计算数学与数值分析.pptx

数智创新数智创新数智创新数智创新 变革未来变革未来变革未来变革未来计算数学与数值分析1.计算数学与数值分析概述1.计算数学与数值分析的方法论1.数值分析与误差分析1.插值与逼近理论1.数值微积分与数值积分1.数值常微分方程与数值偏微分方程1.数值线性代数与矩阵计算1.计算数学与数值分析在各领域的应用Contents Page目录页 计算数学与数值分析概述计计算数学与数算数学与数值值分析分析#.计算数学与数值分析概述计算数学与数值分析概述：1.计算数学与数值分析是数学的一个分支，它研究如何使用数值方法来解决数学问题2.数值方法是用来近似求解数学问题的算法，它们通常涉及到将连续问题离散化为离散问题，然后使用计算机来求解离散问题3.计算数学与数值分析在科学、工程和金融等许多领域都有广泛的应用数值分析中的误差：1.数值分析中的误差是指数值方法得到的近似解与精确解之间的差异2.数值分析中的误差可以分为两类：截断误差和舍入误差3.截断误差是由于使用数值方法来近似求解数学问题而产生的误差，舍入误差是由于计算机只能表示有限精度的数字而产生的误差计算数学与数值分析概述数值分析中的稳定性：1.数值分析中的稳定性是指数值方法对输入数据的扰动不敏感的程度。

2.数值方法的稳定性可以通过它的条件数来衡量，条件数越小，数值方法就越稳定3.数值分析中的稳定性对于保证数值方法的精度非常重要数值分析中的收敛性：1.数值分析中的收敛性是指数值方法在迭代过程中产生的近似解序列逐渐逼近精确解的程度2.数值方法的收敛性可以通过它的收敛速率来衡量，收敛速率越快，数值方法就越快收敛3.数值分析中的收敛性对于保证数值方法的有效性非常重要计算数学与数值分析概述数值分析中的复杂度：1.数值分析中的复杂度是指数值方法所需的时间和空间资源的量2.数值方法的复杂度可以通过它的时间复杂度和空间复杂度来衡量，时间复杂度是指数值方法所需的时间资源的量，空间复杂度是指数值方法所需的空间资源的量3.数值分析中的复杂度对于选择合适的数值方法非常重要数值分析中的前沿与挑战：1.数值分析的前沿与挑战包括：发展新的数值方法来解决新的数学问题，提高现有数值方法的精度和效率，研究数值分析中的理论问题，将数值分析应用到新的领域计算数学与数值分析的方法论计计算数学与数算数学与数值值分析分析 计算数学与数值分析的方法论误差分析1.误差的定义和种类：误差是数值计算与精确解之间的差异，可以分为截断误差、舍入误差和数值不稳定性。

2.误差估计：误差估计是数值方法的重要组成部分，可以帮助我们了解数值解的精度误差估计方法有很多，包括泰勒展开法、稳定性分析等3.误差控制：误差控制是指在数值计算中采取措施来控制误差大小误差控制方法有很多，包括步长控制、迭代终止准则等稳定性分析1.稳定性的定义：稳定性是指数值方法对初始条件和计算过程中的扰动不敏感一个数值方法是稳定的，如果它的数值解随着初始条件和计算过程中的扰动而变化不大2.稳定性分析方法：稳定性分析方法有很多，包括冯诺依曼稳定性分析、根检验法等3.稳定性对数值方法的影响：稳定性是数值方法的重要特性，直接影响着数值解的精度和可靠性一个不稳定的数值方法可能会导致数值解不收敛或出现很大的误差计算数学与数值分析的方法论迭代方法1.迭代方法的定义：迭代方法是指通过反复迭代来求解方程或方程组的方法迭代方法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法、共轭梯度法等2.迭代方法的收敛性：迭代方法的收敛性是指随着迭代次数的增加，迭代解不断逼近精确解迭代方法的收敛性取决于迭代矩阵的特征值3.迭代方法的加速：迭代方法的收敛速度可以通过预处理、外推等方法来加速有限差分法1.有限差分法的定义：有限差分法是指通过用差分方程来近似求解微分方程的方法。

有限差分法包括显式有限差分法、隐式有限差分法和交替方向隐式有限差分法等2.有限差分法的精度：有限差分法的精度取决于网格的细化程度和近似差分格式的阶数3.有限差分法在偏微分方程中的应用：有限差分法是求解偏微分方程的一种重要方法，广泛应用于流体力学、热传学、固体力学等领域计算数学与数值分析的方法论有限元法1.有限元法的定义：有限元法是指通过将求解域划分为有限个单元，然后在每个单元内构造局部近似解，最后将局部近似解组合起来得到全局近似解的方法2.有限元法的精度：有限元法的精度取决于单元的划分、基函数的选择和数值积分方法3.有限元法在偏微分方程中的应用：有限元法是求解偏微分方程的一种重要方法，广泛应用于流体力学、热传学、固体力学等领域谱方法1.谱方法的定义：谱方法是指利用函数的谱展开式来求解微分方程的方法谱方法包括正交多项式展开法、傅里叶展开法和切比雪夫展开法等2.谱方法的精度：谱方法的精度取决于展开函数的阶数3.谱方法在偏微分方程中的应用：谱方法是求解偏微分方程的一种重要方法，广泛应用于流体力学、热传学、固体力学等领域数值分析与误差分析计计算数学与数算数学与数值值分析分析 数值分析与误差分析数值分析与误差来源-数值分析中，误差是一个重要的概念，它指的是数值解和精确解之间的差异。

误差可以分为以下几类：-舍入误差：当数字在计算机中表示时，由于有限的精度，可能会发生舍入误差截断误差：当用有限项的级数来近似一个函数时，会产生截断误差方法误差：数值方法本身可能存在误差，称为方法误差舍入误差：在计算机中进行数值计算时，由于有限的精度，可能会发生舍入误差测量误差：在测量物理量时，由于仪器或测量方法的限制，可能会产生测量误差数值分析中常用的方法-在数值分析中，有许多常用的方法来解决各种各样的问题这些方法可以分为以下几类：-直接方法：直接方法直接求解问题，不需要迭代过程例如，高斯消去法就是一种直接方法迭代方法：迭代方法通过不断逼近来求解问题例如，雅可比迭代法就是一种迭代方法插值方法:插值方法通过已知的数据点来估计未知数据点例如，拉格朗日插值法就是一种插值方法数值积分方法：数值积分方法通过有限个数据点来估计积分值例如，梯形公式就是一种数值积分方法数值微分方法：数值微分方法通过有限个数据点来估计导数值例如，二阶中心差分公式就是一种数值微分方法数值分析与误差分析-误差分析是数值分析的一个重要组成部分，它研究误差的来源、大小和性质误差分析可以分为以下几个方面：-误差估计：误差估计是指对误差的大小进行估计。

误差估计可以分为先验误差估计和后验误差估计误差控制：误差控制是指控制误差的大小，使其满足一定的精度要求误差控制可以分为全局误差控制和局部误差控制误差传播：误差传播是指当一个计算过程中的误差传递到另一个计算过程时，误差的大小会发生变化误差传播可以分为正向误差传播和反向误差传播误差分析：误差分析是将误差的来源、大小和性质进行综合分析，从而对数值方法的精度和可靠性进行评价稳定性分析-稳定性分析是数值分析的一个重要组成部分，它研究数值方法对数据扰动的敏感性稳定性分析可以分为以下几个方面：-绝对稳定性：绝对稳定性是指当数据扰动很小时，数值解的扰动也都很小条件稳定性：条件稳定性是指当数据扰动很小时，数值解的相对扰动也都很小有限稳定性：有限稳定性是指数值方法在一定范围内是稳定的，当数据扰动超过这个范围时，数值方法就会变得不稳定误差分析 数值分析与误差分析-数值分析软件是实现数值分析方法的计算机程序数值分析软件可以分为以下几类：-通用数值分析软件：通用数值分析软件可以解决各种各样的数值分析问题例如，MATLAB、Scilab和Octave等专用的数值分析软件：专用的数值分析软件只能解决特定类型的问题例如，用于解决线性方程组问题的LAPACK软件库和用于解决非线性方程组问题的NLsolve软件库等。

并行数值分析软件：并行数值分析软件可以在多台计算机上同时运行，以提高计算速度例如，PETSc和Trilinos等数值分析软件 插值与逼近理论计计算数学与数算数学与数值值分析分析 插值与逼近理论插值多项式1.插值多项式是通过有限个数据点构造出的多项式，在这些数据点处函数值与插值多项式值相等2.插值多项式具有唯一性，对于给定的数据点，只有一个插值多项式满足插值条件3.插值多项式的阶数等于数据点的个数减一Lagrange插值法1.Lagrange插值法是一种构造插值多项式的经典方法2.Lagrange插值法的基本思想是将插值多项式表示为若干个基函数的线性组合，每个基函数对应一个数据点3.Lagrange插值法的计算公式简单，易于实现插值与逼近理论Newton插值法1.Newton插值法是另一种构造插值多项式的经典方法2.Newton插值法的基本思想是将插值多项式表示为若干个差商的和，差商是函数值相邻两点的差值3.Newton插值法具有较高的计算精度，但计算量较大Hermite插值法1.Hermite插值法是一种可以同时插值函数值和导数值的插值方法2.Hermite插值法的基本思想是将插值多项式表示为若干个基函数的线性组合，每个基函数对应一个数据点和一个导数值。

3.Hermite插值法具有较高的计算精度，但计算量较大插值与逼近理论样条插值法1.样条插值法是一种将插值曲线表示为若干个光滑的曲线段的插值方法2.样条插值法的基本思想是将插值曲线分成若干个子区间，在每个子区间上构造一个光滑的曲线段，这些曲线段在相邻子区间的端点处连续3.样条插值法具有较高的计算精度和较好的插值效果，但计算量较大逼近理论1.逼近理论研究函数或算子（包括变换）与它们相应的近似之间的关系2.逼近理论在数值分析、计算机科学、控制论、统计学、经济学等领域都有着广泛的应用3.逼近理论的主要研究内容包括逼近的度量、逼近定理、逼近方法等数值微积分与数值积分计计算数学与数算数学与数值值分析分析 数值微积分与数值积分数值微积分1.数值微积分是对微积分理论的数值近似方法的研究，它利用计算机来近似求解微积分方程或微分方程2.数值微积分是数值分析的重要组成部分，它在许多科学和工程领域都有广泛的应用，如计算机图形学、流体力学、热力学等3.数值微积分方法主要包括：差分法、有限差分法、有限元法、谱法和边界元法等数值积分1.数值积分是对积分的数值近似计算，它利用计算机来近似求解积分方程或积分表达式2.数值积分是数值分析的重要组成部分，它在许多科学和工程领域都有广泛的应用，如计算机图形学、流体力学、热力学等。

3.数值积分方法主要包括：梯形法、辛普森法、高斯求积法、龙贝格求积法和蒙特卡洛方法等数值常微分方程与数值偏微分方程计计算数学与数算数学与数值值分析分析 数值常微分方程与数值偏微分方程显式方法1.前向欧拉法：这是最简单和最常用的显式方法，它将微分方程在当前时间步长处进行线性化，并利用线性化方程来近似下一个时间步长处的解2.后向欧拉法：后向欧拉法与前向欧拉法类似，但它是将微分方程在下一个时间步长处进行线性化，并利用线性化方程来近似当前时间步长处的解3.龙格-库塔法：龙格-库塔法是一类显式方法，它将微分方程在多个时间点进行线性化，并利用线性化方程来近似下一个时间步长处的解龙格-库塔法比前向欧拉法和后向欧拉法更准确，但计算成本也更高数值常微分方程与数值偏微分方程隐式方法1.向后欧拉法：向后欧拉法是隐式方法的一种，它将微分方程在下一个时间步长处进行线性化，并利用线性化方程来近似当前时间步长处的解向后欧拉法比显式方法更稳定，但计算成本也更高2.Crank-Nicolson法：Crank-Nicolson法是隐式方法的一种，它将微分方程在当前时间步长和下一个时间步长处进行线性化，并利用线性化方程来近似当前时间步长处的解。

Crank-Nicolson法比向后欧拉法更准确，但计算成本也更高3.全隐式龙格-库塔法：全隐式龙格-库塔法是隐式方法的一种，它将微分方程在多个时间点进行线性化，并利用线性化方程来近似下一个时间步长处的解全隐式龙格-库塔法比隐式欧拉法。