9.6多元函数微分学的几何应用.ppt

小结小结 思考题思考题 作业作业空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线第六节第六节 微分法在几何上的微分法在几何上的应用应用一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数1一、一元向量值函数及导数一、一元向量值函数及导数空间曲线空间曲线 的参数方程的参数方程若写成向量的形式，记若写成向量的形式，记或或则方程则方程(1)就成为就成为向量方程向量方程(1)2确定一个从确定一个从[α,β] →R3的映射，称为一元向量的映射，称为一元向量值函数向量方程向量方程数集数集D称为该函数称为该函数定义定义则称映射则称映射为为一元向量值函数一元向量值函数,设数集设数集D通常记为通常记为称称 t 为为 自变量自变量, ,为为因变量因变量定义域定义域, ,3在在R R3 3中，若向量值函数中，若向量值函数 的三个分的三个分向量函数分别为向量函数分别为则可记为则可记为或或4向量值函数的图象向量值函数的图象当当t t改变时，改变时，终点终点MM的轨迹的轨迹称为向量值函数称为向量值函数的的终端曲线或图象终端曲线或图象反过来，反过来，称为曲线称为曲线 的的向量方程向量方程。

跟着改变，跟着改变，5向量值函数的极限向量值函数的极限设向量值函数设向量值函数                   恒有恒有记作记作或或6容易证明容易证明:向量值函数向量值函数必要条件是必要条件是:三个分量函数三个分量函数当当时的时的极限存在极限存在的充分的充分当当极限都存在时，极限都存在时，其极限其极限时的时的7向量值函数的连续性向量值函数的连续性设向量值函数设向量值函数                   则称则称                  若向量值函数若向量值函数                   在在D D中的每一点都连续，中的每一点都连续，                   则称则称                   (2)(1)8向量值函数的导数向量值函数的导数设向量值函数设向量值函数                   存在，存在，                  那么就称这个极限向量为那么就称这个极限向量为                  处的导数或导向量处的导数或导向量                  记作记作                  (1)9(2) 如果函数如果函数存在导向量存在导向量,就称函数就称函数在在D 内的每点处都内的每点处都在开区间在开区间 D上可导上可导.都在都在t0可导可导, 容易证明容易证明:向量值函数向量值函数在在t0连续连续的充分必要条件是的充分必要条件是:都在都在t0连续连续; 在在t0可导可导的充分必要条件是的充分必要条件是且其导数为且其导数为三个分量函数三个分量函数三个分量函数三个分量函数10向量值函数的求导法则向量值函数的求导法则设设是可导的向量值函数，是可导的向量值函数， 是常向量，是常向量，c是任一常数，是任一常数，是可导的数量函数，则是可导的数量函数，则(1)(2)(3)(4)11(5)(6)(7)12向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义故故13向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义设向量值函数设向量值函数是沿空间光滑曲线是沿空间光滑曲线运动的质点运动的质点M的位置向量，则的位置向量，则是质点是质点M的速度向量，的速度向量，曲线相切；曲线相切；其方向与其方向与是质点是质点M的加速度向量。

的加速度向量14例例1解解15例例2解解故所求单位切向量为故所求单位切向量为16设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导. 1. 空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用17考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为切线的过程切线的过程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用18曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线的切向量切线的方向向量称为曲线的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用))(),(),((000tztytxT¢ ¢¢ ¢¢ ¢= =r19解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例即即微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用20设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为法平面方程为法平面方程为2. 空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0, y0, z0)处处,令令切线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用21例例 在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上, 求对应求对应 的点处的的点处的切向量切向量.x为参数为参数,于是于是 解解所以交线上与所以交线上与对应点的切向量为对应点的切向量为:交线的参数方程为交线的参数方程为取取微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用22设空间曲线方程为设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组 两边分别对两边分别对表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面的交线的交线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用23 利用利用2.结果结果, 两边分别对两边分别对x求全导数求全导数微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用= =xzdd24法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为在点在点 M(x0, y0, z0)处的处的微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用25解解例例 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法一法一 直接用公式直接用公式;令令微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用26法平面方程法平面方程切线方程切线方程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用27切线方程切线方程 法二法二 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.法平面方程法平面方程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用28设曲线设曲线证证 因原点因原点即即于是于是证明此曲线必在以原点为证明此曲线必在以原点为的的法平面都过原点法平面都过原点,在任一点在任一点中心的某球面上中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为故有故有微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 在法平面上在法平面上,任取曲线上一点任取曲线上一点29 今在曲面今在曲面Σ上任取一条上任取一条1. 设曲面设曲面Σ的方程为的方程为的情形的情形隐式方程隐式方程三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 函数函数的偏导数在该点连续且不同的偏导数在该点连续且不同 时为零时为零.点点M 对应于参数对应于参数 不全为零不全为零.过点过点M 的的曲线曲线Γ,设其参数设其参数方程为方程为30微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 由于曲线由于曲线Γ在曲面在曲面Σ上上, 所以所以 在恒等式两端对在恒等式两端对t 求全导数求全导数, 并令并令 则得则得 若记向量若记向量 曲线曲线Γ在点在点M处切线的方向向量记为处切线的方向向量记为 则则※式可改写成式可改写成即向量即向量 垂直垂直. ※31 因为曲线因为曲线Γ是曲面是曲面Σ上过点上过点M的的任意任意一条曲一条曲线线,所有这些曲线在点所有这些曲线在点M的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直, 因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面Σ在点在点M的的微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线, ,又是法线的方向向量又是法线的方向向量.向量向量称为曲称为曲法向量法向量. .切平面切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面平面,平面的直线称为曲面平面的直线称为曲面Σ在在点点M的的面面Σ在在点点M的的32曲面在曲面在M(x0, y0 , z0)处的法向量处的法向量:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为所以曲面所以曲面Σ上在点上在点M的的33解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程 例例∥∥切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用34上求一点的坐标上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于使此点处的切平面平行于yOz平面平面.解解 设所求点为设所求点为则切平面的法向量为则切平面的法向量为∥∥由题意由题意,∥∥由此得由此得所求之点所求之点:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用352. 曲面方程形为曲面方程形为 的情形的情形曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令或或显式方程显式方程微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用36 例例 证证则法向量为则法向量为切平面方程切平面方程为为微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用37所以这些平面都过所以这些平面都过原点原点.微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用38微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用平行的切平面的方程是平行的切平面的方程是( ).39 例例 证证的所有的所有切平面都与一常向量切平面都与一常向量平行平行.则曲面在任一点处的则曲面在任一点处的法向量法向量:则则即即所以所以,所有的切平面均与所有的切平面均与平行平行.曲面在曲面在M处的法向量处的法向量:取取微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用40 例例 证证 过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为即即其其法向量法向量为为微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用求过直线求过直线L且与曲面且与曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.41设曲面与切平面的切点为设曲面与切平面的切点为则则过直线过直线L的平面束方程其的平面束方程其法向量法向量为为因而因而微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用42过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为故故所求切平面方程为所求切平面方程为或或即即或或微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用43令令∥∥ 解解 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.应应同时垂直于同时垂直于 分析分析曲线在点曲线在点 处切线向量处切线向量 s微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用 例例 当空间当空间曲线方程为曲线方程为一般式时一般式时,求切向量曾求切向量曾采用了采用了推导推导法法.现采用现采用向量代数法向量代数法求切向量求切向量44∥∥令令∥∥ 切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用45因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几何意义表示表示切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用46其中其中法向量法向量表示曲面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是是锐角锐角, 则法向量的则法向量的方向余弦为方向余弦为微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用) 1,,(yxff- -- -= =47因为因为(第三个分量为负第三个分量为负), 求旋转抛物面求旋转抛物面 在任意点在任意点P(x, y, z)处处向上向上的法向量的法向量(即与即与z轴夹角为锐角轴夹角为锐角的法向量的法向量).解解而而为为向下向下的法向量的法向量故故向上向上的法向量应为的法向量应为:微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用48解解令令微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用得到的旋转面在点得到的旋转面在点处的指向外侧的处的指向外侧的单位法向量为单位法向量为( ).旋转面方程为旋转面方程为49空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用三、小结三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法的求法. 当空间曲线方程为一般式时当空间曲线方程为一般式时,求切向量求切向量可采用可采用公式法、公式法、推导法推导法或用或用向量代数法向量代数法)(注意注意:空间曲面两种不同形式方程以及空间曲面两种不同形式方程以及求法向求法向量的方向余弦时的量的方向余弦时的符号符号)50思考题思考题思考题解答思考题解答证证两边对两边对t求导求导,得得微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用,),,(具有连续偏导数具有连续偏导数设设zyxF51是曲面上任一点是曲面上任一点,则过这点的则过这点的切平面为切平面为这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点这说明曲面上任一点的切平面皆相交于原点.微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用52作业作业习题习题9-69-6(100(100页页) )2. 3. 4. 6. 8. 10. 微分法在几何上的应用微分法在几何上的应用53。