行列式经典例题.doc

.大学-----行列式经典例题例1计算元素为aij = |i－j|的n阶行列式.解 方法1 由题设知，=0，，，故其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第列．方法2 =例2.设a, b, c是互异的实数, 证明:     的充要条件是a + b + c =0.证明: 考察X德蒙行列式:       =行列式即为y2前的系数. 于是=所以的充要条件是a + b + c = 0.例3计算D=解： 方法1 递推法 按第1列展开，有D= x D+〔－1〕a= x D+ a由于D= x + a，，于是D= x D+ a=x〔x D+a〕+ a=xD+ ax + a== xD+ ax++ ax + a=方法2 第2列的x倍，第3列的x倍，，第n列的x倍分别加到第1列上===方法3 利用性质，将行列式化为上三角行列式．D x k= x(++++a+x)=方法4 ++++=〔－1〕〔－1〕a+〔－1〕〔－1〕 ax++〔－1〕〔－1〕ax +〔－1〕( a+x) x= 例4． 计算n阶行列式： ()解 采用升阶〔或加边〕法．该行列式的各行含有共同的元素，可在保持原行列式值不变的情况下，增加一行一列，适中选择所增行〔或列〕的元素，使得下一步化简后出现大量的零元素．=这个题的特殊情形是=可作为公式记下来．例5．计算n阶“三对角〞行列式D=解 方法1 递推法．DD—D－D即有递推关系式 D=D－D (n3)故 ＝递推得到 ＝＝＝＝而，＝＝，代入得〔2.1〕由递推公式得＝＝αD＋＝＝＋＋＋＝方法2 把D按第1列拆成2个n阶行列式D=＋上式右端第一个行列式等于αD，而第二个行列式=β于是得递推公式，已与〔2.1〕式一样．方法3 在方法1中得递推公式D=D－D又因为当时 D=====D==-2= =于是猜测，下面用数学归纳法证明．当n=1时，等式成立，假设当nk 时成立．当n=k+1是，由递推公式得D=D－D=—=所以对于nN，等式都成立例6． 计算阶行列式：其中．解 这道题有多种解法．方法1 化为上三角行列式其中，于是．方法2 升阶〔或加边〕法方法3 递推法．将改写为+由于 因此=为递推公式，而，于是======. .word..。