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第九章第九章 联立方程模型联立方程模型 单一方程模型只用一个方程描述经济变量与各解释变量之间的关系在单一方程模型中解释变量是被解释变量变化的原因，它们之间的因果关系是单向的然而社经济现象是复杂的，因果关系可能是双向的，或者一果多因，或者一因多果，很难用单个方程完整地加以表达 联立方程模型就是由多个互相联系的单一方程组成的方程组由于它包含的变量多，结构也较复杂，所以能全面反映经济系统的运行规律计量经济学-联立方程一、联立方程模型及其设定 从经济意义上看，联立方程模型主要反映了模型对象的经济行为以及外部环境、市场均衡条件如：需求——供给模型 Qd = b10 + b11P + b12 Y + u1 Qs = b20 + b21P + b22 R + u2 Qd = Qs式中： Qd : 需求量；P:市场价格； Y: 消费者收入 Qs : 供给量；R:气候条件因子第一节 联立方程模型的基本概念计量经济学-联立方程 小型国民经济宏观模型 这是一个不考虑进出口因素的封闭的国内经济系统模型，包括三个随机方程，一个衡等式。

消费方程： Ct = b10 + b11Yt + b12 Ct-1 + u1 投资方程： I t = b20 + b21(Yt - Yt-1) + b22 Yt-1 + b23 Rt-4 + u2 利率方程： Rt = b30 + b31Yt+ b32 (Yt - Yt-1) + b33 (Mt - Mt-1) + b34 (Rt -1 + Rt-2) + u3 国民收入方程： Yt = Ct + I t + Gt 式中： C:个人消费总量；I:国内投资总额；Y:国内生产总值GDP G: 政府支出；M:货币供应量；R:短期利率计量经济学-联立方程二、联立方程模型的变量和方程式变量：1. 内生变量，是由模型系统内决定的变量，其值在解联立方程后得到2. 外生变量，是由模型系统外部决定的变量3. 前定变量，包括外生变量和滞后内生变量 内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。

计量经济学-联立方程三、联立方程的类型1、结构模型（structural model） 把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系 例：如凯恩斯模型• Ct = 0+1Yt + ut1 消费函数• It = 0+1Yt+2Yt-1+ut2 投资函数• Yt = Ct + It + Gt 国民收入等式 Ct消费；Yt国民收入；It投资； Gt政府支出； 1, 1, 2称为结构参数模型中内生变量有三个Ct ，Yt ，It 外生变量有一个 Gt 内生滞后变量有一个Yt-1 Gt , Yt-1又称为前定变量因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程结构式模型的意义 结构式模型描述了经济变量间的直接经济联系，可用于分析解释变量对被解释变量的直接营销但是，由于模型中各方程包含内生变量，产生联立方程偏倚，使系数估计困难，也无法进行预测，所以说有经济分析意义，但缺少计量经济学意义。

计量经济学-联立方程结构式模型的类型1）行为方程，它是反映经济活动主体的经济行为的函数关系式2）技术方程，它是基于生产技术的关系而建立的函数关系式3）制度方程，它是与法律、法令、规章制度有直接关系的经济数量关系式4. 恒等式，恒等式有两种，一种是表示某种定义的恒等式，另一种是平衡方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程简化式模型的特点•可直接用OLS进行估计•反映了前定变量对内生变量的总影响•可以直接进行经济预测•模型经济含义不明确结构式模型与简化式模型的区别与联系•经济含义和用途不同•模型中变量间的联系不同•估计方法不同•一定条件下可以转化计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程第二节 联立方程模型的识别计量经济学-联立方程一、模型识别的定义 1、从结构方程参数的关系角度 一个结构方程可以识别，是指它的全部估计系数可以从参数关系体系的方程组求解得到若每个结构方程都可识别，则称模型可识别，否则模型就是不可识别的 结构方程可以识别又包含两种情况：如果求解结构参数唯一，则称恰好识别；如果求解结构参数不唯一，则称过度识别2、从结构方程的统计形式角度 如果被识别方程具有确定的统计形式，则这个结构方程可以识别，否则不可识别。

计量经济学-联立方程1、不可识别 Qd = b10 + b11P + u1 Qs = b20 + b21P + u2 Qd = Qs联立求解上述方程，得二、 模型识别状态计量经济学-联立方程写成模型的简化形式：P =  10 + V1Q =  20 + V2 待求的结构式参数有四个，b10 ,b11 ,b20 ,b22， 而只有二个方程组，方程无解，这个模型不可识别计量经济学-联立方程2、恰好识别 Qd = b10 + b11Pt + b12Y + u1 Qs = b20 + b21Pt + b22Pt-1 + u2 Qd = Qs联立求解上述方程，得 P =  10 +  11Yt +  12 Pt-1 + V1 Q =  20 +  21Yt +  22 Pt-1 + V2参数关系式体系为：计量经济学-联立方程 待求的结构式参数有六个，b10 ,b11 ,b20 ,b22 , b21 ,b22 , 而恰好有六个方程组，方程有唯一解，模型恰好识别。

计量经济学-联立方程3、过度识别 Qd = b10 + b11Pt + b12Y + b13W + u1 Qs = b20 + b21Pt + b22Pt-1 + u2 Qd = Qs联立求解上述方程，得 P =  10 +  11Yt +  12 Pt-1 +  13 W + V1 Q =  20 +  21Yt +  22 Pt-1 +  23 W + V2参数关系式体系为：计量经济学-联立方程 待求的结构式参数有七个，b10 ,b11 ,b20 , b21 , b22 , b13 ,b23，但却有八个方程组，方程有解，但解不唯一，模型过度识别计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程三、联立方程模型识别的条件计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程第三节 联立方程模型的估计计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程（三）结构式模型1、联立方程偏误 对于结构式联立方程，由于有内生解释变量，可能造成其与解释变量或随机误差项相关，且解释变量与被解释变量界限不清楚等原因，如果仍用OLS估计，估计量必然存在相关性、有偏性、非一致性，即联立方程偏误。

所以，联立方程不能直接用OLS方法估计，而要用到其他方法估计由于简单式模型和递归模型直接可用OLS估计，所以，联立方程模型的估计方法一般是针对结构式模型而言的，当然，需要估计联立方程的前提首先是能够识别计量经济学-联立方程2、联立方程的估计方法 单一方程估计法，即有限信息估计法； 方程组估计法，系统估计法，即完全信息估计法 前者只考虑被估计方程的参数约束问题，而不过多地考虑方程组中其他方程所施加的参数约束，因此称为有限信息估计方法后者在估计模型中的所有方程的同时，要考虑由于略去或缺少某些变量而对每个方程所施加的参数约束因此称为完全信息估计法 计量经济学-联立方程 显然对于联立方程模型，理想的估计方法应当是完全信息估计法，例如完全信息极大似然法（FIML）然而这种方法并不常用因为①这种方法计算工作量太大，②将导致在高度非线性的情况下确定问题的解，这常常是很困难的，③若模型中某个方程存在设定误差，这种误差将传播到其他方程中去 所以对于联立方程模型常用的估计方法是单一方程估计法。

常用的单一方程估计法有①间接最小二乘法（ILS），②工具变量法（IV），③两阶段最小二乘法（2SLS），④有限信息极大似然法（LIML） 当然，三阶段最小二乘法（3SLS）也是常用的系统估计方法计量经济学-联立方程3、联立方程常用估计方法1）工具变量法（instrument variable） 工具变量法是一种估计联立方程模型的单一方程方法，每次只能估计联立方程模型中的一个方程 工具变量法的基本思想是利用适当的工具变量去代替结构方程中作为解释变量的内生变量，以减少解释变量与随机项的相关性计量经济学-联立方程 工具变量法的应用步骤工具变量法的应用步骤（1）选择适当的工具变量 选择适当的工具变量代替结构方程中作解释变量的内生变量工具变量应满足以下条件： 1、必须与由它代替的结构方程中内生变量高度相关 2、工具变量必须是外生变量，与特定结构方程的随机项无关 3、必须与特定结构方程原有外生变量的线性相关程度很低，避免出现特定结构方程中的多重共线性 4、如果一个结构方程中使用2个以上的工具变量，这些工具变量之间也不能存在高度线性相关。

计量经济学-联立方程 工具变量法的应用步骤工具变量法的应用步骤 （2）对变量替换后的结构方程两端分别用解释变量相乘，并对 n 次观察求和，得到方程个数与未知结构参数个数相同的一组线性方程组 （3）再将这些线性方程组联立求解，求得该特定方程结构参数的估计量计量经济学-联立方程2）间接最小二乘法（ILS）间接最小二乘法的基本思路：如果可能，将结构式模型转化成简化式模型，然后通过参数关系体系，得到相关参数它适用于恰好识别的模型其步骤是（1）判断结构方程识别状态，如恰好识别才可进行下一步（2）结构式模型转化为简化式模型，求得参数关系体系（3）用OLS估计简化式模型（4）根据前面的参数关系体系，得出结构式参数计量经济学-联立方程3）二阶段最小二乘法（2SLS） 二阶段最小二乘法的基本思想是通过回归，用内生变量的估计值最为工具变量，然后再回归二阶段最小二乘法，即适用于恰好识别的方程，也适用于过度识别的方程，但更适合后者计量经济学-联立方程二阶段最小二乘法的步骤二阶段最小二乘法的步骤（1）用OLS估计简化式方程，得到内生变量的估计值设被估计方程形式为：相应的简化式方程组 对简化式方程组的每一个方程应用OLS，求得 Yi的估计值 Yi。

^计量经济学-联立方程二阶段最小二乘法的步骤二阶段最小二乘法的步骤（2）以 Yi 作为工具变量，替代所有内生变量，再用OLS估计得到相应的参数对上式应用OLS，求得 b12 ,…… b12 , r11 ,…… r1k 的估计量 ^^^计量经济学-联立方程4）三阶段最小二乘法（3SLS） 在2LSLS的基础上，再进行广义最小二乘估计，以克服各个结构方程随机误差项同期相关等问题 三阶段最小二乘法是二阶段最小二乘法的推广，将参数估计分为三个阶段 其中： 三阶段最小二乘法的第一、第二阶段采用2SLS，第三阶段采用广义最小二乘法（GLS）计量经济学-联立方程3SLS的优点：(1)充分利用模型结构信息 2SLS只能对模型的一个结构方程进行参数估计，所利用的只是模型参数的部分信息事实上总体结构对每个结构参数都有程度不同的影响， 3SLS可以充分利用模型的全部信息2)克服各方程之间随机项相关造成的估计偏误 2SLS假定各结构方程之间的随机项是序列不相关的但在联立方程模型中，各方程之间随机项可能相关，这时应引入广义最小二乘法。

以克服由于各方程之间随机项相关造成的估计偏误计量经济学-联立方程应用3SLS的基本假定（1）必须确知联立方程模型中各结构方程的变量、函数形式2）联立方程模型中每一结构方程的随机项不存在序列相关3）联立方程模型中不同结构方程的随机项是同期相关的4）联立方程模型是过度识别的模型的恒等式要排除，未能识别的方程应剔除计量经济学-联立方程三阶段最小二乘法的应用步骤第一阶段：用OLS估计简化式方程，求出内生变量的估计式设联立方程模型为： BY + ΓX = ε 相应的简化式模型为： Y + ΠX = v 得到内生变量的简化式估计值 Y = (Y1, Y2, ……Yg,)’^^^^计量经济学-联立方程三阶段最小二乘法的应用步骤第二阶段：将求得的方程，求出的内生变量简化式估计值代入结构方程将Y2, Y3, ……Yg,代入，用OLS进行估计，^^^^^^求出每个方程随机扰动项的估计值——残差，方差和协方差计量经济学-联立方程三阶段最小二乘法的应用步骤第三阶段：运用广义最小二乘法GLS求得的结构参数估计量如果不同方程的误差项互不相关，则 3SLS估计与2SLS估计相同计量经济学-联立方程案例：案例：美国各州地方政府费用支出模型：GOV 为政府支出，AID为联邦政府拨款额，INC为各州收入的自然对数，POP为各州人口总数，PS为小学与中学在校生人数。

计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程一、TSLS估计方法1：命令方式TSLS GOV C AID INC POP @ C INC POP PS 方程1的回归命令形式 所有前定变量TSLS AID C GOV PS @ C INC POP PS 计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程方法2：菜单方式主菜单中选择【Quick】—【Estimate Equation】打开方程定义窗口，在【Estimation Settings】中选择TSLS 计量经济学-联立方程估计结果 计量经济学-联立方程二、3SLS估计：新建一个系统对象点击工作文件窗口中【Objects】—【New Object】，在对象类型中选择system，点击ok 计量经济学-联立方程在系统对象窗口中输入待估模型，同时输入工具变量（在系统对象中，应完整的写出方程的表达式）即：gov=c(1)+c(2)*aid+c(3)*inc+c(4)*pop @ ps inc popaid=c(5)+c(6)*gov+c(7)*ps @ inc ps计量经济学-联立方程点击系统对象窗口【Procs】—【Estimate】，弹出系统估计对话框，选择3SLS，点击ok， 计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程第四节 联立方程模型的检验•包括单方程检验和方程系统的检验。

包括单方程检验和方程系统的检验•凡是在单方程模型中必须进行的各项检验，对于联立凡是在单方程模型中必须进行的各项检验，对于联立方程模型中的结构方程，以及应用方程模型中的结构方程，以及应用2SLS或或3SLS方法过方法过程中的简化式方程，都是适用的和需要的程中的简化式方程，都是适用的和需要的•模型系统的检验主要包括：模型系统的检验主要包括：⒈⒈拟合效果检验拟合效果检验⒉⒉预测性能检验预测性能检验⒊⒊方程间误差传递检验方程间误差传递检验⒋⒋样本点间误差传递检验样本点间误差传递检验计量经济学-联立方程一、拟合效果检验一、拟合效果检验 •将样本期的先决变量观测值代入估计后的模型，将样本期的先决变量观测值代入估计后的模型，求解该模型系统，得到内生变量的估计值将估求解该模型系统，得到内生变量的估计值将估计值与实际观测值进行比较，据此判断模型系统计值与实际观测值进行比较，据此判断模型系统的拟合效果的拟合效果•模型的求解方法：迭代法模型的求解方法：迭代法为什么不直接求解？为什么不直接求解？•常用的判断模型系统拟合效果的检验统计量是常用的判断模型系统拟合效果的检验统计量是“均方百分比误差均方百分比误差”，用，用RMSP表示。

表示 计量经济学-联立方程•当当RMSPi=0，表示第，表示第i个内生变量估计值与观测个内生变量估计值与观测值完全拟合值完全拟合•一般地，在一般地，在g g个内生变量中，个内生变量中，RMSP<5%RMSP<5%的变量数的变量数目占目占70%70%以上，并且每个变量的以上，并且每个变量的RMSPRMSP不大于不大于10%10%，则认为模型系统总体拟合效果较好则认为模型系统总体拟合效果较好 计量经济学-联立方程二、预测性能检验二、预测性能检验 •如果样本期之外的某个时间截面上的内生变量实际如果样本期之外的某个时间截面上的内生变量实际观测值已经知道，这就有条件对模型系统进行预测观测值已经知道，这就有条件对模型系统进行预测检验•将该时间截面上的先决变量实际观测值代入模型，将该时间截面上的先决变量实际观测值代入模型，计算所有内生变量预测值，并计算其相对误差计算所有内生变量预测值，并计算其相对误差• 一般认为，一般认为，RE<5%RE<5%的变量数目占的变量数目占70%70%以上，并且每个以上，并且每个变量的相对误差不大于变量的相对误差不大于10%10%，则认为模型系统总体预，则认为模型系统总体预测性能较好。

测性能较好 计量经济学-联立方程三、方程间误差传递检验三、方程间误差传递检验 •寻找模型中描述主要经济行为主体的经济活动过程寻找模型中描述主要经济行为主体的经济活动过程的、方程之间存在明显的递推关系的关键路径的、方程之间存在明显的递推关系的关键路径•在关键路径上进行误差传递分析，可以检验总体模在关键路径上进行误差传递分析，可以检验总体模型的模拟优度和预测精度型的模拟优度和预测精度•例如，计算：例如，计算： • 称为冯诺曼比，称为冯诺曼比，如果误差在方程之间没有传递，该如果误差在方程之间没有传递，该比值为比值为0 0 计量经济学-联立方程四、样本点间误差传递检验四、样本点间误差传递检验•在联立方程模型系统中，由于经济系统的动态在联立方程模型系统中，由于经济系统的动态性，决定了有一定数量的滞后内生变量性，决定了有一定数量的滞后内生变量•由于滞后内生变量的存在，使得模型预测误差由于滞后内生变量的存在，使得模型预测误差不仅在方程之间传递，而且在不同的时间截面不仅在方程之间传递，而且在不同的时间截面之间，即样本点之间传递之间，即样本点之间传递•必须对模型进行必须对模型进行滚动预测检验滚动预测检验。

计量经济学-联立方程•给定给定t=1时的所有先决变量的观测值，时的所有先决变量的观测值，包括滞后内包括滞后内生变量生变量，求解方程组，得到内生变量，求解方程组，得到内生变量Y1的预测值；的预测值；•对于对于t=2，只外生给定外生变量的观测值，，只外生给定外生变量的观测值，滞后内滞后内生变量则以前一时期的预测值代替生变量则以前一时期的预测值代替，求解方程组，，求解方程组，得到内生变量得到内生变量Y2的预测值；的预测值；•逐年滚动预测，直至得到逐年滚动预测，直至得到t=n时的内生变量时的内生变量Yn的预的预测值；测值；•求出该滚动预测值与实际观测值的相对误差求出该滚动预测值与实际观测值的相对误差 计量经济学-联立方程•将将t=n时的所有先决变量的观测值，时的所有先决变量的观测值，包括滞后内生包括滞后内生变量的实际观测值，变量的实际观测值，代入模型，求解方程组，得到代入模型，求解方程组，得到内生变量内生变量Yn的非滚动预测值；的非滚动预测值；•求出该非滚动预测值与实际观测值的相对误差求出该非滚动预测值与实际观测值的相对误差•比较两种结果，二者的差异表明模型预测误差在不比较两种结果，二者的差异表明模型预测误差在不同的时间截面之间的传递。

同的时间截面之间的传递 计量经济学-联立方程计量经济学-联立方程。