绝对值不等式的性质及其解法.ppt
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绝对值不等式性质及解法 考纲要求考纲要求 二、绝对值不等式1、绝对值三角不等式 O=a(a>0)A(a)x|a|xA(a)B(b)|a-b|任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B，那么|a-b|的几何意义是A、B两点间的距离 实数a的绝对值|a|的几何意义是表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离：=-a(a<0)|a|A(a) 问题1：从“运算”的角度|a|,|b|,|a+b|具有怎样的关系？分ab>0、、ab<0和ab=0三种情形讨论：Oxaba+bOxaba+b（1）当ab>0时，如下图可得|a+b|=|a|+|b| （2）当ab<0时，也分为两种情况：如果a>0,b<0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0, b>0，如下图可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，则a=0或b=0，易得： |a+b|=|a|+|b| 定理1 如果如果a, b是实数，则是实数，则 |a+b|≤|a|+|b≤|a|+|b| | 当且仅当当且仅当ab≥0ab≥0时，等号成立时，等号成立探究： 如果把定理1中的实数a, b分别换成向量a, b, 能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？Oxy这个不等式称为绝绝对值三角不等式。
对值三角不等式当向量a, b共线时，有怎样的结论？ 定理1的代数证明： 问题2：你能根据定理1的研究思路，探究一下|a|，，|b|，，|a-b|，，|a+b|,之间的关系吗？ |a|-||a|-|b|≤|a+bb|≤|a+b|, |, | |a|+|b|≥|a-ba|+|b|≥|a-b|,|, |a|-| |a|-|b|≤|a-bb|≤|a-b|.|. 如果a, b是实数，那么 |a|-||a|-|b|≤|ab|≤|a±±b|≤|a|+|bb|≤|a|+|b| | 例1 已知已知εε>0>0，，|x-a|<|x-a|<εε,|,|y-by-b|<|<εε，求证：，求证： |2x+3y-2a-3b|<5|2x+3y-2a-3b|<5εε. .证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε.所以所以 |2x+3y-2a-3b|<5|2x+3y-2a-3b|<5εε. . 定理2 如果a, b, c是实数，那么 |a-|a-c|≤|a-b|+|b-cc|≤|a-b|+|b-c| |当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
证明：根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-cb)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| |当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)≥0(a-b)(b-c)≥0时，等号成立时，等号成立B 例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 分析：假设生活区建在公路路碑的第分析：假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两个施处，两个施工队每天往返的路程之和为工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有，则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|)，要求问题化归为求该函数的，要求问题化归为求该函数的最小值，可用绝对值三角不等式求解最小值，可用绝对值三角不等式求解 练习：课本P20第1、2、3、4、5题 DD C 小结：理解和掌握绝对值不等式的两个定理： |a+b|≤|a|+|b|(a,b∈R,ab≥0时等号成立） |a-c|≤|a-b|+|b-c|(a,b,c∈R,(a-b)(b-c)≥0时等号成立）能应用定理解决一些证明和求最值问题。
作业：课本作业：课本P20第第3、、4、、5题题 2、绝对值不等式的解法•复习：如果a>0，则 |x|
