10-12-习题参考答案-new.pdf

第 10 讲 3.8 有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于 T2 讨论有 N 个相同原子组成长度为 L 的一维晶格， 在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于 T 解： 德拜模型的色散关系为cq 考虑 q 空间中半径为 q，厚度为 dq 的圆环面积为 2qdq 中量子态数，波矢的数值在dq之间的量子态的数目22(2 )Sqdq考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一支横波，所以频率在d之间，总的格波数为：222Sd 总的振动能为 /0/001( )( )211( )( )21DBDDBk Tk TE Tgdegdgde考虑与温度相关的晶格振动能量，设Bxk T /0( )( )1DBk TE Tgde/201DBk TSde 233/220/1DBBBBk Tk Tk TSdk Te 3322201DBTxk TSxdxe由总振动模式数等于自由度数：0( )DnN ，得德拜频率：202DSdN 1/24DNS 332220( )1DBTxk TSxE Tdxe322041DTxDTxNdxe德 拜 模 型 中 的 晶 格 热 容 ：3220( )41DTVxDVE TdTxCNdxTdTe证明低温晶格比热 T 2 定律 301xxdxe常数2( )VVE TCATT 一维情况: 波矢的数值在dq之间的量子态的数目22LLdqdc 有( )Lgc 由于0( )DgdN所以DNcL /0/001( )( )211( )( )21DBDDBk Tk TE Tgdegdgde 设Bxk T 22/022/0()( )41()41DDTDBxTBxLL k TxE TdxcceL k TN cxdxLce 220( )1DBTVxVLk TE TdxCdxTdTce 01xxdxe常数( )VVE TCBTT 3.10 设晶体中每个振子的零点振动能 ，试用德拜模型求晶体的零点振动能。

讨论一维、二维和三维的情况0129( )2438DDDDdNNN ，解： 应用色散关系，考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波，模式密度分别为有： 222312322LSV ，222300013232DDDLSVdNdNdN ，1/31/2246DDDNNNLSV， 10.1 讨论在德拜近似下有 N 个相同原子组成长度为 L 的一维晶格振动的模式密度和德拜温度，有 N 个相同原子组成面积为 S 的二维晶格振动的模式密度和德拜温度，有 N 个相同原子组成体积为 V 的三维晶格振动的模式密度和德拜温度 解答： 模式密度：色散关系为 =q，设波速为常数 ，q 空间的量子态数密度为23248LSV，从q 到 q+dq 范围内的量子态数为：223224248LSVdqd dq，应用色散关系，考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波，模式密度分别为有： 222312322LSV ，0( )DnN 222300013232DDDLSVdNdNdN ， 1/31/2246DDDNNNLSV， DDBk 1/31/2246DDDBBBNvNNvvLkkSkV一维：二维：三维： 10.2 模式密度奇点。

1) 根据一维单原子链的色散关系证明模式密度为22 1/221( )()mN 其中 m 是最大频率2) 假定在三维情况下，在 k = 0 附近，一个光学波具有20( )kAk 证明：对于0，33/21/20( )/2(2 /)()LA ；对于0,( )0 ，此处模式密度不连续 第 11 讲 3.9 写出量子谐振子系统的自由能， 证明在经典极限， 自由能为0lnqBqBFUk Tk T /1ln(1)2jBk TjBjBFUk Tek T 经典极限有Bjk T， 102jBk T，/1jBk TjBek T 将两式代入 F 的表达式，得 lnjBjBFUk Tk T 11.1 格临爱森常数(Grneisen constant) 1) 证明频率为 的声子模式的自由能为ln2sinh(/)BkBk Tk T为了得到这个结果，必须保留零点能/22) 以表示体积相对改变，那么晶体的这个自由能可以写成：21( , )ln2sinh(/2)2BkBFTBk Tk T 其中 B 是体积弹性模量 假定k 对体积的依赖关系为，其中称为格临爱森常数如果将取作和模式 k 无关，证明：当1cosh(/2)2BBk T 时，F 相对于成为极小，并且证明：借助热能密度可以将此式写成( )/U TB (3) 证明：对于德拜模型，ln/ lnDV 。

注意：在这个理论中涉及多种近似，结果(1) 只有在 不依赖于温度时才成立，而对于不同的模式，可能相差甚远 第 12 讲 12.1 试由金属中自由电子运动方程推导稳态时电子在外电场中的定向速度，并由此推导焦耳定律的表达式 解：焦耳定律的微分形式为：2PE其中称为电导率 设单位体积中 n 个电子以相同的平均速度运动，由此产生的电流密度 j 将平行于 在时间间隔 dt 内电子在速度方向运动的距离为dt，这样将有 ndtA 的电子越过垂直于速度方向的面积 A，每一个电子携带电荷-e在时间间隔 dt 内越过面积 A 的电荷为-nedtA，因此电流密度为：jne 在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零在有外加电场 E 时，稳态时，按照电子运动方程，( )( )0,( )dp tp tf tdt因此附加定向速度的平均值为/eEm，为弛豫时间，因此电流密度：2nejEm，电导率为2nem2222( )mmeEnePnf tnnEEmm 12.2 分别用经典电子论和索末菲自由电子模型证明维德曼夫兰兹定律并求洛伦兹常数 解： 根据经典电子论，由电导率和热导率表达式可得： 22222111 3323333 222VVBBBclcmnkk TkTneneneem洛伦兹数为：28231.11 10/2Bkwattohm KTe根据索末菲量子电子论，由电导率和热导率表达式可得： 21132VFFclEm 200()2BVBFk TCNkE2222233BBFFnk Tnk Tclmm22222233BBnk TmkTneme222822.45 10/3BkLwatt ohm KTe 12.3 在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：CV = ( 2.08 T + 2.57 T 3 ) mJ / mol-K 求钾的费米温度和德拜温度。

解： 一摩尔的电子对热容的贡献：202BVBFk TCNkE 与实验结果比较得到：22302.08 10/22BBBBFBFk Tk TNkNkTJ mol KEk T 费米温度：223196242 2.08 10BFkTNK 根据德拜定律：34125BVDNkTC 与实验结果比较得到：3433122.57 10/5BDNkTTJ mol K德拜温度：1/34312915 2.57 10BDNkK 12.4 二维情况下的化学势, 每单位面积有 n 个电子，证明二维情况下费米气的化学势由下式给出: 2( )lnexp(/) 1BBTk Tnmk T 22 24SdNkdk 2( )dNmN ESdE ()/2001( ) ( )1FBE Ek TmNN E f E dESdEe ()/2011FBE Ek TNmndESe 作变量变换FBEExk T 则有 22/22/111ln(1)ln(1)FBFBFBFBxBxxEk TEk TEk TxBBEk Tmk Tmendxdxeemk Tmk Tee 由上式解得：2( )lnexp(/) 1FBBTEk Tnmk T 6.1 液体 He3 ，He3 原子量自旋为 1/2 的费米子，在绝对零度附近液体 He3 的密度为0.081g/cm3，计算费米能 EF和费米温度 TF。

解 He3 的自旋为 1/2 的费米子，其质量2435 10pmmg 在密度为 0.081g/cm3的液体 He3中，单位体积中的 He3数目为 2231.62 10ncmm其费米能为222/3(3)2FEnm将上面得到的 n,m 值代入，就得到费米能 222/3164(3)6.8 104.3 102FEnergeVm费米温度为 454.3 10()4.98.617 10FFBETKKk 6.3 若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：(1)费米能和费米温度; (2)费米球半径; (3)费米速度; (4)费米球面的横截面积; (5)在室温和低温时电子的平均自由程 已知银的质量密度为 10.5 g/cm3, 原子量为 107.87， 电阻率为： 1.61106:cm （295K） , 0.038106:cm（20K） 解： 1m3的银的摩尔数：（10.5 106/107.87）=97.3 3mol 原子数摩尔数 N0=97.3 6.02 1026=5.86 1028 银为一价原子，故价电子数亦为：5.86 1028个, 价电子密度：ne=(N/V)=5.86 1028 个/m3 (1) 费米能：22/30232FeEnm=341.0545 102h电子静止质量 m9.11031 kg680282 2/319311.112 10(3 5.86 103.14 )8.8 10( )2 9.109 10FEJ单位换为ev，05.49FEev费米温度：0194238.8 106.38 101.38 10FFBETTK(2) 费米球半径 KF(32ne)(1/3)= (3 3.142 5.86 1028)1/312.02 109（1/m）另外：031199226822 9.1 108.8 1011.2 10 ()1.0510FFmEKm (3) 费米速度 ：2012FFmvE=19063128.8 1021.391 10/9.1 10FFEm sm1/21/2=(4) 费米球最大截面积：0220max22214.56 10 ()FFmESKm= (5) 常温下电子平均自由时间 、平均自由程L。

电阻率为：1.61106:cm（295K）, 0.038106:cm（20K）设 T=295K，由=nee2/m得 21emn e311422823889.1 103.77 10 s5.86 1.01.6101.61 10emn eLvF3.77 10-14 1.39 1065.24 10-8(m) 设低温 T=20K，=0.0038 10-8 (/)(1.61/0.0038)424424424 3.77 10-14 s 1.6 10-11 (m)L vF1.6 10-11 1.39 1062.22 10-5 (m) 6.4 设 N 个电子组成简并的自由电子气，体积为 V， 证明 T 0K 时，有 （1）每个电子平均能量035FUE（2）自由电子气的压强 p 满足23pVU 证明： (1)T=0K 时电子系统每个电子的平均能量 KinEdNEN003/21/20003/5FFEEFCEdECEdEE (2)在绝热近似下，外场力对电子气作的功 W 等于系统内能的增加 dU，即 dUWPdV 式中 P 是电子气的压强，由上式可得UPV 忽略掉温度对内能的影响，2/3202333552FNUNENmV 22/325/33222352333UUPNNVPVUVmV 。