山西省太原市高中数学竞赛解题策略几何分册第32章勃罗卡定理.doc

第32章勃罗卡定理勃罗卡定理凸四边形内接于，延长、交于点．延长、交于点．与交于点．联结，则．证法1如图，在射线上取一点，使得，，，四点共圆（即取完全四边形的密克尔点），从而、、、及、、、分别四点共圆．分别注意到点、对的幂，的半径为，则．．以上两式相减得，即．同理，．又由上述两式，有．于是，由定差幂线定理，知．证法2如图，注意到完全四边形的性质．在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且，由此知为过点的的弦的中点，亦即知，，三点共线，从而．同理，在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且，亦有．于是，知为的垂心，故．证法3如图．注意到完全四边形的性质，在完全四边形中，其密克尔点在直线上，且．联结、、、、．此时，由密克尔点的性质，知、、、四点共圆，、、、四点共圆，即有，从而，即知点在的外接圆上．同理，知点也在的外接圆上，亦即知为与的公共弦．由于三圆，，两两相交，由根心定理，知其三条公共弦，，共点于．即知，，共线，故．该定理有如下推论推论1凸四边形内接于，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，直线与直线交于点，则为完全四边形的密克尔点．事实上，若设为完全四边形的密克尔点，则在上，且．由勃罗卡定理，知，即．而过同一点只能作一条直线与已知直线垂直，从而与重合，即与重合．推论2凸四边形内接于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，为完全四边形的密克尔点的充要条件是于．推论3凸四边形内接于圆，延长、交于点，延长、交于点，与交于点，则为的垂心．事实上，由定理的证法2即得，或者由极点公式：，，两两相减，再由定差幂线定理即证．下面给出定理及推论的应用实例．例1（2001年北方数学邀请赛题）设圆内接四边形的两组对边的延长线分别交于点，，两对角线交于点，则圆心恰为的垂心．事实上，由推论3知为的垂心，再由垂心组的性质即知为的垂心．例2如图，凸四边形内接于，延长，交于点，延长，交于点，与交于点，直线交于点．求证：．证明由勃罗卡定理知，于点．延长交于点，则在完全四边形中，点，调和分割，从而，，，为调和线束，而，于是平分，即．延长交直线于点（或无穷远点），则知，调和分割，同样可得．故．例3（2011年全国高中联赛题）如图，锐角三角形的外心为，是边上一点（不是边的中点），是线段延长线上一点，直线与交于，直线与交于点．求证：若，则，，，四点共圆．证明用反证法．若，，，四点不共圆，则可设的外接圆与直线交于点，直线交直线于．直线交直线于．联结，则由勃罗卡定理，知．由题设，，从而知．即有．①对及截线，对及截线分别应用梅涅劳斯定理有及．由①，②得．再应用分比定理，有，从而．于是，．即有，从而，得到为的中点，这与已知矛盾．故，，，四点共圆．例4（1997年试题）设四边形内接于圆，边与的延长线交于点，与的延长线交于点．由点作该圆的两条切线，，切点分别为，．求证：，，三点共线．证明如图，设的圆心为，与交于点，联结，则由勃罗卡定理，知．设直线交于点，则由推论1，知为完全四边形的密克尔点，即知、、、四点共圆．又、、、四点共圆，且为其直径，注意到，知点也在上．此时，，，分别为，，两两相交的三条公共弦．由根心定理，知、、三条直线共点于．故，，三点共线．例5（2006年瑞士国家队选拔赛题）在锐角中，，为的垂心，为的中点，、分别为，上的点，且，、、三点共线．求证：的外接圆与的外接圆的公共弦垂直于．证明如图，分别延长，交、于点、，则知、、、及、、、分别四点共圆，且为的直径，点为的圆心．设直线与直线交于点，联结，则在完全四边形中，由勃罗卡定理，知．设直线交于点，则由推论1，2知，且为完全四边形的密克尔点，由此，即知为与的另一个交点，亦即为与的公共弦，也可由根心定理，知三条公共弦，，所在直线共点于．故．下证点在的外接圆上．延长至，使，则四边形为平行四边形，由此亦推知在上．由，有．由，有，并注意，，于是由，有，即．而，则，即有．于是，，即点在的外接圆上．故的外接圆与的外接圆的公共弦垂直于．下面看定理的演变及应用将定理中的凸四边形内接于圆，演变成凸四边形外切于圆，则有例6如图，凸四边形外切于，延长、交于点，延长、交于点，与交于点．则．证明设与边，，，分别切于点、、、，则由牛顿定理，知、、、四线共点于．注意到，在等腰中应用斯特瓦尔特定理，有．同理，．由上述两式相减，得．联结、、、，设的半径为，则由勾股定理，有，．又显然，有．于是，．由定差幂线定理，知．由此例及勃罗卡定理，则可简捷处理如下问题：例7（1989年预选题）证明：双心四边形的两个圆心与其对角线交点共线（双心四边形指既有外接圆，又有内切圆的四边形）．证明如图，设，分别为四边形的外接圆、内切圆圆心，与交于点．当为梯形时，结论显然成立，，，共线于上、下底中点的联线．当不为梯形时，可设直线与直线交于点，直线与直线交于点，联结．由勃罗卡定理，知；由例6的结论，知．故，，三点共线．将推论2中的凸四边形内接于圆演变为一般的完全四边形，其密克尔点变为凸四边形对角线交点在完全四边形另一条对角线上的射影，则有例8（2002年中国国家队选拔赛题）如图，设凸四边形的两组对边所在直线分别交于，两点，两对角线的交点为，过作于点．求证：．事实上，可类似于前面例2的证法即证得结论成立．将勃罗卡定理中的凸四边形对角线的交点演变为三角形的垂心，则有例9（2001年全国高中联赛题）如图，中，为外心，三条高、、交于点，直线和交于点，和交于点．求证：（1），;（2）．证明（1）由、、、四点共圆，知．又，即，故．同理，．（2）要证，由定差幂线定理知，只要证明有即可．注意到，有，①，有．②，有，③，有，④，有．⑤由①②③④⑤得．即有．故．将例9中的外心演变为一般的点，则有例10如图，设是的垂心，是所在平面内一点，作于，交的延长线于点，作于交的延长线于点．求证：．证明要证，由定差幂线定理知，只要证明有即可．注意到，，分别有，．从而得．①由，有，，有，，有．从而得．②由①，②得．故． / 文档可自由编辑打印。