2812_圆的对称性（二）垂径定理.ppt

九年级数学(下)第28章 圆圆的对称性（二）垂径定理28.1.2 圆的对称性•圆是轴对称图形吗？圆是轴对称图形吗？如果是如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条你能找到多少条对称轴？对称轴？●O你是用什么方法解决上述问题的你是用什么方法解决上述问题的? ?•圆是轴对称图形圆是轴对称图形. .圆的对称轴是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线任意一条经过圆心的直线, ,它有无它有无数条对称轴数条对称轴. .●O可利用折叠的方法即可解决上述问题可利用折叠的方法即可解决上述问题. .圆的相关概念•圆上圆上任意两点间的部分叫做任意两点间的部分叫做圆弧圆弧,简称简称弧弧.•直径直径将圆分成两部分将圆分成两部分,每一部分都每一部分都叫做半圆叫做半圆(如弧如弧ABC).n连接圆上任意两点间的线段叫做连接圆上任意两点间的线段叫做弦弦(如弦如弦AB).●On经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径(如直径如直径AC).AB⌒⌒n以以A,B两点为端点的两点为端点的弧弧.记作记作 ,读作读作“弧弧AB”.AB⌒⌒n小于半圆的小于半圆的弧弧叫做劣弧叫做劣弧,如记作如记作 (用两个字母用两个字母).⌒⌒AmBn大于半圆的大于半圆的弧弧叫做优弧叫做优弧,如记作如记作 (用三个字母用三个字母).ABC⌒⌒mD③③AM=BM,垂径定理•AB是是⊙ ⊙O的一条弦的一条弦.•你能你能发现图中有哪些等量关发现图中有哪些等量关系系?与同伴说说你的想法和理与同伴说说你的想法和理由由.n作直径作直径CD,使使CD⊥⊥AB,垂足为垂足为M.●On下图是轴对称图形吗下图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?ABCDM└└⌒⌒AmBn由由 ①① CD是是直直径径②② CD⊥⊥AB可推得可推得⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.题设题设结论结论垂径定理•如图如图,小明的理由是小明的理由是:•连接连接OA,OB,OA,OB,●OABCDM└└则则OA=OB.在在Rt△△OAM和和Rt△△OBM中中,∵∵OA=OB，，OM=OM，，∴∴Rt△△OAM≌ ≌Rt△△OBM.∴∴AM=BM.∴∴点点A和点和点B关于关于CD对称对称.∵⊙∵⊙O关于直径关于直径CD对称对称,∴∴当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,⌒⌒⌒⌒AC和和BC重合重合,⌒⌒⌒⌒AD和和BD重合重合.⌒⌒ ⌒⌒∴∴AC =BC,⌒⌒⌒⌒　　AD =BD.垂径定理三种语言•定理定理: 垂直垂直于弦的于弦的直径直径平分弦平分弦, 并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.•老师提示老师提示:•垂径定理是垂径定理是圆中一个重圆中一个重要的结论要的结论,三种语言要三种语言要相互转化相互转化,形成整体形成整体,才能运用自才能运用自如如.●OABCDM└└CD⊥⊥AB,如图如图∵∵ CD是直径是直径,∴∴AM=BM,⌒⌒ ⌒⌒ AC =BC,⌒⌒⌒⌒ AD=BD.②②CD⊥⊥AB,垂径定理的逆定理•AB是是⊙ ⊙O的一条弦的一条弦,且且AM=BM.•你能你能发现图中有哪些等量关系发现图中有哪些等量关系?与同伴说与同伴说说你的想法和理由说你的想法和理由.n过点过点M作直径作直径CD.●On右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是如果是,其对称轴是什么其对称轴是什么?CDn由由 ①① CD是是直直径径③③ AM=BM可推得可推得⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.● MAB┗平分平分弦（不是直径）的弦（不是直径）的直径直径垂直于弦垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.不是直径不是直径．． 如图，已知在如图，已知在⊙ ⊙O中，中，弦弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，厘米，求求⊙ ⊙O的半径。

的半径E.ABO练一练：试练一练：试 金金 石石解：连结解：连结OA过O作作OE⊥⊥AB，，垂足为垂足为E，，则则OE＝＝3厘米，厘米，AE＝＝BE∵∵AB＝＝8厘米厘米 ∴∴AE＝＝4厘米厘米 在在Rt AOE中，根据勾股定理有中，根据勾股定理有OA＝＝5厘米厘米 ∴∴⊙ ⊙O的半径为的半径为5厘米n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?垂径定理的逆定理•如图如图,在下列五个条件在下列五个条件中中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.●OABCDM└└①① CD是直径是直径,③③ AM=BM,②② CD⊥⊥AB,⌒⌒⌒⌒④④AC = BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤ AD = BD.垂径定理及逆定理●OABCDM└└条件条件结论结论命命 题题①②①②③④③④⑤⑤①③①③②④②④⑤⑤①④①④②③②③⑤⑤①⑤①⑤②③②③④④②③②③①④①④⑤⑤②④②④①③①③⑤⑤②⑤②⑤①③①③④④③④③④①②①②⑤⑤③⑤③⑤①②①②④④④⑤④⑤①②①②③③垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条分弦所对的两条弧弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对并且平分弦所对的另一条弧的另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧. 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且并且平分弦和所对的另一条弧平分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于垂直于弦弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.①① CD是直径是直径,③③ AM=BM,②② CD⊥⊥AB,⌒⌒ ⌒⌒④④AC=BC,⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BD.垂径定理的推论 •如果圆的如果圆的两条弦互相平行两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相那么这两条弦所夹的弧相等吗等吗?•老师提示老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况这两条弦在圆中位置有两种情况:●OABCD1.两条弦在圆心的同侧两条弦在圆心的同侧●OABCD2.两条弦在圆心的两侧两条弦在圆心的两侧垂径定理的推论垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等.MM 已知：已知：⊙ ⊙O中弦中弦AB∥∥CD。

求证：求证：AC＝＝BD⌒⌒⌒⌒证明：作直径证明：作直径MN⊥⊥AB∵∵AB∥∥CD，，∴∴MN⊥⊥CD则AM＝＝BM，，CM＝＝DM（（垂垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）直平分弦的直径平分弦所对的弦）AM－－CM ＝＝ BM －－DM∴∴AC＝＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒ ⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON讲解讲解如果圆的两条弦互相平如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？的弧相等吗？圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等挑战自我填一填•1、、判断：判断：• ⑴⑴垂直于弦的直线平分这条弦垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对并且平分弦所对 的两条弧的两条弧. （（ ））•⑵⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所 对的另一条弧对的另一条弧. （（ ））•⑶⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦经过弦的中点的直径一定垂直于弦. （（ ））•⑷⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. •⑸⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （（ ））•2.已知：如图已知：如图,⊙ ⊙O 中中,弦弦AB∥∥CD,AB＜＜CD,直径直径MN⊥⊥AB,垂足为垂足为E,交弦交弦CD于点于点F.图中相等的线段有图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有图中相等的劣弧有: .•3、、已知：如图，已知：如图，⊙ ⊙O 中，中， AB为为 弦，弦，C 为为 弧弧AB 的中点，的中点，OC交交AB 于于D ，，AB = 6cm ，，CD = 1cm. 求求⊙ ⊙O 的半径的半径OA.•4.如图如图,圆圆O与矩形与矩形ABCD交于交于E、、F、、G、、H,EF=10,HG=6,AH=4.求求BE的长的长.·ABCD0EFGHMN已知：已知：ABAB和和CDCD是是⊙⊙O O内的两条平行弦，，内的两条平行弦，，AB=6cmAB=6cm，，CD=8cmCD=8cm，，⊙⊙O O的半径为的半径为5cm5cm，，思考题：思考题：（（1 1）请根据题意画出符合条件的图形）请根据题意画出符合条件的图形（（2 2）求出）求出ABAB、与、与CDCD间的距离。

间的距离1）（2）•再再 见见驶向胜利的彼岸。