 3，o}， ．‘．EF=4， ．‘．r≥l_ 事实上，当点C是EF的中点时，对所有 1的OC， 线段EF上的所有点都是oC的关联点， 综上所述，彦1． 【方法2】：设该圆圆心为c 根据②可得，若点P是Oc的关联点，则PC~2r． 设圆心C ， ，半径为r，则CE<~2r，CF<~2r， ．-．CE ： +(y+ ≤4，， = 一2 ) + ，，， ．·．8r2≥2x 一4√ +12+2'， + +4 =2(x- ) +2(y-1) +8≥8， ．‘．r≥1． ， 第41页 。