(新高考)高考数学二轮复习难点突破练习专题28 体积法求点面距离(解析版).doc

专题28 体积法求点面距离一、多选题 1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（ ）A．D1D⊥AFB．A1G∥平面AEFC．异面直线A1G与EF所成角的余弦值为D．点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍【答案】BCD【分析】利用正方体的性质，平移异面直线得到它们的平面角进而证D1D、AF是否垂直及求直线A1G与EF所成角的余弦值即可，利用等体积法可求G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离的数量关系，利用线面平行的判定即可判断A1G、平面AEF是否平行.【详解】A选项，由，即与并不垂直，所以D1D⊥AF错误.B选项，如下图，延长FE、GB交于G’连接AG’、GF，有GF//BE又E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，所以，而，即；又因为面 面=，且面，面，所以A1G∥平面AEF，故正确.C选项，取中点，连接，由题意知与平行且相等，所以异面直线A1G与EF所成角的平面角为，若正方体棱长为2，则有，即在中有，故正确.D选项，如下图若设G到平面AEF的距离、C到平面AEF的距离分别为、，则由且，知，故正确. 故选：BCD【点睛】思路点睛：求异面直线所成角时平移线段，将它们置于同一个平面，而证明线面平行主要应用线面平行的判定、线面垂直的性质证明.1、平移：将异面直线置于同一平面且有一个公共点，结合其角度范围为.2、线面平行判定：由直线平行该直线所在的一平面与对应平面的交线即可证线面平行.3、由、即可求G、C到平面AEF的距离比.2．在正方体中，，、分别为、中点，是上的动点，则下列说法正确的有（ ）A．B．三棱锥的体积与点位置有关系C．平面截正方体的截面面积为D．点到平面的距离为【答案】AC【分析】A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，根据线面垂直的判定定理，可得平面，进而可得；B选项，证明平面，即可判定B错；C选项，补全截面，得到平面截正方体所得的截面为等腰梯形，进而可根据题中条件，求出截面面积；D选项，根据等体积法，由求出点到面积的距离，即可判定；【详解】A选项，取中点为，根连接，，记与交点为，在正方体中，，，因为、分别为、中点，所以，，因此，所以，，因此，因此，即；又在正方体中，平面，所以平面，因平面，所以，又，平面，平面，所以平面，因为平面，所以；故A正确；B选项，因为在正方体中，且，所以四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，所以平面，因此棱上的所有点到平面的距离都相等，又是棱上的动点，所以三棱锥的体积始终为定值；故B错；C选项，取的中点为，连接，，则，且，则；又正方体中，，所以，，因此，所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形，因此该等腰梯形的高为，所以该截面的面积为；故C正确；D选项，设点到平面的距离为，因为平面，所以点到平面的距离为，即点到平面的距离为，所以，在中，，，，所以，因此，所以.又，所以，即点到平面的距离为，故D错；故选：AC.【点睛】方法点睛：求空间中点到面积的距离的常用方法：（1）等体积法：先设所求点到面的距离，再通过题中条件，求出该几何体的体积，利用同一几何体的体积相等，列出方程，即可求出结果；（2）向量法：利用空间向量的方法，先求出所求点与平面内任意一点连线的方向向量，以及平面的法向量，根据向量法求点到面距离的公式，即可求出结果.3．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（ ）A．若为的外心，则B．若为等边三角形，则C．当时，与平面所成角的范围为D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为【答案】ACD【分析】由线面垂直的性质，结合勾股定理可判断A正确；反证法由线面垂直的判断和性质可判断B错误；由线面角的定义和转化为三棱锥的体积，求得C到平面PAB的距离的范围，可判断C正确；由面面平行的性质定理可得线面平行，可得D正确.【详解】依题意，画图如下：若为的外心，则，平面，可得，，故，A正确；若为等边三角形，，又，BC与PB相交于平面内，可得平面，即，由，，可得 ，故，矛盾，B错误;若，设与平面所成角为，由A正确，知，设到平面的距离为由可得即有，当且仅当取等号.可得的最大值为， ，即的范围为，C正确；取中点，的中点，连接由中位线定理可得，，，则平面平面，由平面，可得段上，即轨迹，可得D正确；故选：ACD【点睛】本题考查了立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于中档题.处理立体几何中真假命题判定的问题，可以用已知的定理或性质来证明，也可以用反证法来说明命题的不成立.二、单选题4．如图，在正方体中，棱长为1，分别为与的中点，到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设点到平面的距离为，利用建立方程可求解.【详解】设点到平面的距离为．∵正方体棱长为1，∴，∴又，∴，解得即点到平面的距离为．故选：B．【点睛】方法点睛：在空间中求点到面的距离时可利用空间向量进行求解，即将距离问题转化为向量的运算问题处理．另外也可利用等积法求解，解题时可将所求的距离看作是一个三棱锥的高，求出其体积后；将此三棱锥的底面和对应的高改换，再次求出其体积．然后利用同一个三棱锥的体积相等建立关于所求高为未知数的等式，解方程求出未知数即可得到所求的高．5．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且，给出下列四个结论错误的选项是（ ）A．B．点到平面的距离为C．在底面内的正投影是面积不是定值的三角形D．在平面内存在无数条与平面平行的直线【答案】C【分析】利用平面，即可证明，即可判断选项A；利用等体积即可求点到平面的距离，即可判断选项B；利用正投影特点即可判断选项C；利用线面平行的性质定理即可判断选项D.【详解】对于选项A：由且，，所以平面，因为平面，可得，故选项A正确；对于选项B：因为点到直线的距离是，，所以为定值，点到平面距离是，所以三棱体积是，因为三棱锥，为，所以点到平面的距离为，故选项B正确；对于选项C：线段在底面内的正投影是，所以在底面内的正投影是，因为线段的长是定值，所以线段的长也是定值，所以的面积是定值，故选项C不正确；多于选项D：设平面与平面的交线为，则在平面内与直线平行的直线有无数条，故选项D正确，故选：C【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，通常采用三棱锥等体积，转化为棱锥的高，也可以采用空间向量的方法求出线面角以及斜线的的长度，也可求点到面的距离.6．正三棱柱的所有定点均在表面积为的球的球面上，，则到平面的距离为（ ）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】根据球的表面积求得球的半径，由此求得侧棱的长，利用等体积法求得到平面的距离.【详解】设等边三角形的外接圆半径为，由正弦定理得.由于球的表面积为，故半径，所以侧棱长.在三角形中，，而，所以三角形的面积为.设到平面的距离为，由得，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球有关计算，考查等体积法求点面距离，属于基础题.7．如图，正四棱锥的高为，且底面边长也为，则点到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合正四棱锥的性质，利用，代入数据直接计算即可.【详解】解：由正四棱锥的性质可知，其底面为正方形，连接、，设交点为点，连接，则平面，且，底面对角线的长度为，侧棱长度为，斜高，，，设点到平面的距离为，由，即，解得．故选：A.【点睛】本题考查求点到平面的距离，考查正四棱锥的性质与棱锥的体积．掌握正棱锥的计算是解题关键．8．已知在正四棱柱中，，，为的中点，则点与平面的距离为（ ）A．2 B． C． D．1【答案】D【分析】先证直线与平面平行，将线面距离转化为点面距离，结合三棱锥体积公式，由等积性求出点面距离即可.【详解】如图所示，连接交于点，为的中点， ，又平面，平面平面，即直线与平面的距离为点到平面的距离，设为.在三棱锥中，，在三棱锥中，，所以，解得故选：D.【点睛】本题考查了线面距离，考查了转化思想，考查了三棱锥的体积应用，考查了数学运算能力.9．直三棱柱的侧棱，底面中，，，则点到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用即可求解.【详解】因为三棱柱是直三棱锥，所以平面，所以，又因为，所以，因为，所以平面，所以，因为，，，所以平面，所以，，，设点到平面的距离为，则，即，所以，所以点到平面的距离为，故选：D【点睛】本题主要考查了利用三棱锥体积相等求点到面的距离，属于中档题.10．已知正方体的棱长为1，给出下列四个命题：①对角线被平面和平面、三等分；②正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的表面积之比为；③以正方体的顶点为顶点的四面体的体积都是；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积是．其中正确的序号是（ ）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】对①，画出图象，设对角线与平面相交于点，则平面，用等体积的方法计算出，从而证得被平面和平面三等分；对②，计算正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径，再计算其表面积之比；对③，显然；对④，正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分是球的.【详解】①如图所示，假设对角线与平面相交于点，可得平面，所以，解得，因此对角线被平面和平面三等分，正确；②易得正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径分别为，，，因此表面积之比为，正确；③，不正确；④正方体与以为球心，1为半径的球的公共部分的体积，正确，故选：D．【点睛】本题考查了立体几何综合问题，正方体的内切球、与各条棱相切的球、正方体的外接球的半径与正方体边长的关系，考查了学生空间想象能力，分析推理能力，运算能力，属于中档题.11．如图，在正四棱柱中，，则点到平面的距离为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法，即可求出答案．【详解】解：设点到平面的距离为，∵，由题意，的面积，在中，易求得，，∴由余弦定理得，∴，∴，又，即，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题．三、解答题12．已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，平面平面.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）由平面平面，，可得平面，从而得，同理可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论；（2）由（1）得，，进而可求出，，从而可得，再利用等体积法可求出点到平面的距离【详解】（1）平面平面，，所以平面，故.同理，平面平面，，所以平面，故.故平面.（2）由（1）可知，，，由可求得，，，.，，，.三棱锥的体积.设为点到平面的距离，则，所以得，故.所以点到平面的距离为.【点睛】关键点点睛：此题考查线面垂直的判定，考查点到面的距离。