一元二次方程(知识点+考点+题型总结).doc

一元二次方程（知识点+考点+题 型总结）一元二次方程专题复习考点~、概念⑴定必映含有一水未知数，并且辔未知数的最高次数是2,这样的浊式方程就是一元二次方程*+4!bBBri* + + -fe e ■（2）—般表达式：ax~ +bx^c = 0（^ 0）⑶难点.：如何理解欄未知数的最高次数是2粮：① 该项系数不为“旷；② 未知数指数为叫％③ 若存在某项指数为待定系数’或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论<■典型例题；例】、下列方程中是关于耳的一元二次方程的是（）A 3&十厅=2（JC + 1） li -?- + --2 = 0x xC ax~ + />x + c = 0 D x' + 2兀=x‘ +1变式；当k 时，关于％的方程kx'+2x* +3是一元二枕方程亠例2、方程（w + 2）xfJr + + 1 = 0是关于x的一元二次方程，则m的值为 .针对练习’*1,方程8x: =7的一次项系数是 ,常数项是 *★氛若方程（m-2）xmH =0是关于％的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程★★3.若方程（用一1）/+臥•工=I是关于監的一元二次方程，则m的取值范围是 °***4,若方程nx-+V-2xM是一元二次方程」则下列不可能的是〔 ）A.m=n~2 H”m=2、ir=l C.n=2Tm=l D,m=n=l考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值.盘是方程的解.0｝应用：利用根的概念求代数式的值：典型例题：例1、已知3的值为2,则4y^+2^ + I的值为 •例氛 关于鷲的一元二次方程（a-2）x2+x^a2 -4 = 0的一个根为山 则述的值为 ・例氛 已知关于爼的一元二次方程ax2+bx + c = 0（a^0）的系数浦足a^c = bt则此方程必有一根为 例仏 已知4』是方程X3-4x + /n = 0的两个風 爲亡是方程y2 -8>' + 5m = 0的两个根，则m的值为 。

针对练习：★ K已知方程/+尬一 10 = 0的一根是2,则R为 ,另一根是 o★ 2.已知关于k的方程x2+^-2 = 0的一个解与方程 —=3的解柑同*X— 1⑴求k的值I ⑵方程的另一个解°★3,已知m是方程x2-x-\ = 0的一个根，则代数式肿_牌= ★★牡 己知必是兀‘一3疋十1 = 0的根，贝i2a2-6a = ,★ ★轧 方程（o + - + c - a = 0 的一个根为（）A —1 B I C b—c D —a★★★6. ^2x + 5v-3 = 0^4A -32^ = □考点三、解法（D方法；①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降决类型一、直接开方法* X2 - > 0）,^> x - ±J~rri※※对于（盂十°）’ = m, @x +曲）‘ =0K十土汙等形式均适用直接开方法典型例题：例 1、解方程：(l)2x2 - 8 = 0; (2)25-16x2=0; (3)(1-打-9 = 0;例 2、若9(x-1)2 =16(x + 2)\ 则 x 的值为 针对练习：下列方程无解的是( )A, x2 + 3 = 2x~ — 1 B. (x — 2 V =0 c» 2x + 3 = 1 — x n. x2 + 9 = 0类型二因式分解法:Cv-XjXx-x2) = 0 => x = xli^x = x2※方程特点；左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“Q”，※方程形式；如(ox +也)「二(hr十科)，(”丫十#)(兀+方)=(x十° K托十亡)* x2 + ^ax + 2 = 0典型例题：例 1、2a(x^3)=5(x^3)的根为( )5 &C X, - — = 31 2亠例 2、若(4x + y) + 3(4x + j)-4 = 0,则 4x+y 的值为 °变式 1： {a1 +F ) -(/ +/)2)-6 = J贝财 +b2 = °变式拦 ^(x + yX2-^-y)+3 = 0,则 x+y 的值为 。

变式 3：若x2 + = 14 y2 + + x = 28 » 则 x+y 的值为 *例3、方程x2+|x|-6 = 0的解为( )A.* Aj — —3# — 2 B. xJ — 3^ x= _2 C\ 石=3# x卞=3 D* — 2# a\ — —2例4、解方程；X，+ 2(巧+ 1)丫 + 2朽十4 = 0例5、已知2x2-3xy-2y2 =0,则兰◎ 的值为 变式：已知2十-3xy-2y2 = 0^且x > 0 j > 0、则"+ '的值为 针对练习：★ 1、下列说法中’① 方程 x1 + px-^-q = 0 的二根为x}, x:,则 x2 ■¥ px + q = (x-X))(x-x2)② -x~ + 6x-8 = (,r-2)(a--4). -5ab + 6b~ =(a -2)(a -3)④ x2-y2 = (xy)(4x + y[y\4x -yfy)⑤ 方 g(3x + l)2-7 = O 可变形 ^(3x + l + V7)(3^ + l-77) = 0正确的有< ) AJ个 B.2个 C3个 D.4个★2、以1 +万与1一"为根的一元二次方程是OA. x2 — 2x —6 = 0 B. x2 — 2x + 6 = 0 C. y2 + 2y — 6 = 0 LL y2 + 2y + 6 = 0★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为I,且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数： ★★4若实数粽y满足(x + y —3)(" + 丁)+2 = 0,则也的值为( )A. -1 或・2 B. -1 或 2 C> 1 或 J D、1 或 2曹、方程：”L H ~ 2的解是 o#★★★7.方程(1999x)2 -1998x2000x-1 = 0的较大根为方程2007x2 - 2008x +1 = 0的较小根为辭则"的 值为 “类型三、配方法 ax? +bx+c =0（a式0 冶 ‘x+匕〕= _二4兰\、 2a 丿 4a※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题：例1、试用配方法说明x - 2x 3的值恒大于0例2、已知x、y为实数，求代数式 x2 y2 2^ 4y 7的最小值例3、已知x2 y2 4^6y 13 =0, x、y为实数，求xy的值例4、分解因式：4x2 12x 3针对练习:★★ 1、试用配方法说明2 1★★ 2、已知 x + —2- -x— 10x2 +7x—4的值恒小于0 一x—1 —4 = 0，则 x+丄二xx★★★ 3、若t = 2 — J—3x2 +12x—9，则t的最大值为 ，最小值为 ★★★ 4、如果 a +b +Jc -1 _ 1= 4ja —2 +2Jb +1 —4，那么 a +2b —3c 的值为 类型四、公式法⑴条件：（a^0,且b2 --4ac 臭 0)⑵公式：八亠2严，“0,且b2-4ac_0 典型例题：例1、选择适当方法解下列方程：⑴ 3 1 x 2 =6. ⑵ x 3 x 6 = -8. ⑶ x2 - 4x 1 = 02⑷ 3x -4x -仁0 ⑸ 3 x -1 3x 1 = x -1 2x 5例2、在实数范围内分解因式：（1） x2-2.2x-3 ； （2） -4x2 8x-1. ⑶ 2x2-4xy-5y2说明：①对于二次三项式 ax2 bx c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解, 一般情况要用求根公式，这种方法首先令 ax2 bx c=0，求岀两根，再写成ax bx c = a（x - 捲）（x - x2）.②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去 .类型五、 “降次思想”的应用⑴求代数式的值; 典型例题：⑵解二元二次方程组。

例1、已知x2 _3x ■ 2 = 0，求代数式(x T 丫 -x2 +1x —1的值#2 3 2例2、如果x x -^0，那么代数式 x 2x -7的值例3、已知a是一元二次方程2x _3x . 1 = 0 的一根，求3 2a「2a「5a 1a2十1的值例4、用两种不同的方法解方程组2x_y=6, (1)“ 2 2x _5xy+6y =0. (2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再 消元但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已 知的问题.考点四、根的判别式 b2 _4ac根的判别式的作用：① 定根的个数；② 求待定系数的值；③ 应用于其它典型例题：例1、若关于x的方程x2 • 2・..kx-1 =0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 例2、关于x的方程 m -1 x - 2mx - m = 0有实数根，则 m的取值范围是( )a. m _ 0且m = 1 b m _ 0 c. m = 1 d. m 1例3、已知关于x的方程x2 - k 2 x 2^0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；⑵若等腰 ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求 :ABC的周长。

例4、已知二次三项式 9x2 -(m ■ 6)x ■ m - 2是一个完全平方式，试求 m的值.例5、m为何值时，方程组"x2 +2y2 =6,<有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?mx + y = 3.针对练习：2★ 1、当k 时，关于x的二次三项式 x kx 9是完全平方式★ 2、当k取何值时，多项式 3x2 -4x • 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么?★ 3、已知方程 mx 「mx • 2 = 0有两个不相等的实数根，则 m的值是 .y =kx + 2,★★ 4、k为何值时，方程组」2[y _4x_2y+1=0.(1)有两组相等的实数解，并求此解；2) 有两组不相等的实数解；3) 没有实数解.2 2★ ★★ 5、当k取何值时，方程x -4mx 4x 3m -2m ' 4k =0的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于x的方程m ■ 1 x2 ■ 2mx - 3 = 0⑴有两个实数根，则 m为 ,⑵只有一个根，则 m为 例2、 不解方程，判断关于 x的方程x ~'2 x ~'k ' k? = -3根的情况例3、如果关于x的方程x kx 0及方程x -x「2k 0均有实数根，问这两方程 是否有相同的根？若有，请求岀这相同的根及 k的值；若没有，请说明理由。

考点六、应用解答题⑴“握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题 典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，岀席者两两碰杯一次，共碰杯 990次，问晚宴共有多少人岀席?2、 某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90张，那么这个小组共多少人？3、 北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入1 1资金600万元，第二年比第一年减少 丄，第三年比第二年减少。