D82二重积分的计算.ppt

第二节一、利用直角坐标计算二重积分一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的计算方法（二） 第八章 对应有二、利用极坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分在极坐标系下在极坐标系下, 用同心圆用同心圆 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积在内取点及射线及射线   =常数常数, 分划区域分划区域D 为为机动 目录 上页 下页 返回 结束 即机动 目录 上页 下页 返回 结束 极坐标系下的面积元素为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( (1) 1) 极点在区域极点在区域D的外部的外部(2) (2) 极点在区域极点在区域D的内部的内部(3) (3) 极点在区域极点在区域D的边界上的边界上机动 目录 上页 下页 返回 结束 此时，若 f ≡1， 则可求得D 的面积思考思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试答答: 问  的变化范围是什么?(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束  将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分，需依下列的二重积分，需依下列步骤步骤进行：进行：(1) 将将 代入被积函数代入被积函数.(2) 将区域将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式，的边界曲线换为极坐标系下的表达式，并确定相应的积分限并确定相应的积分限.(3) 将面积元将面积元 dxdy 换为换为 . 如果积分区域如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域为圆、半圆、圆环、扇形域等，或被积函数为等，或被积函数为 等形等形式，利用极坐标常能简化计算式，利用极坐标常能简化计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算计算其中解解: 在极坐标系下在极坐标系下原式的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角由于故坐标计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:利用例2可得到广义积分事实上, 当D 为 R2 时,利用例2的结果, 得①故①式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.计算二重积分计算二重积分其中其中是由曲线是由曲线所围成的平面区域所围成的平面区域. .解解: :以以1 1为半径的圆域为半径的圆域, ,积分区域积分区域是以点是以点(1,0)(1,0)为圆心为圆心, ,如图如图. .其边界曲线的极坐标方程为其边界曲线的极坐标方程为所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求球体求球体被圆柱面所截得的(含在柱面内的)立体的体积. 解解: 设设由对称性可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍在 D 上在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分, 则有机动 目录 上页 下页 返回 结束 补充：积分对称性补充：积分对称性解解: :机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结(1) 二重积分化为累次积分的方法直角坐标系情形直角坐标系情形 :• 若积分区域为若积分区域为则• 若积分区域为若积分区域为则机动 目录 上页 下页 返回 结束 则极坐标系情形极坐标系情形: 若积分区域为若积分区域为机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项• 画出积分域画出积分域• 选择坐标系选择坐标系• 确定积分序确定积分序• 写出积分限写出积分限• 计算要简便计算要简便:域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少累次积好算为妙图示法不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性机动 目录 上页 下页 返回 结束  1.计算计算其中D 为由圆所围成的及直线解：解：平面闭区域.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考2. 计算计算其中D 由所围成.解解: 令令(如图所示)显然,机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P319 8（2、4）； 10（2）； 11（1、4） 第二节 目录 上页 下页 返回 结束 。