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第二章 连续时间傅里叶变换 1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 FS 狄义赫利条件：在同一个周期1T内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积dttfT1)( 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数 三角形式的 FS： 展开式：1110)sin()(nnntnbtconaatf系数计算公式： 直流分量：1)(110TdttfTan 次谐波余弦分量：NntdtntfTaTn,cos)(211 1 n 次谐波的正弦分量：NntdtntfTbTn1,sin)(2 1 1 系数na和nb统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数 称11/1 Tf 为信号的基波、基频；1nf为信号的 n次谐波 合并同频率的正余弦项得： 110)cos()(nnntncctf110)sin()(nnntnddtf复指数形式的 FS： 展开式：ntjn neFtf1)(系数计算：ZndtetfTFTtjn n,)(1111系数之间的关系：  0),(210,0njbana F nnn奇偶信号的 FS： (i) 偶信号的 FS： 11 1cos)(2TntdtntfTa；0sin)(211 1TntdtntfTb； nnnadcnnnnnFajbaF22(nF实，偶对称)；0n；2n(ii) 偶的周期信号的 FS 系数只有直流项和余弦项。

(iii)奇信号的 FS： 00naa；11 1sin)(2TntdtntfTb；nnnnjFbdc2； nnnjbFF21(nF纯虚，奇对称)； 2n；0n(iv) 奇的周期信号的 FS 系数只有正弦项 周期信号的傅里叶频谱： (i) 称 nF为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或 FS 谱 (ii)称nF为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称 FS 幅度谱 (iii)称n为傅里叶复数相位频谱，简称 FS 相位谱 (iv)周期信号的 FS 频谱仅在一些离散点角频率1n(或频率1nf)上有值 (v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T (vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离 散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示 FS 频谱的值、幅度和相位 (vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线， 反映了各谐波处 FS 频谱、 幅度谱和 相位谱随分量的变化情况 (viii)称nc为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小 (ix)称nF为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。

正负频率的频谱幅度 相加，才是实际幅度 周期矩形脉冲序列的 FS 谱的特点： (i) 谱线包络线为 Sa 函数； 谱线包络线过零点：(其中112 T为谱线间隔)： kTn1，或kn2 1，0,kZk即当/21kn时，0nnnFca 在频域，能量集中在第一个过零点之内 带宽/2或/1f只与矩形脉冲的脉宽有关，而与脉高和周期均无关 (定义/2~0为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽) 2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT) 信号 f (t)的傅里叶变换： )()()(tfFdtetfFtj是信号)(tf的频谱密度函数或 FT 频谱，简称为频谱(函数) 频谱密度函数)(F的逆傅里叶变换为：)(ˆ)(21)(1FFdeFtftj称tje为 FT 的变换核函数，tje为 IFT 的变换核函数 FT 与 IFT 具有唯一性如果两个函数的 FT 或 IFT 相等，则这两个函数必然 相等 FT 具有可逆性如果)()( FtfF，则必有)()(1tfFF；反之亦然。

信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(jeFF称)(F为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化 的幅频特性； 称)()(FArg为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性 (7) FT 频谱可分解为实部和虚部：)()()(irjFFF)()(arctan)(, )()()(22  riirFFFFF)(sin)()(,)(cos)()(FFFFir(8) FT 存在的充分条件：时域信号)(tf绝对可积，即dttf)( 注意：这不必要条件有一些并非绝对可积的信号也有 FT FT 及 IFT 在赫兹域的定义： dtetffFftj2)()(；dfefFtfftj2)()(比较 FS 和 FT： FS FT 分 析 对 象 周期信号 非周期信号 频 率 定 义域 离散频率， 谐波频率 处 连续频率， 整个频率 轴 函 数 值 意义 频率分量的数值 频率分量的密度值 3 典型非周期信号的 FT 频谱 单边指数信号：)0( )()(atuetfat jadtedteedtetfFtjatjattj1)()(0)( 0幅度谱：221)(  aF相位谱：     aarctg ajaArgFArg22)()(单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图 1 所示。

  |F()| 1/a () /2 -/2 0 0 t 0 1 f (t) (a) (b) (c) 图 1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱 (2) 偶双边指数信号：)0()(aetfta 00)()(dteedteedtetfFtjattjattj220)(0)(211  aa jajadtedtetjatja ，为实偶函数 幅度谱：222)(  aaF相位谱：0)(偶双边指数信号及其频谱如图 2 所示  F() 2/a 0 t 0 1 f (t) (a) (b) 图 2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱 (3) 矩形脉冲信号：)()(tEGtf(脉宽为 、脉高为 E) 2/2/2/2/cos)()(tdtEdtEedtetfFtjtj 2sin2/2/SaEtE，为实函数 幅度谱： 2)(SaEF相位谱：  Zk FkkFkk)0)(() 1(4) 12(2,)0)(() 12(24, 0 )( 对应对应矩形脉冲信号及其频谱如图 3 所示。

F() E=矩形脉冲面积 0 246 -/2 0 /2 t f (t)=)(tEGE (a) (b) 图 3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱 矩形脉冲 FT 的特点： (i) FT 为 Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积； (ii) FT 的过零点位置为)0(/2kk； (iii)频域的能量集中在第一个过零点区间/2 ,/2之内 (iv) 带宽为/2B或 /1fB，只与脉宽有关，与脉高 E 无关 信号等效脉宽：)0(/ )0(fF信号等效带宽：1 fB F() 0 t 0 f (t) (a) (b)  B 图 4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽 (4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在 FT  jdtetSgnFtj2)()(幅度谱：2)(F相位谱： 0, 2/0, 2/)(符号函数及其频谱如图 5 所示 |F()|-a a (b)Sgn(t) 10 t-1(a)图 5 (a)符号函数 (b)频谱 (5) 冲激信号： EEedtetEtEFjtj0)()(均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。

强度为 E 的冲激函数的频谱是均匀谱，密度就是冲激的强度  2)(1EEF单位冲激信号及直流信号的频谱函数总结： FT定义  EtEF )(FT 可逆 性   )(1EEF )(2EEFFT可 逆性  2)(1EEFIFT 定义 (6) 阶跃信号：不满足绝对可积条件，但存在 FT jF1)()(在0处有一个冲激，该冲激来自)(tu中的直流分量 单位阶跃信号及其幅度谱如图 6 所示 |F()|()0 u(t)10 t图 6 单位阶跃函数及其幅度谱 4 FT 的性质 线性性：   nnn nnntfFatfaF)()(线性性包括：齐次性)()(tfaFtafF；叠加性)()()()(2121tfFtfFtftfF 奇偶虚实性： 偶偶 奇奇 实偶实偶 (FT 可变为余弦变换) 实奇虚奇 (FT 可变为正弦变换) 实信号的 FT：(实信号可分解为：实偶+实奇) 实部是偶函数，虚部是奇函数：实实偶+j 实奇 偶共扼对称：)()(*FF幅度谱为偶函数，相位谱为奇函数：实实偶 EXP(实奇) 虚信号的 FT 具有奇共扼对称性：)()(*FF偶共轭对称或奇共轭对称的函数满足幅度对称：)()(FF。

实信号或虚信号的 FT 幅度谱偶对称，幅度谱函数是偶函数 反褶和共轭性： 时 域 频域 原信号 f(t) F() 反褶 f(-t) F(-) 共扼 f *(t) F *(-) 反 褶 + 共扼 f *(-t) F *() 对偶性： 傅里叶正逆变换的变换核函数是共轭对称的：tjtjee*；tjtjee*deFtfFFtj)(21)()(1**)(21FFdeggFtj)()(表示按自变量  进行傅里叶变换，结果是 t 的函数 IFT 可以通过 FT 来实现 FT 的对偶特性：)(2)]([ftFF若)(tf为偶函数，则)(2)(ftFF； 若)(tf为奇函数，则)(2)(ftFF 尺度变换特性：)0(,1)]([ aaFaatfF此性质表明：时域压缩对应频域扩展、时域扩展对应频域压缩 时移特性：0)()()(0tjtjetfFeFttfFo时移不影响幅度谱，只在相位谱上叠加一个线性相位 与尺度变换特性综合： )0(,1)(/ 00  aeaFatatfFatj(7) 频移特性： )()(00FetfFtj与尺度变换特性综合：)0(,1 0/0    aaFeatfaFatj频谱搬移：时域信号乘以一个复指数信号后，频谱被搬移到复指数信号的频率位置处。

利用欧拉公式，通过乘以正弦或余弦信号达到频谱搬移目的 (8) 微分特性： 时域微分：)()( FjtfdtdF频域微分： )()()(tfjtFddF如果连续运用微分特性，则 )()()(   Fjtf dtdFn nn)()()(t。