似曾相识燕归来总把新题换旧符--2014年江苏省高考数学试卷评析.pdf

似曾相识燕归来总把新题换旧符———２ ０ １ ４年江苏省高考数学试卷评析易姗咪华志远（江苏省无锡市第一中学２ １ ４ ０ ３ １）２ ０ １ ４年江苏高考数学试卷基本保持了２ ０ １ ３年的命题风格，即试卷结构稳定、突出双基、注重能力、控制难度、多题把关，是一份利于选拔、导向正确、内涵丰富、信效度好的试卷．试卷的取材既有源于教材的改编题，又有命题组原创的特色试题，按照题目的复杂程度、能力要求和解题难度合理编排，从而使考生的心理状态平和，有利于各类思维层次学生的临场发挥．试题会让老师感到，教数学不仅仅是教知识与技能，还要把握数学的本质属性，感悟数学思想方法的统摄作用，优化学生的思维品质；试题会让学生感到学数学不仅仅是记公式、背套路、多做题，还要懂得数学的内涵和实质，并用联系和发展的眼光，看待不同知识、方法和思想之间的内在联系，养成独立思考、主动探索的良好习惯．本文试图对本次高考数学试卷的一些鲜明特点作些分析，供同行参考研讨．１　基础试题显平稳，体现考教结合２ ０ １ ４年的试卷在结构、题型、难易等方面整体上保持平稳，试题叙述清晰明了、亲切自然．所有填空题和解答题的前三题的情景都是学生在平时学习中遇见过的，同时具有很好的思考价值．每个试题的判断都需要有科学合理的知识背景，解决时只要用通性通法即可完成求解．第１ ２题如图１，在平行四边形犃 犅 犆 犇中，已知犃 犅 ＝ ８，犃 犇 ＝ ５，→犆 犘 ＝ ３→犘 犇，→犃 犘·→犅 犘 ＝ ２，则→犃 犅·→犃 犇的值是．图１分析由于所求数量积中的两个向量是最常见的“基向量”，因此只要把题设中的→犃 犘，→犅 犘用→犃 犅，→犃 犇表示出来，即→犃 犘＝→犃 犇 ＋１４→犃 犅，→犅 犘 ＝→犃 犇 －３４→犃 犅，代入计算，即得→犃 犇２－１２→犃 犅·→犃 犇 －３１ ６→犃 犅２＝ ２ ．将条件中的数据代入，得→犃 犅·→犃 犇 ＝ ２ ２ ．点评平面向量基本定理是研究向量的基础和依据，数量积又是高考的Ｃ级考查要求，命题者通过基元思想将教材题有机串联起来，检测学生的逆向思维和利用方程思想解决问题的能力，可谓顺理成章、浑然天成．第１ ４题若△犃 犅 犆的内角满足ｓ ｉ ｎ 犃 ＋槡２ ｓ ｉ ｎ 犅 ＝ ２ ｓ ｉ ｎ 犆，则ｃ ｏ ｓ 犆的最小值是．分析根据目标会联想到余弦定理ｃ ｏ ｓ 犆 ＝犪２＋ 犫２－ 犮２２ 犪 犫，于是把条件通过正弦定理转化为犪 ＋槡２ 犫 ＝ ２ 犮，利用消元法，即将犮 ＝犪 ＋槡２ 犫２代入，得ｃ ｏ ｓ 犆 ＝３ 犪２＋ ２ 犫２－槡２ ２ 犪 犫８ 犪 犫≥槡２ ６ 犪 犫 －槡２ ２ 犪 犫８ 犪 犫＝槡６ －槡２４，当且仅当槡３ 犪 ＝槡２ 犫时取等号，于是ｃ ｏ ｓ 犆的最小值是槡６ －槡２４．点评本题以三角形中的三角函数为背景，考查学生利用正余弦定理进行边角转化的能力，同时与消元法、基本不等式等有机结合，对学生解题的目标意识和转化思想提出了合理的要求．但作为填空题的压轴题，本题的原创性略显不足，它与一道经典题：已知△犃 犅 犆的三边长犪，犫，犮成等差数列，求ｃ ｏ ｓ 犅的最小值，几乎只有数据上的差异．２　知识交汇处融合，体现试题品位２ ０ １ ４年的试题注重不同知识模块的相互融合，链接的方式和谐自然，多数题没有生硬拼凑的痕迹，每个试题都很明确大气地提出需要考生解决的问题，从而为全体学生搭建了一个共同的思维平台．考生做不好，主要是由于对知识、方法和思想的领悟程度还欠火候，而不是临场发挥不佳．试题的品位还体现在考查的内容都是数学的主干知识，解题的方法都是主流的核心方法，而不是冷僻素材和应试技巧．第１ ８题如图２，为了保护河上古桥，规划建一座新桥犅 犆，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥犅 犆与河岸犃 犅垂直；保护区的边界为圆心犕段犗 犃上并与犅 犆相切的圆，且古桥两端犗和犃到该圆上任意一点的距离均不少于８ ０ ｍ ．经测量，点犃位于点犗正北方向６ ０ ｍ处，点犆位于点犗正东方·７·２ ０ １ ４年第９期中学数学月刊向１ ７ ０ ｍ处（犗 犆为河岸），ｔ ａ ｎ∠犅 犆 犗 ＝４３．图２（１）求新桥犅 犆的长；（２）当犗 犕多长时，圆形保护区的面积最大？分析（１）题设中有犗 犃⊥犗 犆，结合距离和角度的信息，应该能触动学生思维的信息源，选择坐标化思想来突破，这样便能化繁为简．事实上，求新桥犅 犆的长，关键是求点犅的坐标，而犅 犆的斜率为－４３，故犃 犅的斜率为３４，利用点斜式写出这两条直线的方程，联立方程组即可求得交点犅（８ ０，１ ２ ０），于是犅 犆 ＝ １ ５ ０ ｍ ．（２）提问中即给出了运用函数思想的信息，即圆犕的半径狉是关于线段犗 犕长犿（０≤犿≤６ ０）的函数．利用圆的切线性质，点犕（０，犿）到直线犅 犆：４ 狓＋ ３ 狔 － ６ ８ ０ ＝ ０的距离就是半径狉，即狉 ＝狘 ３ 犿 － ６ ８ ０ 狘５＝６ ８ ０ － ３ 犿５，关键是求犿的范围．由题设及图形的性质得狉 － 犿≥８ ０，狉 －（６ ０ － 犿）≥８ ０，代入函数关系，可解得１ ０≤犿≤３ ５，于是当犗 犕为１ ０ ｍ时，圆形保护区的面积最大．点评本题以古桥的保护为背景，具有较高远的立意，也与去年的索道问题形成良好的照应．求解该题的方法很多，如坐标法、三角法、向量法等，体现了它们各自的工具作用，但坐标法最容易想到，运算量也最小，并且直线和圆方程都是Ｃ级考查要求，函数思想也是中学数学的核心内容和思想，把它们在知识交汇处相互融合，体现了试题较高的品位．３　能力试题求变化，体现选拔功能２ ０ １ ４年的试卷在整体保持平稳的基础上，力求有一些变化，尤其在把握概念的本质属性和运用数学思想方面提出了较高的要求，对学生的直觉判断、类比联想、抽象概括、探索证明等提出了挑战，尤其是设置了一些新颖的问题，以检测学生的学习潜能．第１ ９题已知函数犳（狓）＝ ｅ狓＋ ｅ－ 狓，其中ｅ是自然对数的底数．（１）证明：犳（狓）是犚上的偶函数；（２）若关于狓的不等式犿 犳（狓）≤ｅ－ 狓＋ 犿 － １在（０，＋ ∞）上恒成立，求实数犿的取值范围；（３）已知正数犪满足：存在狓 ０∈［１，＋ ∞），使得犳（狓 ０）＜犪（－ 狓３０ ＋ ３ 狓 ０）成立．试比较ｅ犪 － １与犪ｅ － １的大小，并证明你的结论．分析本题的第（１）问是容易证明的．第（２）问不等式恒成立是当前考试的热点，即通过分离变量，把不等式转化为犿≤－ｅ狓－ １ｅ２ 狓－ ｅ狓＋ １，利用代换、变形及基本不等式，不难求得不等式右边表示函数的最小值为－１３，故犿≤－１３．第（３）问的题设是不等式的存在性成立，解题方法上与恒成立类似，只是最值的名称上有区别，作函数犵（狓）＝ ｅ狓＋ ｅ－ 狓－犪（－ 狓３＋ ３ 狓），利用求导法得犵（狓）在［１，＋ ∞）上为增函数，故最小值是犵（１）＝ ｅ ＋ ｅ－ １－ ２ 犪 ．令犵（１）＜０，得犪＞ｅ ＋ ｅ－ １２．要直接比较ｅ犪 － １与犪ｅ － １的大小较为困难，为此通过取对数，即只要比较ｌ ｎ ｅ犪 － １＝ 犪 － １与ｌ ｎ 犪ｅ － １＝（ｅ － １）ｌ ｎ 犪 ．为此把犪看成自变量，作函数犺（狓）＝ 狓 － １ －（ｅ － １）ｌ ｎ 狓，通过求导可得出其单调性和最小值是犺（ｅ － １），由直觉犪 ＝ ｅ时两者相等，验证犺（１）＝ 犺（ｅ）＝ ０，利用单调性即可分类得出其大小关系．点评只要学生解题有目标意识，第（２）问的函数是容易构造出来的，求最值属于中档题要求．但解决第（３）问的比较大小，考生则必须既具有良好的观察、联想、想象等直觉发现能力，又要具备探索、演算和论证的抽象思维能力．本题中一些重要的数学思想方法，如函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化，尤其是分离变量法、换元法、求导法和构造法等对解题引领起到极其重要的作用，这对学生的数学素养和综合素质提出了很高的要求，体现了良好的选拔功能．４　情景题分层要求，步步走向深入２ ０ １ ４年的新颖试题，注重情景设计，解答题每道题都形成由浅入深、步步深入的２～３小问，从而使每一道能力题分别形成三至四个不同的层次．第一层次是基础知识和推理论证的最低要求；第二层次重在对知识和方法的综合运用，重在基本运算能力的要求；第三层次突出对知识和方法的灵活运用，加大了分析和解决问题的思考力度；第四层次是考查学生的探索、发现、想象、创造能力，检测学习潜能．第２ ０题设数列｛犪 狀｝的前狀项和为犛 狀，若对任意正整数狀，总存在正整数犿，使得犛 狀 ＝ 犪 犿，则称｛犪 狀｝是“犎数列”．（１）若数列｛犪 狀｝的前狀项和犛 狀 ＝ ２狀（狀∈犖），证明：｛犪 狀｝是“犎数列”；（２）设｛犪 狀｝是等差数列，其首项犪 １ ＝ １，公差犱＜０ ．·８·中学数学月刊２ ０ １ ４年第９期近三年江苏数学高考Ｃ级要求的考查及分析李明（江苏省马坝高级中学２ １ １ ７ ５ １）江苏省２ ０ １ ４年高考数学科考试说明中对知识的考查要求依次分为了解、理解和掌握三个层次（分别用Ａ级、Ｂ级和Ｃ级表示）．其中需要掌握的层次一共有８个知识点，这些知识点要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题．下面就这８个Ｃ级要求在近三年江苏高考试卷中的体现以及高考趋势作一个简单的归纳、分析，并针对高中教学提出几点建议．１　对８个犆级要求的归纳、分析（１）两角和（差）的正弦、余弦及正切表１　两角和（差）的正弦、余弦及正切在高考中的分布情况年份题目分布所占分值试卷占比难易度２ ０ １ ２ １ １，１ ５ ５ ＋ ２ ４ ． ４ ％中档、基础题２ ０ １ ３ １ ８ ４ ２ ． ５ ％基础题２ ０ １ ４ １ ５ １ ０ ６ ． ３ ％基础题这个知识点在近三年的高考中多以基础题形式出现，偶有中档题，如２ ０ １ ２年第１ １题．考题位置大多在解答题的第１题，如２ ０ １ ２年和２ ０ １ ４年．在解答题中往往会结合三角形其他的知识点或者向量的知识点一起考查．如果放在三角形中，会涉及到正、余弦定理以及诱导公式、二倍角公式等；如果结合向量的知识，会在考查向量的数量积的同时加入两角和（差）的正弦、余弦及正切的考查．总体上难度都不大，从该知识点在近三年的考试所占比重中可以看出高考对这个基础知识点的重视，尤其是今年第１ ５题直接考查两角和（差）的正余弦公式，其中也涉及到二倍角公式，所以课堂教学中应重视这个考点的讲授和复习工作．（２）平面向量的数量积表２　平面向量的数量积在高考中的分布情况年份题目分布所占分值试卷占比难易度２ ０ １ ２ ９，１ ５ ５ ＋ ２ ４ ． ４ ％基础题２ ０ １ ３ １ ５ ７ ４ ． ４ ％基础题２ ０ １ ４ １ ２ ５ ３ ． １ ％中档题这个考点在近三年的高考解答题和填空题中都有出现，考查难度为基础题和中档题．考题位置也大多在解答题的第１题或者填空题的前１ ２题．檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶考查的若｛犪 狀｝是“犎数列”，求犱的值；（３）证明：对任意的等差数列｛犪 狀｝，总存在两个“犎数列”｛犫 狀｝和｛犮 狀｝，使得犪 狀 ＝ 犫 狀 ＋ 犮 狀（狀∈犖）成立．分析第（１）问应注意犪 １ ＝ 犛 １，狀≥２时，犪 狀 ＝ 犛 狀－ 犛 狀 － １ ＝ ２狀－ ２狀 － １＝ ２狀 － １＝ 犛 狀 － １，得证．第（２）问考虑从特殊到一般，犪 １ ＝ 犛 １，由题意存在正整数犿，使犛 ２＝ 犪 犿，即２ ＋ 犱 ＝ １ ＋（犿 － １）犱，（犿 － ２）犱 ＝ １ ．因犱＜０，故犿 － ２＜０，犿 ＝ １，得犱 ＝ － １ ．此时犪 狀 ＝ ２ － 狀，犛 狀＝狀（３ － 狀）２，无论狀是奇数还是偶数，犛 狀都是小于２的整数，于是总存在正整数犿 ＝ ２ － 犛 狀，使得犛 狀 ＝ 犪 犿，故｛犪 狀｝是“犎数列”，于是犱 ＝ － １ ．第（３）问应采用构造法，。