二次函数最值问题.ppt

xyo（（1 1）配方2 2）画图象 （（3 3）根据图象确定函数最值根据图象确定函数最值看所给范围内的最高点和最低点）（看所给范围内的最高点和最低点）xyo2-4(2,-4)xyo-24(-2,4)二次函数二次函数:( a 0 )xa>0a<00yx0y自变量x取全体实数时抛物线的最值跟什么有关系？有怎样的关系？抛物线的最值跟什么有关系？有怎样的关系？a>0,a>0,抛物线开抛物线开抛物线开抛物线开口向上，此时口向上，此时口向上，此时口向上，此时抛物线有最小抛物线有最小抛物线有最小抛物线有最小值，最小值为值，最小值为值，最小值为值，最小值为抛物线顶点坐抛物线顶点坐抛物线顶点坐抛物线顶点坐标的纵坐标标的纵坐标标的纵坐标标的纵坐标a<0,a<0,抛物线开抛物线开抛物线开抛物线开口向下，此时口向下，此时口向下，此时口向下，此时抛物线有最大抛物线有最大抛物线有最大抛物线有最大值，最大值为值，最大值为值，最大值为值，最大值为抛物线顶点坐抛物线顶点坐抛物线顶点坐抛物线顶点坐标的纵坐标标的纵坐标标的纵坐标标的纵坐标是否所有的抛物线是否所有的抛物线仅有仅有最大值或最小值呢？最大值或最小值呢？xyo-2212当函数有自变量取值范限定当函数有自变量取值范限定时，此时抛物线就有可能同时，此时抛物线就有可能同时有最大值和最小值。

时有最大值和最小值判断下列函数的最值情况判断下列函数的最值情况xyo-51（（-5

次函数也有最大值次函数也有最大值次函数也有最大值当当当当x=-2x=-2时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值y=-3;y=-3;当当当当x=1x=1时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值y=4y=4xyoX=-14-31-31请根据抛物线图象判断函数的最值情况请根据抛物线图象判断函数的最值情况分析：由于此抛物线有一个自变量分析：由于此抛物线有一个自变量分析：由于此抛物线有一个自变量分析：由于此抛物线有一个自变量的限定，所以该函数图像仅是抛物的限定，所以该函数图像仅是抛物的限定，所以该函数图像仅是抛物的限定，所以该函数图像仅是抛物线的一部分由于开口方向向下，线的一部分由于开口方向向下，线的一部分由于开口方向向下，线的一部分由于开口方向向下，对称轴在此自变量的取值范围内，对称轴在此自变量的取值范围内，对称轴在此自变量的取值范围内，对称轴在此自变量的取值范围内，所以此抛物线仍有最高点，故此抛所以此抛物线仍有最高点，故此抛所以此抛物线仍有最高点，故此抛所以此抛物线仍有最高点，故此抛物线所对应的二次函数有最大值物线所对应的二次函数有最大值物线所对应的二次函数有最大值。

物线所对应的二次函数有最大值同时由于自变量的限定，在同时由于自变量的限定，在同时由于自变量的限定，在同时由于自变量的限定，在x x取取取取-3-3时，函数值为时，函数值为时，函数值为时，函数值为-3-3；在；在；在；在x x取取取取1 1时，函数时，函数时，函数时，函数值为值为值为值为1 1，所以此抛物线所对应的二，所以此抛物线所对应的二，所以此抛物线所对应的二，所以此抛物线所对应的二次函数也有最小值次函数也有最小值次函数也有最小值次函数也有最小值3 ≤ x≤1当当当当x=1x=1时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值y=4;y=4;当当当当x=-3x=-3时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值y=-3y=-3xyX=-11o3-245请根据抛物线图象判断函数的最值情况请根据抛物线图象判断函数的最值情况1 ≤ x≤5分析：此抛物线在自变量的取值限分析：此抛物线在自变量的取值限分析：此抛物线在自变量的取值限分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是定下仅是定下仅是定下仅是1 ≤ x≤51 ≤ x≤5的一部分，同时该的一部分，同时该的一部分，同时该的一部分，同时该抛物线开口方向向下，本来存在着抛物线开口方向向下，本来存在着抛物线开口方向向下，本来存在着抛物线开口方向向下，本来存在着顶点处的最大值，但由于此抛物线顶点处的最大值，但由于此抛物线顶点处的最大值，但由于此抛物线顶点处的最大值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该的对称轴并不在此范围内，所以该的对称轴并不在此范围内，所以该的对称轴并不在此范围内，所以该最大值并不能在顶点处取，根据函最大值并不能在顶点处取，根据函最大值并不能在顶点处取，根据函最大值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴右侧数的增减性，在对称轴右侧数的增减性，在对称轴右侧数的增减性，在对称轴右侧y y随随随随x x 的的的的增大而减小，当增大而减小，当增大而减小，当增大而减小，当x=1x=1时，函数值为时，函数值为时，函数值为时，函数值为3 3，当，当，当，当x=5x=5时，函数值为时，函数值为时，函数值为时，函数值为-2-2，所以该函，所以该函，所以该函，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点数的最值只能在自变量的两个端点数的最值只能在自变量的两个端点数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为处取，即最大值为处取，即最大值为处取，即最大值为3 3，最小值为，最小值为，最小值为，最小值为-2-2当当当当x=1x=1时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值y=3;y=3;当当当当x=5x=5时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值y=-2y=-2不取等号，没有最大值和最小值xyX=31o-1-2-13请根据抛物线图象判断函数的最值情况。

请根据抛物线图象判断函数的最值情况1 ≤ x≤1分析：此抛物线在自变量的取值限定分析：此抛物线在自变量的取值限定分析：此抛物线在自变量的取值限定分析：此抛物线在自变量的取值限定下仅是下仅是下仅是下仅是-1 ≤ x≤1-1 ≤ x≤1的一部分，同时该抛的一部分，同时该抛的一部分，同时该抛的一部分，同时该抛物线开口方向向上，本来存在着顶点物线开口方向向上，本来存在着顶点物线开口方向向上，本来存在着顶点物线开口方向向上，本来存在着顶点处的最小值，但由于此抛物线的对称处的最小值，但由于此抛物线的对称处的最小值，但由于此抛物线的对称处的最小值，但由于此抛物线的对称轴并不在此范围内，所以该最小值并轴并不在此范围内，所以该最小值并轴并不在此范围内，所以该最小值并轴并不在此范围内，所以该最小值并不能在顶点处取，根据函数的增减性，不能在顶点处取，根据函数的增减性，不能在顶点处取，根据函数的增减性，不能在顶点处取，根据函数的增减性，在对称轴左侧在对称轴左侧在对称轴左侧在对称轴左侧y y随随随随x x 的增大而减小，当的增大而减小，当的增大而减小，当的增大而减小，当x=-1x=-1时，函数值为时，函数值为时，函数值为时，函数值为3 3，当，当，当，当x=1x=1时，函数时，函数时，函数时，函数值为值为值为值为-1-1，所以该函数的最值只能在自，所以该函数的最值只能在自，所以该函数的最值只能在自，所以该函数的最值只能在自变量的两个端点处取，即最大值为变量的两个端点处取，即最大值为变量的两个端点处取，即最大值为变量的两个端点处取，即最大值为3 3，，，，最小值为最小值为最小值为最小值为-1-1当当当当x=-1x=-1时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值时，函数有最大值y=3;y=3;当当当当x=1x=1时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值时，函数有最小值y=-1y=-1不取等号，没有最大值和最小值xyoxyox1x2x1x2一、对称轴在自变量取值范围内一、对称轴在自变量取值范围内1、、a>0,顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最大值，最大值分别由自变量大值，最大值分别由自变量x1与与x2对应的函数值对应的函数值y1与与y2,函数值最函数值最大的即为此函数的最大值。

大的即为此函数的最大值2、、a<0,顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最小值，最小值分别由自变量小值，最小值分别由自变量x1与与x2对应的函数值对应的函数值y1与与y2,函数值最函数值最小的即为此函数的最小值小的即为此函数的最小值自变量取值范围自变量取值范围自变量取值范围自变量取值范围x x1 1≤x≤x≤x≤x2 2xyoxyo二、对称轴不在自变量取值范围内二、对称轴不在自变量取值范围内自变量取值范围自变量取值范围自变量取值范围自变量取值范围x x1 1≤x≤x≤x≤x2 2x1x2x1x2a>0,a>0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，y y随随随随x x的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量x x1 1与与与与x x2 2对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分别为别为别为别为y y1 1与与与与y y2 2，最大值即为，最大值即为，最大值即为，最大值即为y y1 1, ,最小值即为最小值即为最小值即为最小值即为y y2 2a>0,a>0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，y y随随随随x x的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量x x1 1与与与与x x2 2对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分别为别为别为别为y y1 1与与与与y y2 2，最大值即为，最大值即为，最大值即为，最大值即为y y2 2, ,最小值即为最小值即为最小值即为最小值即为y y1 1a<0,a<0,自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴左侧，根据函数的增减性，y y随随随随x x的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量的增大而增大，此时自变量x x1 1与与与与x x2 2对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分别为别为别为别为y y1 1与与与与y y2 2，最大值即为，最大值即为，最大值即为，最大值即为y y2 2, ,最小值即为最小值即为最小值即为最小值即为y y1 1a<0,a<0,自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，自变最取值范在对称轴右侧，根据函数的增减性，y y随随随随x x的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量的增大而减小，此时自变量x x1 1与与与与x x2 2对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分对应的函数值分别为别为别为别为y y1 1与与与与y y2 2，最大值即为，最大值即为，最大值即为，最大值即为y y1 1, ,最小值即为最小值即为最小值即为最小值即为y y2 2不取等号，没有最大值和最小值简单地说简单地说：：不取等号，没有最大值和最小值 例例例例1. 1. 行行行行驶驶中的汽中的汽中的汽中的汽车车在刹在刹在刹在刹车车后由于后由于后由于后由于惯惯性的作用，要性的作用，要性的作用，要性的作用，要继续继续往前滑行一段才停，在某段路面，一往前滑行一段才停，在某段路面，一往前滑行一段才停，在某段路面，一往前滑行一段才停，在某段路面，一辆辆汽汽汽汽车车刹刹刹刹车车距离距离距离距离S S（米）与（米）与（米）与（米）与车车速速速速x x（千米（千米（千米（千米/ /时时）有如下关系：）有如下关系：）有如下关系：）有如下关系：S=S=当当当当车车速速速速x x在在在在6060≤ ≤ x x ≤ ≤8080时时，求刹，求刹，求刹，求刹车车距离的最小距离的最小距离的最小距离的最小值值。

例例2：某商店在最近的：某商店在最近的30天内的价格与时间天内的价格与时间t（单位：（单位：天）的关系是（天）的关系是（t+10）；销售量与时间）；销售量与时间t的关系是的关系是（（35-t））,其中其中0＜＜t≤30，，t为整数，求这种商品何为整数，求这种商品何时取得日销售金额的最大值？这个最大值是多少？时取得日销售金额的最大值？这个最大值是多少？解：由于这种商品日销售的价格为解：由于这种商品日销售的价格为解：由于这种商品日销售的价格为解：由于这种商品日销售的价格为t+10,t+10,日销售量为日销售量为日销售量为日销售量为35-t35-t，则日销售，则日销售，则日销售，则日销售金额为金额为金额为金额为解：解：xy0-11x0y1-1x0y-11x0y-11当当当当Oxy1-1Oxy1-1Oxy1-1评注评注：：例例3 3属于属于“轴动范围定轴动范围定”的问题，看作对的问题，看作对称轴沿称轴沿x x轴移动的过程中轴移动的过程中, ,函数最值的变化函数最值的变化, ,即对即对称轴在定范围的左、右两侧及对称轴在定范围上称轴在定范围的左、右两侧及对称轴在定范围上变化情况变化情况, ,要注意开口方向及端点情况。

要注意开口方向及端点情况例例4:解解:x0y1tt+1当当x=t+1时时ymin=t2+2x0ytt+1∵∵∵∵x0yt t+1当当x=t 时时ymin=t2-2t+3当当x=t+1 时时x0y1t t+1 例例4: 求函数求函数y=x2-2x+3在在t≤x≤t+1时的最值时的最值评注评注：：例例4 4属于属于“轴定范围动轴定范围动””的问题，看作动范的问题，看作动范围沿围沿x x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动范轴移动的过程中，函数最值的变化，即动范围在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意围在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况开口方向及端点情况ttttt+1t+1t+1t+11.当当3≤ x ≤4时，求函数时，求函数y=x2-2ax+a2-a+1的最小值的最小值 2.2.当当当当a a为何值时，函数为何值时，函数为何值时，函数为何值时，函数y=xy=x2 2-2ax+a-2ax+a2 2-a+1-a+1在在在在 3≤ x ≤43≤ x ≤4时的值恒大于时的值恒大于时的值恒大于时的值恒大于0 0？？？？2020404060608080100100120120150180140160(180，92)140 160t(天）y(元)O图①204060 80140180t(天）z(元)O图②1101601001201020405060 我市某茶厂种植我市某茶厂种植“春蕊牌春蕊牌”绿茶，由茶，由历年来市年来市场销售行售行情知道，从每年的情知道，从每年的3月月25日起的日起的180天内，天内，绿茶市茶市场销售售单价价y(元元)与上市与上市时间t(天天)的关系可以近似地用如的关系可以近似地用如图①①中的一条折中的一条折线表示。

表示绿茶的种植除了与气候、种植技茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本有关外，其种植的成本单价价z(元元)与与上市上市时间t(天天)的关系可以近似地用如的关系可以近似地用如图②②的抛物的抛物线表示1）直接写出）直接写出图①①中表示的市中表示的市场销售售电价价y(元元)与上市与上市时间t(天天)(t＞＞0)的函数关系式；的函数关系式；（（2）求出）求出图②②中表示的种植成本中表示的种植成本单价价z(元元)与上市与上市时间t(天天)(t＞＞0)的函数关系式；的函数关系式；（（3））认定市定市场销售售单价减去种植成本价减去种植成本单价价为纯收益收益单价，价，问何何时上市的上市的绿茶茶纯收益收益单价最大？价最大？(说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元说明：市场销售单价和种植成本单价的单位：元/500克。